九級數(shù)學上冊圓專題--輔助線.doc

此文檔收集于網(wǎng)絡，僅供學習與交流，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除圓 專題一 輔助線1 遇到弦時（解決有關弦的問題時）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結過弦的端點的半徑。或者連結圓心和弦的兩個端點，構成等腰三角形，還可連結圓周上一點和弦的兩個端點。作用：1、利用垂徑定理； 2、利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系； 3、利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關量。4、可得等腰三角形； 5、據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。例：如圖，是O的直徑,POAB交O于P點，弦PN與AB相交于點M，求證：PMPN=2PO2.分析：要證明PMPN=2PO2，即證明PMPC =PO2，過O點作OCPN于C，根據(jù)垂經(jīng)定理 NC=PC，只需證明PMPC=PO2，要證明PMPC=PO2只需證明RtPOCRtPMO.證明: 過圓心O作OCPN于C，PC= PNPOAB, OCPN，MOP=OCP=90.又OPC=MPO，RtPOCRtPMO. 即PO2= PMPC. PO2= PMPN，PMPN=2PO2.【例1】如圖，已知ABC內(nèi)接于O，A=45，BC=2，求O的面積。 【例2】如圖，O的直徑為10，弦AB8，P是弦AB上一個動點，那么OP的長的取值范圍是_【例3】如圖，弦AB的長等于O的半徑，點C在弧AMB上，則C的度數(shù)是_.2 遇到有直徑時常常添加（畫）直徑所對的圓周角。作用：利用圓周角的性質(zhì)，得到直角或直角三角形。例 如圖，在ABC中，C=90，以BC上一點O為圓心，以OB為半徑的圓交AB于點M，交BC于點N（1） 求證：BABM=BCBN；（2） 如果CM是O的切線，N為OC的中點，當AC=3時，求AB的值分析：要證BABM=BCBN，需證ACBNMB，而C=90，所以需要NMB中有個直角，而BN是圓O的直徑，所以連結MN可得BMN=90。MNOCA（1） 證明：連結MN，則BMN=90=ACBACBNMBABBM=BCBN（2） 解：連結OM，則OMC=90N為OC中點BMN=ON=OM，MON=60OM=OB，B=MON=30ACB=90，AB=2AC=23=6【例4】如圖，AB是O的直徑，AB=4，弦BC=2, B= 3 遇到90的圓周角時常常連結兩條弦沒有公共點的另一端點。作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑?！纠?】如圖，AB、AC是O的的兩條弦，BAC=90，AB=6，AC=8，O的半徑是 5 遇到有切線時（1）常常添加過切點的半徑（連結圓心和切點）（2）常常添加連結圓上一點和切點作用：1、可構成弦切角，從而利用弦切角定理。2、利用切線的性質(zhì)定理可得OAAB，得到直角或直角三角形?！纠?】如圖，AB是O的直徑，弦AC與AB成30角，CD與O切于C，交AB的延長線于D，求證：AC=CD6 遇到證明某一直線是圓的切線時切線判定分兩種：公共點未知作垂線、公共點已知作半徑切線的判定定理是：“經(jīng)過半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.”，就是說，要判定一條直線是否是切線，應同時滿足這樣的兩條：（1）直線經(jīng)過半徑的外端，（2）直線垂直于這條半徑，所以,在證明直線是切線時, 往往需要通過作恰當?shù)妮o助線,才能順利地解決問題.下面是添輔助線的小規(guī)律.1無點作垂線需證明的切線，條件中未告之與圓有交點，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明垂足到圓心的距離等于半徑.例7已知：如圖，AB是O的直徑，ADAB于A， BCAB于B，若DOC= 90.求證：DC是O的切線.分析：DC與O沒有交點，“無點作垂線”，過圓心O作OEDC，只需證OE等于圓的半徑.因為AO為半徑，若能證OE=OA即可.而OE、OA在DEO、DAO中，需證明DEODAO證明：作OEDC于E點，取DC的中點F，連結OF.又DOC= 90. FO=FD 1=3.ADAB，BCAB, BCAD, OF為梯形的中位線.OFAD . 2=3. 1=2.DO是ADE的角平分線. OADA，OEDC，OA=OE=圓的半徑. DC是O的切線.2有點連圓心.當直線和圓的公共點已知時，聯(lián)想切線的判定定理，只要將該點與圓心連結，再證明該半徑與直線垂直.例8已知：如圖，AB為O的直徑，BC為O的切線，切點為B，OC平行于弦AD，求證：CD是O的切線.分析：D在O上，有點連圓心，連結DO，證明DODC即可. 證明：連結DO，OCAD DAO=COB，ADO=DOC而DAO=ADODOC=COB，又OC=OC，DO=BO DOCBOC ODC=OBC， BC為O的切線，切點為BOBC=90， ODC=90，又D在O上，CD是O的切線.【例7】如圖所示，已知AB是O的直徑，ACL于C，BDL于D，且AC+BD=AB。求證：直線L與O相切。 【例8】如圖，ABO中，OA= OB，以O為圓心的圓經(jīng)過AB中點C，且分別交OA、OB于點E、F 求證：AB是O切線；7 遇到兩相交切線時（切線長）常常連結切點和圓心、連結圓心和圓外的一點、連結兩切點。作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到：角、線段的等量關系；垂直關系；全等、相似三角形?！纠?】如圖，P是O外一點，PA、PB分別和O切于A、B，C是弧AB上任意一點，過C作O的切線分別交PA、PB于D、E，若PDE的周長為12，則PA長為_8 遇到三角形的內(nèi)切圓時連結內(nèi)心到各三角形頂點，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得： 內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線； 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。【例10】如圖，ABC中，A=45，I是內(nèi)心，則BIC= 【例11】如圖，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90，I分別切AC，BC，AB于D，E，F(xiàn)，求RtABC的內(nèi)心I與外心O之間的距離9 遇到三角形的外接圓時，連結外心和各頂點作用：外心到三角形各頂點的距離相等。課后沖浪1已知：P是O外一點，PB，PD分別交O于A、B和C、D，且AB=CD.求證：PO平分BPD.2如圖，ABC中，C=90，圓O分別與AC、BC相切于M、N，點O在AB上，如果AO=15，BO=10，求圓O的半徑.3已知：ABCD的對角線AC、BD交于O點，BC切O于E點.求證：AD也和O相切.4如圖，學校A附近有一公路MN，一拖拉機從P點出發(fā)向PN方向行駛，已知NPA=30，AP=160米，假使拖拉機行使時，A周圍100米以內(nèi)受到噪音影響，問：當拖拉機向PN方向行駛時，學校是否會受到噪音影響？請說明理由.如果拖拉機速度為18千米小時，則受噪音影響的時間是多少秒？5如圖，A是半徑為1的圓O外的一點，OA=2，AB是圓