一分析的化身──歐拉 (2).doc

歐拉讀讀歐拉，他是所有人的老師2007年是瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家兼工程師萊昂哈德歐拉(Leonhard Euler)誕辰300周年紀(jì)念。歐拉被公認(rèn)為人類歷史上成就最為斐然的數(shù)學(xué)家之一。在數(shù)學(xué)及許多分支中都可以見到很多以歐拉命名的常數(shù)、公式和定理，他的工作使得數(shù)學(xué)更接近于現(xiàn)在的形態(tài)。他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個物理的領(lǐng)域。此外歐拉還涉及建筑學(xué)、彈道學(xué)、航海學(xué)等領(lǐng)域。瑞士教育與研究國務(wù)秘書Charles Kleiber曾表示：“沒有歐拉的眾多科學(xué)發(fā)現(xiàn)，今天的我們將過著完全不一樣的生活?！狈▏鴶?shù)學(xué)家拉普拉斯則認(rèn)為：他是我們所有人的導(dǎo)師。歐拉將哥尼斯堡七橋問題轉(zhuǎn)化為僅包含點(diǎn)、線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)歐拉示性數(shù)溯源于歐拉提出的凸多面體的一條定理：在一凸多面體中，頂點(diǎn)數(shù)-棱邊數(shù)+面數(shù)=2萊昂哈德歐拉(Leonhard Euler)數(shù)學(xué)史上公認(rèn)的4名最偉大的數(shù)學(xué)家分別是：阿基米德、牛頓、歐拉和高斯。阿基米德有“翹起地球”的豪言壯語，牛頓因?yàn)樘O果聞名世界，高斯少年時就顯露出計算天賦，唯獨(dú)歐拉沒有戲劇性的故事讓人印象深刻。然而，幾乎每一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、數(shù)論的歐拉函數(shù)、變分法的歐拉方程、復(fù)變函數(shù)的歐拉公式歐拉還是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他一生寫下886種書籍論文，平均每年寫出800多頁，彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了47年。他的著作無窮小分析引論、微分學(xué)、積分學(xué)是18世紀(jì)歐洲標(biāo)準(zhǔn)的微積分教科書。歐拉還創(chuàng)造了一批數(shù)學(xué)符號，如f(x)、?駐、i、e等等，使得數(shù)學(xué)更容易表述、推廣。并且，歐拉把數(shù)學(xué)應(yīng)用到數(shù)學(xué)以外的很多領(lǐng)域。1707年歐拉生于瑞士巴塞爾，13歲入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲碩士學(xué)位，19歲開始發(fā)表論文，26歲時擔(dān)任了彼得堡科學(xué)院教授，約30歲時右眼失明，60歲左右完全失明，歐拉1783年76歲在俄國彼得堡去世。在失明后，他仍然以口述形式完成了幾本書和400多篇論文，解決了讓牛頓頭痛的月離等復(fù)雜分析問題。法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾說過一句話讀讀歐拉，他是所有人的老師。中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員李文林表示：“歐拉其實(shí)是大家很熟悉的名字，在數(shù)學(xué)和物理的很多分支中到處都是以歐拉命名的常數(shù)、公式、方程和定理，他的探索使得科學(xué)更接近我們現(xiàn)在的形態(tài)。” 他讓微積分長大成人恩格斯曾說，微積分的發(fā)明是人類精神的最高勝利。1687年，牛頓在自然哲學(xué)數(shù)學(xué)原理一書中首次公開發(fā)表他的微積分學(xué)說，幾乎同時，萊布尼茨也發(fā)表了微積分論文，但牛頓、萊布尼茨創(chuàng)始的微積分基礎(chǔ)不穩(wěn)，應(yīng)用范圍也有限。18世紀(jì)一批數(shù)學(xué)家拓展了微積分，并拓廣其應(yīng)用產(chǎn)生一系列新的分支，這些分支與微積分自身一起形成了被稱為“分析”的廣大領(lǐng)域。李文林說：“歐拉就生活在這個分析的時代。如果說在此之前數(shù)學(xué)是代數(shù)、幾何二雄并峙，歐拉和18世紀(jì)其他一批數(shù)學(xué)家的工作則使得數(shù)學(xué)形成了代數(shù)、幾何、分析三足鼎立的局面。如果沒有他們的工作，微積分不可能春色滿園，也許會打不開局面而荒蕪凋零。歐拉在其中的貢獻(xiàn)是基礎(chǔ)性的，被尊為分析的化身?！敝袊茖W(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員胡作玄說：“牛頓形成了一個突破，但是突破不一定能形成學(xué)科，還有很多遺留問題?！北热?，牛頓對無窮小的界定不嚴(yán)格，有時等于零有時又參與運(yùn)算，被稱為“消逝量的鬼魂”，當(dāng)時甚至連教會神父都抓住這點(diǎn)攻擊牛頓。另外，由于當(dāng)時函數(shù)有局限，牛頓和萊布尼茨只涉及到少量函數(shù)及其微積分的求法。而歐拉極大地推進(jìn)了微積分，并且發(fā)展了很多技巧。“在分析之前，數(shù)學(xué)主要是解決常量、勻速運(yùn)動問題。18世紀(jì)工業(yè)革命時，以蒸汽機(jī)紡織機(jī)等機(jī)械為主體技術(shù)得到廣泛運(yùn)用，但如果沒有微積分、沒有分析，就不可能對機(jī)械運(yùn)動與變化進(jìn)行精確計算。”李文林表示，到現(xiàn)在為止，微積分和微分方程仍然是描寫運(yùn)動的最有效工具，教科書中陳述的方法，不少屬歐拉的貢獻(xiàn)。更重要的是，牛頓、萊布尼茨微積分的對象是曲線，而歐拉明確地指出，數(shù)學(xué)分析的中心應(yīng)該是函數(shù)，第一次強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的角色，并對函數(shù)的概念作了深化。變分法來源于微積分，后來由歐拉和拉格朗日從不同的角度把它發(fā)展成一門獨(dú)立學(xué)科，用于求解極值問題。而變分學(xué)起源頗富戲劇性1696年，歐拉的老師、巴塞爾大學(xué)教授約翰伯努利提出這樣一個問題，并向其他數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)：設(shè)想一個小球從空間一點(diǎn)沿某條曲線滾落到(不在同一垂直線上的)另外一點(diǎn)，問什么形狀的曲線使球降落用時最短。這就是著名的“最速降線問題”，半年之后仍沒人解出，于是伯努利更明確地表示“即使是那些對自己的方法自視甚高的數(shù)學(xué)家也解決不了這個問題”。有人說他在影射牛頓，因?yàn)椴侨R布尼茨的追隨者，而萊布尼茨和牛頓正因?yàn)槲⒎e分優(yōu)先權(quán)的問題在“打仗”，并導(dǎo)致歐洲大陸和英國數(shù)學(xué)家的分裂。當(dāng)時牛頓任倫敦造幣局局長。有一天他收到一個法國朋友轉(zhuǎn)寄的“挑戰(zhàn)書”，于是吃過晚飯后挑燈夜戰(zhàn)，天亮前解了出來，匿名發(fā)表在劍橋大學(xué)哲學(xué)會刊。雖是匿名，但約翰伯努利看到之后驚呼：“從這鋒利的爪我認(rèn)出了這頭雄獅。”后來伯努利兄弟和萊布尼茨也都解出了這個問題，發(fā)表在同一期刊物上。在這個問題中，變量本身就是函數(shù)，因此比微積分的極大極小值問題更為復(fù)雜。這個問題和其他一些類似問題的解決，成為變分法的起源。歐拉找到了解決這類問題的一般方法，教科書中變分法的基本方程就叫歐拉方程。歐拉13歲上大學(xué)時，約翰伯努利已經(jīng)是歐洲很有名的數(shù)學(xué)家，伯努利后來對歐拉說，“我介紹高等分析的時候，它還是個孩子，而你正在將它帶大成人。”全才數(shù)學(xué)家李文林說：“除了分析，很多數(shù)學(xué)領(lǐng)域都繞不開歐拉的名字。如數(shù)論，高斯說數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，而數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后，其難度和地位可想而知。”代數(shù)數(shù)論的形成和費(fèi)馬大定理有很深的關(guān)系。費(fèi)馬17世紀(jì)提出的一個猜想方程xn+yn=zn，當(dāng)n3時沒有整數(shù)解。費(fèi)馬猜想也稱費(fèi)馬大定理，費(fèi)馬在提出這一猜想的同時，在紙邊寫了一句話宣稱：“我已找到了一個奇妙的證明，但書邊空白太窄，寫不下?！庇谑琴M(fèi)馬的證明已成千古之謎。此后經(jīng)過300年，直到1993年費(fèi)馬大定理才被英國數(shù)學(xué)家最終解決。整個18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們都想解決這個猜想，但只有歐拉作出了唯一的成果，證明了n=3的情況，成為費(fèi)馬大定理研究的第一個突破。歐拉對費(fèi)馬大定理的證明是在1753年給哥德巴赫的信中首次說明的，1754年正式發(fā)表。兩人經(jīng)常通信討論問題，哥德巴赫猜想的雛形也是在哥德巴赫寫給歐拉的信中首先提出，歐拉在回信中進(jìn)一步明確。歐拉是解析數(shù)論的奠基人，他提出歐拉恒等式，建立了數(shù)論和分析之間的聯(lián)系，使得可以用微積分研究數(shù)論。后來，高斯的學(xué)生黎曼將歐拉恒等式推廣到復(fù)數(shù)，提出了黎曼猜想，至今沒有解決，成為向21世紀(jì)數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)的最重大難題之一。“在幾何方面，歐拉解決了哥尼斯堡七橋問題，這也成為圖論、拓?fù)鋵W(xué)的濫觴。”李文林說。哥尼斯堡曾是德國城市，后屬蘇聯(lián)。普雷格爾河穿城而過，并繞流河中一座小島而分成兩支，河上建了7座橋。傳說當(dāng)?shù)鼐用裣朐O(shè)計一次散步，從某處出發(fā)，經(jīng)過每座橋回到原地，中間不重復(fù)。李文林說：“這就是今天的一筆畫問題，但在當(dāng)時沒人能解決。歐拉將這個問題變成一個數(shù)學(xué)模型，用點(diǎn)和線畫出網(wǎng)絡(luò)狀圖，證明這種走法不存在，解決了哥尼斯堡七橋問題。對此類問題的討論研究，事實(shí)上引導(dǎo)了圖論和拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展?！蓖?fù)鋵W(xué)中的歐拉示性數(shù)也溯源于歐拉1752年提出的關(guān)于凸多面體的一條定理：在一凸多面體中，頂點(diǎn)數(shù)-棱邊數(shù)+面數(shù)=2。陳省身曾指出歐拉示性數(shù)是很多問題和解決辦法的來源，對幾何學(xué)的影響是根本性的。李文林說：“因?yàn)閿?shù)學(xué)好，歐拉得以解決很多其他領(lǐng)域的問題。物理、力學(xué)、天文學(xué)、航海、大地測量等等到處都有歐拉的貢獻(xiàn)，他是典型的全才數(shù)學(xué)家。牛頓、萊布尼茨發(fā)明的微積分可以說是原生態(tài)，而歐拉18世紀(jì)寫的文章我們現(xiàn)在依然能讀，可以說歐拉等人使得數(shù)學(xué)特別是分析向現(xiàn)代形式發(fā)展?！弊疃喈a(chǎn)的數(shù)學(xué)家歐拉是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。瑞士自然科學(xué)基金會組織編寫歐拉全集，計劃出84卷，每卷都是4開本(一張報紙大小)。如果按每本300頁計算，歐拉從18歲開始每天得寫1張半紙。然而這些只是遺存的作品，歐拉的手稿在1771年彼得堡大火中還丟失了一部分。歐拉曾說他的遺稿大概夠彼得堡科學(xué)院用20年。但實(shí)際上在他去世后的第80年，彼得堡科學(xué)院院報還在發(fā)表他的論著?！疤觳旁谟谇趭^，歐拉就是這條真理的化身?！崩钗牧直硎?，“很多科學(xué)家都很勤奮，而歐拉最為典型。他失明后的十多年都是在完全看不見的情況下作研究。歐拉心算能力很強(qiáng)，可以通過口述讓別人記錄。有一次歐拉的兩個學(xué)生算無窮級數(shù)求和，算到第17項(xiàng)時兩人在小數(shù)點(diǎn)后第50位數(shù)字上發(fā)生爭執(zhí)，歐拉這時進(jìn)行心算，迅速給出了正確答案?！薄案咚沟纳裢适码m然有趣，但并不是每個人都是神童。即使是身為神童的高斯，其勤奮也是出名的?？梢哉f凡有大成就的數(shù)學(xué)家必有大勤奮?！崩钗牧峙e例說，被譽(yù)為“現(xiàn)代分析之父”的德國數(shù)學(xué)家魏斯特拉斯也是異常勤奮。大學(xué)畢業(yè)后他在一所偏僻的中學(xué)任教14年，教數(shù)學(xué)、德語、書法、體育，每天晚上以驚人的毅力堅持研究，當(dāng)時工資很低，連投稿的郵費(fèi)都沒有。后來由于偶然的機(jī)會他的研究論文被德國數(shù)學(xué)家克萊爾創(chuàng)辦的數(shù)學(xué)雜志發(fā)表出來(克萊爾雜志以幫助沒出名的年輕學(xué)子發(fā)表創(chuàng)新成果而著稱)，震驚了歐洲科學(xué)界。胡作玄認(rèn)為，歐拉的成功說明了一個人的潛能。“高斯曾說，要像歐拉那樣做，我的眼睛也要瞎了。一個人要想做事是沒有問題的，只是現(xiàn)在社會比較復(fù)雜，我們應(yīng)該為科學(xué)而科學(xué)，為藝術(shù)而藝術(shù)。”除了做學(xué)問，歐拉還很有管理天賦，他曾擔(dān)任德國柏林科學(xué)院院長助理職務(wù)，并將工作做得卓有成效。李文林說：“有人認(rèn)為科學(xué)家尤其數(shù)學(xué)家都是些怪人，其實(shí)只不過數(shù)學(xué)家會有不同的性格、閱歷和命運(yùn)罷了。牛頓、萊布尼茨都終身未婚，歐拉卻不同?！睔W拉喜歡音樂、生活豐富多彩，結(jié)過兩次婚，生了13個孩子，存活5個，據(jù)說工作時往往兒孫繞膝。他去世的那天下午，還給孫女上數(shù)學(xué)課，跟朋友討論天王星軌道的計算。突然說了一句“我要死了”，說完就倒下，停止了生命和計算?；仡櫄W拉的一生，李文林認(rèn)為：“雖然他20歲離開瑞士，一直沒有回去過，但他卻是一個愛國者，至死沒有改變國籍。所以現(xiàn)在我們還能說他是瑞士數(shù)學(xué)家。”“牛頓、萊布尼茨、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯都是全面的數(shù)學(xué)家。后來隨著科學(xué)的發(fā)展，全才越來越少，有人說龐加萊也許是最后一個。”但是數(shù)學(xué)并不會因此枯萎，李文林說：“18世紀(jì)末曾有一種悲觀主義在數(shù)學(xué)家中蔓延，連拉格朗日這樣的大數(shù)學(xué)家都認(rèn)為數(shù)學(xué)到頭了，但事實(shí)相反，19世紀(jì)初非歐幾何的發(fā)現(xiàn)、群論的創(chuàng)立以及微積分嚴(yán)格化的突破，使數(shù)學(xué)獲得了意想不到的蓬勃發(fā)展?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)，特別是跟計算機(jī)結(jié)合起來之后，肯定還會有新的形態(tài)?！毕嚓P(guān)鏈接：歐拉與中國歐拉在數(shù)論中證明過一個定理，現(xiàn)在叫中國剩余定理，也叫孫子定理，在孫子算經(jīng)中有一個簡單的特例，后由南宋數(shù)學(xué)家秦九韶給出了一般形式。后來歐拉、高斯分別重新發(fā)現(xiàn)了這個定理，并給出了證明。據(jù)說在歐拉活著的時候他的書就傳到了中國。雖然不知道當(dāng)時有沒