高中數(shù)學——用幾何畫板研究函數(shù)圖象

1 高中數(shù)學校本課程 用幾何畫板研究函數(shù)圖象用幾何畫板研究函數(shù)圖象用幾何畫板研究函數(shù)圖象用幾何畫板研究函數(shù)圖象 與高中數(shù)學必修一配套使用 主編 王玉潔 陳梅 鄒玲 2 前言前言 數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學 普通高中數(shù)學課程標準 2011 年版 指出 數(shù)學的應用越來越廣泛 正在不斷地滲透到社會生活的方 方面面 它與計算機技術的結合在許多方面直接為社會創(chuàng)造價值 推動著社會 生產(chǎn)力的發(fā)展 課程標準把 注重信息技術與數(shù)學課程的整合作為課程的基本理 念之一 現(xiàn)代信息技術的廣泛應用正在對數(shù)學課程內(nèi)容 數(shù)學教學 數(shù)學學習 等方面產(chǎn)生深刻的影響 高中數(shù)學課程應提倡實現(xiàn)信息技術與課程內(nèi)容的有機 整合 整合的基本原則是有利于學生認識數(shù)學的本質(zhì) 高中數(shù)學課程應提倡利 用信息技術來呈現(xiàn)以往教學中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容 在保證筆算訓練的前提下 盡可能使用科學型計算器 各種數(shù)學教育技術平臺 加強數(shù)學教學與信息技術 的結合 鼓勵學生運用計算機 計算器等進行探索和發(fā)現(xiàn) 鑒于此 我們編寫 了 用幾何畫板作圖 系列叢書 本冊為 用幾何畫板研究函數(shù)圖象 供普 通高中高一學生上學期學習使用 本冊 用幾何畫板研究函數(shù)圖象 主要特點是注意了幾何畫板的工具性 本冊不是系統(tǒng)講解幾何畫板的教程 而僅僅把幾何畫板作為研究函數(shù)圖象的一 個工具 目的是通過幾何畫板作圖讓學生更好地抓住函數(shù)的本質(zhì) 認識函數(shù)的 性質(zhì) 考慮到高中學生學習時間的限制 本冊僅把幾何畫板的部分必要功能給 學生做出介紹 其他功能放在拓展資源中 供學有余力的學生學習使用 本冊使用說明 本冊可與普通高中數(shù)學必修一配套使用 建議一周一個課 時 本冊分為兩個章節(jié) 第一章共三講 主要包括幾何畫板的簡介 部分功能 介紹 作圖步驟及演例等預備知識 第二章共七講 根據(jù)高中數(shù)學必修一教材 對函數(shù)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序 依次對一次函數(shù) 二次函數(shù) 對勾函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 指 對數(shù)函數(shù)關系 冪函數(shù)等函數(shù)圖象進行研究 整個編排的設計 3 符合學生的學習興趣和學習心理 便于學生在教師指導下自學和探究 由于水平有限 加之編寫時間倉促 本資源難免有疏漏之處 懇請讀者提 出寶貴意見和建議 以便于我們今后進一步修改完善 2013 年 3 月 4 第一章第一章 幾何畫板入門幾何畫板入門 第一講 幾何畫板功能及菜單簡介 6 第二講 如何用程序語言表示函數(shù) 9 第三講 幾何畫板畫圖步驟及演例 21 第二章第二章 用幾何畫板研究函數(shù)圖象用幾何畫板研究函數(shù)圖象 第一講 一次函數(shù)圖象的研究 25 第二講 二次函數(shù)圖象的研究 28 第三講 對勾函數(shù)圖象的研究 33 第四講 指數(shù)函數(shù)圖象的研究 36 第五講 對數(shù)函數(shù)圖象的研究 39 第六講 指 對數(shù)函數(shù)關系的研究 42 第七講 冪函數(shù)圖象的研究 46 拓展資料拓展資料 幾何畫板其他功能簡介 52 第一章第一章幾何畫板入門幾何畫板入門 第一講第一講 幾何畫板簡介及安裝啟動幾何畫板簡介及安裝啟動 一 幾何畫板是什么一 幾何畫板是什么 幾何畫板是一個優(yōu)秀的專業(yè)學科平臺軟件 代表了當代專業(yè)工具平臺類教 5 學軟件的發(fā)展方向 它是以數(shù)學為根本 以 幾何動態(tài) 為特色來動態(tài)表現(xiàn)設 計者的思想 供用戶探索幾何奧妙的一個新工具 該軟件短小精悍 功能強大 開發(fā)的軟件具有精確的數(shù)字化描述和動態(tài)的參數(shù)交互功能 能夠動態(tài)表現(xiàn)相關 對象的關系 1 電子作圖工具電子作圖工具 幾何畫板可以作為電子作圖工具 利用它的工具箱提供的工具 模擬直尺 三角板 圓規(guī) 作出點 線段 射線 直線和圓等幾何圖形 并可以在各幾何 元素旁標注字母 也可以在畫板上任何地方注釋文字 2 動態(tài)演示工具動態(tài)演示工具 幾何畫板能夠準確動態(tài)地表現(xiàn)問題 為充分展現(xiàn)幾何元素在運動狀態(tài)下保 持幾何關系的不變性 提供了方便的動態(tài)演示 使傳統(tǒng)教學中只能在黑板上靜 態(tài)表現(xiàn)的結果變成動態(tài)的展示過程 從而使學生對一些幾何性質(zhì)和定理的理解 更快更深刻 3 顯示和探求軌跡的工具顯示和探求軌跡的工具 軌跡是幾何中一個重要知識點 且又是一個難點 主要難在需要用動態(tài)的 觀點看幾何圖形 但過去的課堂教學中 一般是借助于靜態(tài)的圖形或簡單的教 具進行講解 學生只能根據(jù)對問題的分析和最終的結果去想象出軌跡生成的過 程 如果學生的想象能力差一點 理解這部分的內(nèi)容就會更難 而利用幾何畫 板的動態(tài)功能可直觀地演示出軌跡的生成過程 不僅使分析 過程 結果都一 目了然 而且便于整體把握教學內(nèi)在規(guī)律 還可以由此發(fā)現(xiàn)許多新的規(guī)律 4 課件開發(fā)工具課件開發(fā)工具 幾何畫板又可以作為課件開發(fā)的工具 而且它與一般的 CAI 寫作工具軟件 不同 幾何畫板不需要開發(fā)者有程序設計知識 它所需要的僅僅是一定的數(shù)學 知識 特別是幾何建構思想即可 利用體統(tǒng)的動畫功能可以制作動態(tài)的教學過 6 程 使原本抽象 枯燥的內(nèi)容變得具體 生動 活潑 充分展示了數(shù)學的美 5 良好的學具良好的學具 幾何畫板為學生提供一個自由的 開闊的 十分理想的 做數(shù)學 的環(huán)境 幾何畫板本身就是一個很好地幾何情境 它可以作為學生研究幾何關系 猜測 發(fā)現(xiàn)和驗證幾何方法 探索幾何規(guī)律的一個電子 實驗室 在這個 實驗室 中 學生可以在畫板上畫出各種幾何圖形 系統(tǒng)利用它所存儲的幾何定理和公 式 自動顯示出這些圖形之間的關系 學生從中就可以驗證有關的幾何性質(zhì) 接受并理解相關的知識 二 幾何畫板安裝 啟動和退出二 幾何畫板安裝 啟動和退出 1 系統(tǒng)配置系統(tǒng)配置 幾何畫板工作環(huán)境為中文或帶有中文平臺的 Windows 9 x 32MB 以上主機 內(nèi)存 40MB 以上硬盤和光驅(qū)啟動器 本資源是以中文 Windows 98 作為幾何 畫板的工作環(huán)境進行講解的 2 幾何畫板的安裝步驟幾何畫板的安裝步驟 1 安裝幾何畫板 首先雙擊文件 Sketchpad exe 圖標 安裝密碼 welcome to 在后面彈出的對話框中 單擊 Next 按鈕 安裝幾何畫板英文版 2 雙擊文件 Updatel 圖標 在后面彈出的幾個對話框中 單擊 Next 按鈕 安裝幾何畫板 4 03 英文版升級版 3 啟動幾何畫板啟動幾何畫板 幾何畫板的啟動與其他軟件的啟動類似 單擊 開始 按鈕 選擇 程序 的 GSP4 04 菜單命令 或者雙擊屏幕上的幾何畫板快捷圖標 就可以進入幾 何畫板的使用窗口界面 在屏幕空白處單擊鼠標 屏幕中間的版本信息消失 7 如 5 秒內(nèi)無任何輸入 版本信息也自動消失 4 畫板窗口畫板窗口 窗口第一行是標題欄 第二行是菜單欄 第二行下面是工作區(qū) 窗口左側 是工具欄 工作區(qū)下面是文本工具欄和數(shù)學符號面板 剛進入幾何畫板時 計 算機在工作區(qū)中自動打開一個標題為 未命名 1 的畫板文件 其默認擴展名 是 gsp 窗口最下面是狀態(tài)欄 顯示當前工作狀態(tài) 畫板窗口最左邊的一列有 6 個小的正方形圖形 是作圖的工具 從上到下 分別稱為 選擇工具 點工具 圓規(guī)工具 直線工具 文本工具和自定義工具 總稱為工具箱 5 退出幾何畫板退出幾何畫板 退出幾何畫板的方法與一般 Windows 應用程序的退出方法相同 只要雙擊 畫板窗口左上角的 控制 按鈕或單擊畫板窗口右上角的 關閉 按鈕或打開 文件 菜單 選定 退出 選項 就可以退出幾何畫板 第二講第二講 幾何畫板部分功能及菜單簡介幾何畫板部分功能及菜單簡介 幾何畫板功能強大 主要分為繪制基本幾何圖形 構造幾何關系 測量與 計算 軌跡 動畫 變換 腳本 立體幾何圖形的直觀圖 圖形變化等功能 本講僅根據(jù)后續(xù)學習的需要 主要介紹繪制基本幾何圖形 構造幾何關系 測 8 量與計算 軌跡等功能 其他功能放在拓展資料部分里講解 以供有興趣的同 學參考學習 繪制基本幾何圖形繪制基本幾何圖形 利用 幾何畫板 可以繪制各種基本的幾何圖形 例如點 線段 射線 直線 圓 垂線 平行線等 一 建立新畫板一 建立新畫板 制作一個畫板文件 也稱為課件 第一步是建立一個新畫板 操作步驟 如下 如果是剛進入 幾何畫板 系統(tǒng)已自動打開一個新畫板窗口 下面步 驟可以省略 單擊 文件 菜單 屏幕出現(xiàn)一個下拉式子菜單 把鼠標指針 移到子菜單 這個操作以后簡稱為打開 文件 菜單 把鼠標移到子菜單的 第一行 N 新畫板 上 單擊鼠標左鍵 這個操作以后簡稱為單擊 屏幕 幾何畫板 窗口內(nèi)部出現(xiàn)新窗口 這就是新畫板 如果大小不合適 可以用 窗口操作 進行放大或縮小 二 基本幾何圖形的繪制二 基本幾何圖形的繪制 繪制基本圖形的基本步驟相同 都是先選定畫圖工具 然后在畫板上繪制 1 1 畫點 畫點 工具箱第二個圖標 即中間畫有一個小圓點的圖標 稱為 畫點工具 單擊該圖標 使它成紅底顯示 就選定了畫點的功能 再把鼠標指針移到畫板 上要畫點處單擊 指針就出現(xiàn)一個小的空心圓點 就表示在該處畫了一個點 9 只要選定的畫點功能不變 畫點工具為紅底顯示 用同樣方法 可以在畫板 上畫多更多的點 如果有的點畫得不合適 要刪除它 只要先按下 ctrl 鍵不放 用鼠標單擊 這個點 這時該點周圍出現(xiàn)一小圓 表示它被選定為當前目標 再按 Delete 鍵 這個點就被刪除 另外 幾何畫版還有撤消功能 快捷鍵是 CTRL Z 2 2 畫圓 畫圓 工具箱第三個圖標 即畫有一個圓的圖標 稱為 畫圓工具 單擊該圖 標 使它變?yōu)榧t底顯示 表示當前選定了畫圓的功能 在平面幾何中 已知圓 心位置和半徑可以決定一個圓 幾何畫板 中也遵循這個原則 把鼠標指針 移到要畫圓的圓心位置 按下鼠標左鍵不放 畫板上原指針就會出現(xiàn)一個點 表示圓心 然后拖動鼠標 圓心周圍出現(xiàn)一個圓 該圓會隨著指針離圓心的距 離不同而不同 把鼠標拖到合適位置后放開鼠標左鍵 一個圓就出現(xiàn)在畫版上 圓的中間有一個小圓點表示圓心 圓上也有一個小圓點 稱為圓上的點 它與 圓心的距離表示圓的半徑只要選定的畫點功能不變 用同樣方法 可以在畫板 上畫更多的圓 如果有的圓畫得不合適 要刪除它 只要先按下 ctrl 鍵不放 用鼠標單擊圓周上的點 再按 Delete 鍵 圓和定點就被刪除 剩下的圓心 按 刪除點的辦法刪除 3 3 畫線畫線 工具箱第四個圖標 即畫有一個斜線的圖標 稱為 畫線工具 單擊該 圖標 使它變?yōu)榧t底顯示 表示當前選定了畫圓的功能 幾何畫版中的 線 有三種類型 線段 射線 直線 將指針移到畫線工具上 按下左鍵不放 約 10 一秒后右邊就會出現(xiàn)將指針拖動到其中一個圖標上 放開左鍵 原工具箱中的 畫線圖標就變成了你選定的圖標 畫線段 按上述方法選定畫線段工具 將指針移到要畫線段的一個端點處 按鼠標左鍵不動并拖動鼠標到線段的另一個端點處 放開左鍵 一條線段就畫 成了 畫射線 按上述方法選定畫射線工具 將指針移到要畫線段的起始端點處 按鼠標左鍵不動并拖動鼠標到射線的另一個端點處 放開左鍵 一條射線就畫 成了 畫直線 按上述方法選定畫直線工具 將指針移到要畫直線的一個端點處 按鼠標左鍵不動并拖動鼠標到直線的另一個端點處 放開左鍵 一條直線就畫 成了 如果有的線畫得不合適 要刪除它 只要先按下 ctrl 鍵不放 用鼠標單 擊該線上的任意點 再按 Delete 鍵 線就被刪除 剩下決定線的點 按刪除點 的辦法刪除 三 標注字母三 標注字母 單擊工具箱第五個畫有伸出一個食指的手的圖標 就選定了文本工具 只 要這只手的手指尖移到要標注的點上單擊 該點旁就顯示出標注的字母 該字 母是幾何畫版自動按 A B C 等給的 不合適 可雙擊要修改的字母 標注 位置不合適可用鼠標拖動到其它位置 標注的字體 字型 顏色 可單擊鼠標 右鍵 用所顯示出的快捷菜單來設置 四 修改圖形的位置和大小四 修改圖形的位置和大小 11 無論修改哪種圖形元素 都必須在 選擇 工具的狀態(tài)下 它是工具箱的 第一個圖標 選定方法與前類似 改點 將鼠標移到該點上 按下鼠標左鍵不放 這時該點外部出現(xiàn)一個小 圓 表示該點被選中 拖動鼠標 該點隨著鼠標移動 到達合適的位置 放開 左鍵 選中的點就移到新位置了 改圓 要修改圓的位置 只要將鼠標移到圓周上 然后與移動點位置一樣 進行操作 移動圓心點和圓上代表半徑的大小的那個 圓上關鍵點 則相應 地改變圓心的位置和半徑的大小 練習 1 畫三個過同一點的圓 拖動其中任一個 觀察是否保持幾何關系 構造幾何關系構造幾何關系 一 平行線 同時選定直線和直線外一點 方法是 單擊選擇工具后 按下 SHIFT 鍵不 放 用鼠標單擊直線和直線外一點 點的外圍有一個小圓 而直線上增加兩個 小黑方點 表示它們被選中了 單擊 作圖 菜單中 平行線 命令 在畫 板上就畫出了過直線外一點與直線平行的直線 平行線的前提條件是 一個點 和一個或多個直線型對象 或一直線型對象和一個或多個點 注 畫板中的對象生成后 在你對它進行操作 移動 改變尺寸 刪除等 之前 必須選中它 12 二 交點 前提條件是兩條路徑 三 中點 前提條件是一條或多條線段 四 線段 前提條件是兩個或更多的點 五 垂線 前提條件是一直線型對象和一個或多個點 或一個點和一個或 多個直線型對象 六 角平分線 前提條件是三個點 第二個點為角的頂點 七 以圓心和圓周上的點畫圓 前提條件是兩個點 第一個點是圓心 八 以圓心和半徑畫圓 前提條件是一個點和一條線段 九 圓上的弧 前提條件是三個點 十 過三點的弧 前提條件是三個點 十一 內(nèi)部 前提條件是一組點 一個圓或一條弧 十二 軌跡 前提條件是一個對象和路徑上的一個點 演示 1 選取兩條線段 然后來回拖動它們 對兩個點 三個點 三條線段采取 同樣方法 2 畫出一個與已構造好的三角形有一條邊或一個公共頂點的三角形 觀察 移動各點和各條線段時發(fā)生的現(xiàn)象 3 選取合適的對象 執(zhí)行作圖菜單中的每條命令 13 4 用兩條線段生成一個角 然后生成角的平分線 5 選取一個圓并用作圖菜單生成圓的內(nèi)部 使用顯示菜單來觀察內(nèi)部的顏 色 如果你選擇了不同的顏色會出現(xiàn)什么情況 問題 1 如何在屏幕上選取所有的點 2 假如屏幕上所有的點都被選取了 你怎樣釋放一個點而其余的點仍被選 中 3 怎樣改變?nèi)切蔚男螤?4 怎樣從當前繪圖版中清除所有對象 5 如果已選擇了一個點 將如何在選擇該點的同時生成另一個點 6 保持點工具為活動工具的同時 怎樣選擇一條線段 7 在不使用線段工具的情況下 怎樣生成一條線段 8 用什么方法能在一條線段上畫出它的中點 測量和計算測量和計算 一 測量一 測量 1 度量線段的長度 14 選中要度量長度的線段 然后打開 度量 菜單 選定 L 長度 在畫板上 出現(xiàn)該線段長度的文字 若位置不合適 可用鼠標左鍵拖動到適當位置 前提條件 選定一條線段 2 距離 前提條件 選定兩點或一點一線 3 斜率 選定一個直線型對象 線段 射線 直線 4 半徑 選定一個圓 一段弧或一個扇形 5 圓周長 選定一個圓 6 面積 選定多邊形 圓 扇形或弓形 7 周長 選定多邊形 圓 扇形或弓形 8 角度 選定三個點 第二個點是角的頂點 9 弧度角 選定一段弧 一個扇形或一個弓形 10 弧長 選定一段弧 一個扇形或一個弓形 11 比 選定兩條線段 12 坐標 選定一個點 13 方程 選定一個圓或一條直線 二 計算二 計算 15 應用現(xiàn)有的度量值進行計算 先選定計算中所需的度量值 用 SHIFT 鍵可 選中多個度量值 然后從度量菜單中選擇計算命令 例 畫出拋物線 Y ax2的圖象 步驟 1 打開一個新畫版 按 CTRL N 鍵 2 顯示直角坐標系 打開 圖表 菜單 選擇 建立坐標軸 命令 3 標注坐標原點和單位點 選 標注 工具 單擊原點和單位點 并分別雙擊 改變他們的標注字母為 O 和 1 4 畫點 C 和 D 選 畫點 工具 在縱坐標軸上畫一點 C 在橫坐標軸上畫一 點 D 并標出字母 5 度量 D 點坐標 選 選取 工具 選中 D 點 執(zhí)行 度量 坐標 命令 畫 版顯示出 D xxxx xxxx 6 計算 XD 選中 D 點坐標式 執(zhí)行 度量 計算 畫版顯示 XD度量式 7 計算 YC XD2的值 同時選中 C 點坐標和 XD度量式 打開 度量 中的 計 算 命令 在計算器中單擊 數(shù)值 框 在框中選 C 點 再選 y 單擊 鍵 再單擊 數(shù)值 選 XD 然后在計算器中順序單擊 和 2 鍵 這時計算器屏幕上顯示 YC XD2 最后單擊 確認 按鈕 畫版顯示 YC XD2的 度量式 16 8 產(chǎn)生 E 點 選中度量式 XD和 YC XD2 執(zhí)行 圖表 P 繪出 X Y 命令 畫板上出現(xiàn)一個點 標注出它的字母為 E 9 畫軌跡 按順序同時選中 D 點和 E 點 執(zhí)行 作圖 U 軌跡 命令 過 E 點 的拋物線顯示在畫版上 10 沿縱軸拖動 C 點 在橫軸拖動 D 點 觀察拋物線的變化 三 加注釋三 加注釋 1 本工具有效時 在畫板中按下鼠標左鍵并拖動形成一個虛線框的空白區(qū)域 2 這個區(qū)域的大小符合你的需要時 松開鼠標左鍵 3 此時輸入的標識符將在區(qū)域的左上角閃爍 區(qū)域的大小并不重要 因為它能 自動改變大小來容納你輸入的任何數(shù)量的文字 當文字到達區(qū)域的右邊時 它 會自動轉(zhuǎn)到下一行 4 其它任何工具 或在畫板中其它位置單擊一下 即可完成注釋的輸入 邊框 的尺寸變得使文本正好充滿 5 移動注釋和改變注釋的尺寸用箭號工具在畫板中拖動注釋 拖動黑色注釋框 的一個白角 來調(diào)整注釋框的大小 6 注釋文字的格式化 選擇注釋 再顯示菜單中選擇不同的字體 字型和字號 7 改變注釋文本 選擇文本工具 將鼠標移到要修改的文本處 單擊左鍵 即可按文本編輯的方式進行修改 17 退出方法 同上 軌軌 跡跡 一 軌跡跟蹤 一 軌跡跟蹤 利用 顯示 菜單中 軌跡跟蹤 命令 可以動態(tài)顯示軌跡 例 1 圓的定義 1 作線段 AB 作點 C 2 構造圓 選定點和線段 執(zhí)行 作圖 圓 3 在圓上構造一點 D 選定圓 執(zhí)行 作圖 目標上的點 4 構造線段 CD 5 建立動畫 依次選定 D 和圓 C 執(zhí)行 編輯 按鈕 動畫 6 隱藏圓 二 構造軌跡 二 構造軌跡 例 2 拋物線 由定義 1 作線段 AB 2 在線段 AB 上任選一點 C 和線外一點 D 連接 CD 3 選中線段 CD 作 CD 的中垂線 m 18 4 過點 C 作線段 AB 的垂線 l 5 同時選中直線 m 和 l 執(zhí)行 作圖 交點 得到交點 F 6 同時選中點 C 和點 F 執(zhí)行 作圖 軌跡 得到拋物線的軌跡圖象 7 拖動點 C 觀察軌跡的變化情況 例 3 冪函數(shù) 由函數(shù)表達式 1 打開一個新畫板 執(zhí)行 圖表 建立坐標軸 2 標出原點 O 和單位點 1 3 在橫坐標軸上任畫一點 C 4 計算 C 點的坐標 將 XC 改為 X 5 計算出 X 的立方 X 的三分之二次方 X 的平方的三分之一次方的值 6 用 X 和 X 的立方繪出點 D 用 圖表 畫點 根據(jù) X Y 7 選定 C D 兩點 執(zhí)行 作圖 軌跡 演示 1 找出一個端點在圓上的線段中點的軌跡 問題 1 如何用度量值繪制一個點 19 2 當用度量值繪制一個點時 與度量值的單位有關系嗎 3 為構造軌跡 你必須做些什么 20 第三講第三講 幾何畫板畫圖步驟及演例幾何畫板畫圖步驟及演例 在幾何畫板中常用坐標法和函數(shù)的幾何特征來作圖 通過作圖可以對函數(shù) 的代數(shù)形式和幾何特征都有實質(zhì)性的了解 如果學生能用這兩種方法作出函數(shù) 的圖象對其理解函數(shù)的本質(zhì)有很大的作用 所以我建議我們廣大教師 應讓學 生多操作 既可增加學生學習興趣 又可更深刻地了解函數(shù)的實質(zhì) 一 坐標法一 坐標法 坐標法適用于已知函數(shù)解析式求作函數(shù)圖象的方法 構造一個坐標滿足函 數(shù)解析式的點 用幾何畫板的軌跡工具畫出圖象 下以二次函數(shù)為例 步驟如下 1 新建一個繪圖 選擇菜單里的 圖表 鼠標單擊 建立坐標軸 2 選擇軸 右擊鼠標顯示快捷菜單 選擇作圖 對象上的點 確保該點處 在被選中狀態(tài) 選擇工具欄里的 標出文本 標簽 工具 鼠標單擊剛畫出的點 將顯示出該點的 標簽 假設為 C 確保 C 點處于被選中狀態(tài) 右擊鼠 標顯示快捷菜單選擇 度量 鼠標單擊 坐標 得到 C 點的坐標 3 選擇工具欄里的 選擇 平移 工具 鼠標單擊 C 點的坐標 使它處于 被選中狀態(tài) 再選擇菜單欄里的 度量 鼠標單擊 計算 出現(xiàn) 計算器 窗口 用鼠標單擊 數(shù)值 按鈕 把鼠標放在 點 C 上 選擇 x 然后用鼠標 單擊 計算器 窗口里 確定 按鈕 這樣我們就得到了 C 點的橫坐標的度量 值 如果用鼠標拖動點 C 的話 你會發(fā)現(xiàn)它的橫坐標的度量值在隨之變化 21 4 下面我們把界面稍微整理一下 用鼠標單擊 C 點的坐標 使它處于被選 中狀態(tài) 然后同時按下 Ctrl 和 H 鍵 把 C 點的坐標隱藏掉 再選擇工具欄里的 標出文本 標簽 工具 用鼠標雙擊 C 點橫坐標的度量值 在出現(xiàn)的 度量值 格式 窗口里選擇 文本格式 出現(xiàn)兩個文本框 將左面文本框內(nèi)的 X C 改成 x 按下 度量值格式 窗口里的 確定 按鈕 經(jīng)過上面的工作 我們已經(jīng)把二次函數(shù)的自變量構造出來了 5 選擇工具欄里的 選擇 平移 按鈕 按住 Shift 鍵 鼠標單擊度量值 x 確保別的對象不處于選中狀態(tài) 選擇菜單欄里的 度量 鼠標單擊 計 算 在出現(xiàn)的 計算器 窗口里 鼠標單擊 數(shù)值 按鈕 選擇 2 鼠 標單擊 號按鈕 鼠標單擊 數(shù)值 按鈕 選擇 x 鼠標單擊 號按 鈕 鼠標單擊 2 按鈕 鼠標單擊 號按鈕 鼠標單擊 數(shù)值 按鈕 選 擇 3 鼠標單擊 號按鈕 鼠標單擊 數(shù)值 按鈕 選擇 x 鼠標單 擊 號按鈕 鼠標單擊 數(shù)值 按鈕 選擇 1 最后按下確定按鈕 得 到一個新的度量值 選擇工具欄里的 標出文本 標簽 工具 用鼠標雙擊剛剛 得到的度量值 出現(xiàn) 度量值格式 窗口 將左面文本框內(nèi)的 2 x 2 3 x 1 改成 y 按下 度量值格式 窗口里的 確定 按鈕 6 畫出圖象 選擇工具欄里的 選擇 平移 工具 按住 Shift 鍵 鼠標 單擊度量值 x y 注意順序 選擇菜單欄里的 圖表 鼠標單擊 繪出 x y 這樣構造出一個新的點 如果該點沒有出現(xiàn)在屏幕上 可以通過改 變 C 點的位置使它可見 選擇工具欄里的 標出文本 標簽 工具 用鼠標單 擊剛構造出的點 將顯示出它的標簽 假設為 P 按住 Shift 鍵 選中 P 點和 C 點 選擇菜單欄里的 作圖 鼠標單擊 軌跡 后 二次函數(shù)的圖象 便會出現(xiàn)在屏幕上 可以試著拖動 C 點 觀察一下二次函數(shù)的圖象的變化情況 22 如果圖象不是很光滑的話 你可以選擇菜單欄里的 顯示 然后鼠標單擊 參數(shù)設置 在出現(xiàn)的 對象參數(shù)選擇 窗口里 鼠標單擊 其他 按鈕 出現(xiàn) 高級參數(shù)選擇 窗口 設置 軌跡上的樣點數(shù)目 為 100 最大值為 999 值越大 圖象越光滑 但計算機的速度將變慢 按下 高級參數(shù)選擇 窗口里的 繼續(xù) 按鈕 再按下 對象參數(shù)選擇 窗口里的 確定 按鈕 然 后再重新構造軌跡 以上為拋物線的圖象 用上述方法可以畫出一次函數(shù) 反比例函數(shù)或更復 雜函數(shù) 二 幾何法二 幾何法 幾何法是用函數(shù)圖象的幾何特點 進行作圖 下面還以二次函數(shù)的圖象拋 物線為例 在解析幾何中 拋物線是平面內(nèi)到定點和到定直線的距離相等的動 點的軌跡 我們可通過尺規(guī)作圖在平面內(nèi)很容易找到這樣的點 現(xiàn)在用幾何畫 板的軌跡工具就可畫出拋物線 步驟如下 1 新建一個繪圖 選擇菜單里的 圖表 鼠標單擊 建立坐標軸 2 選擇軸 右擊鼠標顯示快捷菜單 選擇作圖 對象上的點 確保該點處 在被選中狀態(tài) 選擇工具欄里的 標出文本 標簽 工具 鼠標單擊剛畫出的點 將顯示出該點的 標簽 假設為 M 選擇工具欄里的 選擇 平移 工 具 鼠標單擊 M 點 按住 Shift 鍵 鼠標單擊軸 右擊鼠標顯示快捷菜單 選 擇作圖 作垂線 垂線即為此拋物線的準線 23 3 選擇軸 右擊鼠標顯示快捷菜單 選擇作圖 對象上的點 確保該點處 在被選中狀態(tài) 選擇工具欄里的 標出文本 標簽 工具 鼠標單擊剛畫出的點 將顯示出該點的 標簽 假設為 F 點 F 為拋物線的焦點 4 選擇垂線 右擊鼠標顯示快捷菜單 選擇作圖 對象上的點 確保該點 處在被選中狀態(tài) 選擇工具欄里的 標出文本 標簽 工具 鼠標單擊剛畫出的 點 將顯示出該點的 標簽 假設為 N 選擇點 N 按住 Shift 鍵 鼠 標單擊直線 右擊鼠標顯示快捷菜單 選擇作圖 作垂線 選擇點 N 和點 F 右擊鼠標顯示快捷菜單 選擇作圖 線段 NF 選擇線段 NF 右擊鼠標顯示快捷 菜單 選擇作圖 中點 A 選擇點 A 和線段 NF 右擊鼠標顯示快捷菜單 選擇 作圖 垂線 選擇直線 和直線 右擊鼠標顯示快捷菜單 選擇作圖 交點 鼠標單擊剛畫出的點 將顯示出該點的 標簽 假設為 P 5 選擇點 N 和點 P 右擊鼠標顯示快捷菜單 選擇作圖 軌跡 拋物線作 好了 可適當調(diào)整準線和焦點 F 的位置 則可以得到不同的拋物線 通過上例我們可以看到 此法作函數(shù)圖象的實質(zhì)是尺規(guī)作圖 24 第二第二章章 用幾何畫板研究函數(shù)圖象用幾何畫板研究函數(shù)圖象 第一講 一次函數(shù)圖象的研究 一次函數(shù)是同學們初中熟悉的函數(shù) 其解析式為 圖象為 0 ykxb k 一條直線 當時 一次函數(shù)就變?yōu)檎壤瘮?shù) 你知道解析式中和的0b kb 幾何意義嗎 它們的改變會對函數(shù)圖象產(chǎn)生哪些影響呢 一次函數(shù)的單調(diào)性和 奇偶性又是由什么來決定的呢 這一講 我們將借助于幾何畫板 繪制函數(shù)圖 象來對這些問題進行研究 操作操作 1 1 用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象 0 ykx k 步驟 點擊菜單欄 繪圖 繪制新函數(shù) 新建參數(shù) k 輸入 kx 如圖 1 所示 圖 1 25 可以通過 改變斜率 也可設置滑塊 我們可以發(fā)現(xiàn) 當改變的值時 圖象的傾斜程度也隨之改變 我們把反映k 直線傾斜程度的稱為直線的斜率斜率 k 請同學們觀察這些圖象 回答下列問題 問題 1 這些圖象有什么共同特點 問題 2 你能判斷這些函數(shù)的奇偶性嗎 問題 3 當斜率時 傾斜角的范圍是什么 斜率和傾斜角之間的變0k k 化關系如何 此時 函數(shù)的單調(diào)性如何 問題 4 當斜率時 傾斜角的范圍是什么 斜率和傾斜角之間的變0k k 化關系如何 此時 函數(shù)的單調(diào)性如何 問題 5 通過問題 3 和問題 4 的比較 你認為決定一次函數(shù)單調(diào)性的因素 是什么 操作操作 2 2 用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象 yxb 步驟 點擊菜單欄 繪圖 繪制新函數(shù) 新建參數(shù) b 輸入 x b 如圖 2 所示 26 圖 2 我們可以發(fā)現(xiàn) 這些直線的傾斜程度都一樣 改變的是直線與軸交點的y 位置 而且 直線與軸交點的縱坐標就是的值 我們稱之為縱截距縱截距 yb 請同學們觀察這些圖象 回答下列問題 問題 1 縱截距的取值范圍是什么 b 問題 2 滿足什么條件時 圖象關于原點對稱 b 問題 3 這些圖象中 有沒有關于軸對稱的 y 問題 4 你認為決定一次函數(shù)奇偶性的因素是什么 問題 5 你認為這些函數(shù)圖象具備什么共同特點 請同學們結合這些問題的結論把一次函數(shù)的性質(zhì)匯總出來 27 第二講第二講 二次函數(shù)圖象的研究二次函數(shù)圖象的研究 對于二次函數(shù) 同學們也比較熟悉 它的解析式是 2 yaxbxc 0 a 圖象為一條拋物線 對稱軸是 頂點坐標是 這一講 2 b x a 2 4 24 bacb aa 我們將借助于幾何畫板繪制二次函數(shù)圖象 并通過圖象來研究它的其它性質(zhì) 操作操作 1 1 用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象 2 0 yaxa 步驟 點擊菜單欄 繪圖 繪制新函數(shù) 新建參數(shù) a 輸入 ax 2 如圖 1 所示 圖 1 我們可以看到 對取不同的數(shù)值 這些圖象都是頂點為原點的拋物線 a 軸為它們的對稱軸 y 請同學們觀察這些圖象 回答下列問題 問題 1 滿足什么條件圖象開口向上 滿足什么條件圖象開口向下 問題 2 圖象的開口方向由什么條件決定 問題 3 當二次項系數(shù) 且由小變大時 圖象的形狀 開口大小 0a a 28 發(fā)生了什么變化 問題 4 當二次項系數(shù) 且由大變小時 圖象的形狀 開口大小 0a a 發(fā)生了什么變化 問題 5 你認為決定二次函數(shù)圖象形狀 開口大小 的因素是什么 操作操作 2 2 用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象 2 yxbx 步驟 點擊菜單欄 繪圖 繪制新函數(shù) 新建參數(shù) b 輸入 x 2 bx 如圖 2 所示 圖 2 29 我們可以看到 對取不同的數(shù)值 這些圖象都經(jīng)過原點 且形狀一致 b 請同學們觀察這些圖象 回答下列問題 問題 1 改變的取值 二次函數(shù)的圖象發(fā)生了怎樣的變化 b 問題 2 何時圖象關于軸對稱 y 問題 3 這些圖象中 有沒有關于原點對稱的 問題 4 你認為決定二次函數(shù)奇偶性的因素是什么 操作操作 3 3 用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象 2 yxxc 步驟 點擊菜單欄 繪圖 繪制新函數(shù) 新建參數(shù) c 輸入 x 2 x c 如圖 3 所示 圖 3 30 我們可以發(fā)現(xiàn) 當二次項系數(shù)和一次項系數(shù)固定時 函數(shù)的形狀和對稱軸 都隨之固定 對 取不同的數(shù)值 改變的是圖象的位置 c 請同學們觀察這些圖象 回答下列問題 問題 1 改變 的取值 二次函數(shù)的圖象會發(fā)生怎樣的變化 c 問題 2 二次函數(shù)與軸交點的縱坐標與 是什么關系 yc 問題 3 的取值范圍是什么 c 問題 4 你能否嘗試梳理一下二次函數(shù)中參數(shù)都分別對圖象的變cba 化起到什么作用 操作操作 4 4 用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象 2 0 yaxbxc a 步驟 點擊菜單欄 繪圖 繪制新函數(shù) 新建參數(shù) a b c 輸入 ax 2 bx c 如圖 4 所示 31 圖 4 請同學們觀察這些圖象 回答下列問題 問題 1 和時 函數(shù)的最值情況如何 0a 0a 問題 2 時 函數(shù)的單調(diào)性如何 你能寫出它的單調(diào)區(qū)間嗎 0a 問題 3 時 函數(shù)的單調(diào)性如何 你能寫出它的單調(diào)區(qū)間嗎 0a 問題 4 你認為決定二次函數(shù)單調(diào)性的因素有哪些 并試著分類寫出它的 單調(diào)區(qū)間 問題 5 離對稱軸距離相等的點 其縱坐標有什么特點 32 問題 6 時 函數(shù)值的大小與其自變量距離對稱軸的遠近有什么關系 0a 問題 7 時 函數(shù)值的大小與其自變量距離對稱軸的遠近有什么關系 0a 請同學們結合這些問題的結論把二次函數(shù)的性質(zhì)匯總出來 第三講 對勾函數(shù)圖象的研究 對勾函數(shù)因其部分圖象形似 對勾 而得名 又有人趣稱 0 a yxa x 為 耐克函數(shù) 在高中數(shù)學中 對勾函數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性 極值問題的典型 模型 出現(xiàn)的頻率較高 故而是非常重要的一類函數(shù) 這一講 我們將借助于 幾何畫板 繪制對勾函數(shù)的圖象 從而研究它的重要性質(zhì) 操作 操作 用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象 0 a yxa x 步驟 點擊菜單欄 繪圖 繪制新函數(shù) 新建參數(shù) a 輸入 x a x 如圖 1 所示 33 圖 1 對取不同的數(shù)值 我們可以發(fā)現(xiàn) 軸右側的圖象形狀確實如同一個對勾 ay 這個特征將有助于我們熟記對勾函數(shù)的圖象 挖掘?qū)春瘮?shù)的性質(zhì) 請同學們觀察這些圖象 回答下列問題 問題 1 對勾函數(shù)的定義域是什么 問題 2 對勾函數(shù)的圖象關于什么對稱 問題 3 你能判斷對勾函數(shù)的奇偶性嗎 問題 4 改變的大小 對勾的形狀會發(fā)生怎樣的變化 a 問題 5 改變的值 觀察兩個 拐點 的橫坐標與有怎樣的關系 aa 問題 6 對勾函數(shù)的值域是什么 與 拐點 有無關系 問題 7 你能判斷對勾函數(shù)的單調(diào)性嗎 問題 8 根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性且限定時 你能試著分類寫出對勾 2 1 x 函數(shù)的值域嗎 34 這些問題有了答案之后 相信同學們已經(jīng)對 對勾函數(shù) 有了更深的了解 當時 函數(shù)是最常見的對勾函數(shù) 它的單調(diào)性相信同學們從1a 1 yx x 圖象上已經(jīng)能夠確定 下面我們用定義證明一下 例例 求證 在上單調(diào)遞減 1 f xx x 0 1 證明 任取 且 12 0 1 x x 12 xx 21 0 xxxA 12 21212121 212112 1111 xx yf xf xxxxxxx xxxxx x A 2112 21 1212 1 1 1 xxx x xx x xx x 1212211212 0 1 0 01 10 xxxxxxx xx x 在上單調(diào)遞減 0 yf xA 0 1 同學們 你能試著證明一下函數(shù)在上單調(diào)遞增嗎 1 f xx x 1 思考 思考 如果 那么函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性會發(fā)生變化嗎 此0a a yx x 時函數(shù)還是對勾函數(shù)嗎 試證明你的結論 35 第四講第四講 指數(shù)函數(shù)圖象的研究指數(shù)函數(shù)圖象的研究 指數(shù)函數(shù)是同學們進入高中后接觸的第一類新的基本 0 1 x yaaa 且 初等函數(shù) 在現(xiàn)實生活中的很多方面 如生物學中的細胞分裂 銀行存款本利 和的復利計算等都有它的身影 這一講 我們將借助于幾何畫板 繪制指數(shù)函 數(shù)的圖象 借助函數(shù)圖象變化的動態(tài)演示 來研究它的性質(zhì) 操作 操作 用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象 0 1 x yaaa 且 步驟 點擊菜單欄 繪圖 繪制新函數(shù) 新建參數(shù) a 輸入 a x 如圖 1 和圖 2 所示 圖 1 36 圖 2 我們可以發(fā)現(xiàn) 無論取何值 圖象永遠在軸的上方 易發(fā)現(xiàn)其定義域為ax 值域為 R 0 請同學們觀察這些圖象 回答下列問題 問題 1 這些圖象是否恒過某個定點 你能找到它的理論依據(jù)嗎 問題 2 你能判斷這些函數(shù)的奇偶性嗎 問題 3 當時 改變的值 圖象的升降趨勢如何 此時 函數(shù)的單1a a 調(diào)性如何 問題 4 當時 改變的值 圖象的升降趨勢如何 此時 函數(shù)的01a a 單調(diào)性如何 問題 5 你認為決定指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的因素是什么 你能寫出它的單調(diào)區(qū) 間嗎 問題 6 當時 逐漸增大的值 圖象的變化趨勢如何 第一象限1a a 內(nèi)圖象如何變化 第二象限內(nèi)圖象如何變化 問題 7 當時 逐漸增大的值 圖象的變化趨勢如何 第一象01a a 限內(nèi)圖象如何變化 第二象限內(nèi)圖象如何變化 問題 8 當時 滿足什么條件時 滿足什么條件時 1a x1y x 01y 問題 9 當時 滿足什么條件時 滿足什么條件時 01a x1y x 37 01y 問題 10 分別令取互為倒數(shù)的兩個值如分別取和 和 觀察每對a2 1 2 3 1 3 函數(shù)圖象的特點 你能據(jù)此總結出什么結論 問題 11 改變的值 當時 觀察點的縱坐標 你能得出什么結論 a1x 從中你能受到什么啟發(fā) 請同學們結合這些問題的結論把指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)匯總出來 我們可以看到 函數(shù)的圖象是研究它的性質(zhì)的重要載體 借助于幾何畫板 的作圖和分析功能 及其對函數(shù)圖象能直接操作的優(yōu)越性 可以使我們方便地 觀察函數(shù)的整體變化情況 同時還能對其中的細節(jié)進行考察 這樣我們就可以 從函數(shù)圖象的變化中獲得大量關于函數(shù)特點的信息 這對我們歸納 概括函數(shù) 的性質(zhì)以及不同函數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別有極大的好處 38 第五講第五講 對數(shù)函數(shù)圖象的研究對數(shù)函數(shù)圖象的研究 對數(shù)函數(shù)是同學們進入高中后接觸的第二類新的基log 0 1 a yx aa 且 本初等函數(shù) 由于對數(shù)的定義和運算法則完全是高中新授 因此相比指數(shù)函數(shù) 而言 同學們普遍對對數(shù)函數(shù)比較陌生 很長一段時間運用起來都不能得心應 手 這一講 我們將借助于幾何畫板繪制對數(shù)函數(shù)的圖象 借助函數(shù)圖象變化 的動態(tài)演示來研究它的性質(zhì) 操作 操作 用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象 log 0 1 a yx aa 且 步驟 點擊菜單欄 繪圖 繪制新函數(shù) 新建參數(shù) a 輸入 如圖 1 和圖 2 所示 39 圖 1 圖 2 我們可以發(fā)現(xiàn) 無論取何值 圖象永遠在軸的右側 易發(fā)現(xiàn)其定義域為ay 值域為 0 R 請同學們觀察這些圖象 回答下列問題 問題 1 這些圖象是否恒過某定點 你能找到它的理論依據(jù)嗎 問題 2 你能判斷這些函數(shù)的奇偶性嗎 問題 3 當時 如圖 1 改變的值 圖象的升降趨勢如何 此時 1a a 函數(shù)的單調(diào)性如何 問題 4 當時 如圖 2 改變的值 圖象的升降趨勢如何 此01a a 40 時 函數(shù)的單調(diào)性如何 問題 5 你認為決定對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的因素是什么 你能寫出它的單調(diào)區(qū)間 嗎 問題 6 當時 如圖 1 逐漸增大的值 圖象的變化趨勢如何 1a a 第一象限內(nèi)圖象如何變化 第四象限內(nèi)圖象如何變化 問題 7 當時 如圖 2 逐漸增大的值 圖象的變化趨勢如何 01a a 第一象限內(nèi)圖象如何變化 第四象限內(nèi)圖象如何變化 問題 8 當時 滿足什么條件時 滿足什么條件時 1a x0y x 0y 問題 9 當時 滿足什么條件時 滿足什么條件時 01a x0y x 0y 問題 10 分別令取互為倒數(shù)的兩個值 如分別取和 和 觀察a2 1 2 3 1 3 每對函數(shù)圖象的特點 你能據(jù)此總結出什么結論 問題 11 改變的值 當時 觀察點的橫坐標 你能得出什么結論 a1y 從中你能受到什么啟發(fā) 請同學們結合這些問題的結論把對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)匯總出來 41 研究好對數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 將為我們下一節(jié)課研究指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的關 系打下良好的基礎 第六講第六講 指 對數(shù)函數(shù)關系的研究指 對數(shù)函數(shù)關系的研究 當一個函數(shù)是一一映射時 可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新的函數(shù)的 自變量 而把這個函數(shù)的自變量作為該新函數(shù)的因變量 從而得到和原來函數(shù) 相關的一個新函數(shù) 我們稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù)反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)就是 互為反函數(shù)的最好例子 這一講 我們將借助于幾何畫板 在同一坐標系中繪 制指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象 通過對這兩個函數(shù)圖象的比較 來研究互為反 函數(shù)的兩個函數(shù)之間的關系 操作操作 1 1 用幾何畫板在同一坐標系中繪制函數(shù)與的圖象 2xy 2 logyx 步驟 點擊菜單欄 繪圖 繪制新函數(shù) 輸入 2 x 繪制新函數(shù) 輸入 如圖 1 所示 42 圖 1 請同學們觀察圖象 回答下列問題 問題 1 這兩個函數(shù)圖象有什么對稱關系嗎 問題 2 取圖象上的幾個點 如 2xy 1 1 1 2 P 2 0 1 P 3 1 2 P 1 P 關于直線的對稱點的坐標是什么 它們在的圖象上嗎 2 P 3 Pyx 2 logyx 為什么 問題 3 如果點在函數(shù)的圖象上 那么關于直線的 000 P xy2xy 0 Pyx 對稱點在的圖象上嗎 為什么 2 logyx 問題 4 由上述探究過程可以得到什么結論 問題 5 上述結論對于指數(shù)函數(shù)及其反函數(shù) 0 1 x yaaa 且logayx 也成立嗎 為什么 0 1 aa 且 43 操作操作 2 2 用幾何畫板在同一坐標系中繪制函數(shù)與 x ya logayx 的圖象 0 1 aa 且 步驟 點擊菜單欄 繪圖 繪制新函數(shù) 新建參數(shù) a 輸入 a x 繪制新函數(shù) 輸入 如圖 2 所示 44 圖 2 對取不同的數(shù)值 請同學們觀察圖象 回答下列問題 a 問題 1 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 0 1 x yaaa 且 的定義域和值域之間有什么聯(lián)系 logayx 0 1 aa 且 問題 2 當時 改變的值 這兩個函數(shù)的單調(diào)性如何 01a a 問題 3 當時 改變的值 這兩個函數(shù)的單調(diào)性如何 1a a 問題 4 比較上兩個問題 你認為指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函 0 1 x yaaa 且 數(shù)的單調(diào)性有什么關系 logayx 0 1 aa 且 問題 5 當時 對相同的自變量的增量 這兩個函數(shù)值的增量 增長1a 速度 有什么差別 問題 6 當時 情況又如何呢 01a 請同學們結合這些問題的結論把指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系匯總出來 45 第七講第七講 冪函數(shù)圖象的研究冪函數(shù)圖象的研究 冪函數(shù)是一種最 多變 的函數(shù) 它的解析式為 圖象隨 yxR 的取值不同而不斷變化 初中學過的正比例函數(shù) 當時 和二次 ykx 1k 函數(shù) 當時 都屬于冪函數(shù) 這一講 我們將借助 2 yaxbxc 1 0abc 于幾何畫板 繪制冪函數(shù)的圖象 來研究它的圖象變化特點和性質(zhì) 操作操作 1 1 用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象 yxR 步驟 點擊菜單欄 繪圖 繪制新函數(shù) 新建參數(shù) a 輸入 x a 如圖 1 所示 46 圖 1 我們可以看到 隨著指數(shù)的取值不同 冪函數(shù)的圖象形狀差異極大 且 有時圖象只在第一象限 有時出現(xiàn)在一 二象限 有時出現(xiàn)在一 三象限 究 竟是什么因素導致了這種差異呢 下面我們深入研究一下 請同學們觀察這些圖象 回答下列問題 問題 1 冪函數(shù)圖象過什么定點 問題 2 若 圖象還經(jīng)過什么定點 0 問題 3 若圖象出現(xiàn)在一 三象限 圖象還會經(jīng)過什么定點 問題 4 改變的值 冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象的增減趨勢如何 問題 5 你認為決定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象的單調(diào)性的因素是什么 問題 6 若圖象出現(xiàn)在一 二象限 函數(shù)的圖象關于什么對稱 此時函數(shù) 的奇偶性如何 問題 7 若圖象出現(xiàn)在一 三象限 函數(shù)的圖象關于什么對稱 此時函數(shù) 47 的奇偶性如何 問題 8 冪函數(shù)的圖象會