高考模擬熱點(diǎn)交匯匯編之?dāng)?shù)列與不等式30題

2007年高考模擬熱點(diǎn)交匯試題匯編之?dāng)?shù)列與不等式(30題)（命題者的首選資料）1. 已知函數(shù),數(shù)列滿(mǎn)足, ; 數(shù)列滿(mǎn)足, .求證:（）（）（）若則當(dāng)n2時(shí),.解: ()先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)?x1時(shí),所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 即對(duì)于一切正整數(shù)都成立.4分又由, 得,從而.綜上可知6分()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. 因?yàn)?所以,即0,從而10分() 因?yàn)?,所以, , 所以 , 12分由()知:, 所以= ,因?yàn)? n2, 所以 0時(shí)，h(x)=px22x+p圖象為開(kāi)口向上拋物線，稱(chēng)軸為x=（0，+）.h(x)min=p.只需p0，即p1時(shí)h(x)0，g(x) 0，g(x)在(0,+ )單調(diào)遞增，p1適合題意.7分當(dāng)p0時(shí)，h(x)=px22x+p圖象為開(kāi)口向下的拋物線，其對(duì)稱(chēng)軸為x=（0，+），只需h(0)0，即p0時(shí)h(0)（0,+ )恒成立.g(x)0 ，g(x)在（0,+ ）單調(diào)遞減，p0)，設(shè).當(dāng)x（0，1）時(shí)，k(x)0，k(x)為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x（1，）時(shí)，k(x)0，結(jié)論成立.14分5.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足：（a為常數(shù)，且）（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求a的值；（）在滿(mǎn)足條件（）的情形下，設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：解：（）當(dāng)時(shí)，即是等比數(shù)列 ； 4分（）由（）知，若為等比數(shù)列， 則有而故，解得，再將代入得成立， 所以（III）證明：由（）知，所以，由得所以，從而即 14分6.已知數(shù)列滿(mǎn)足, ，（1）求證：是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，且對(duì)于恒成立，求的取值范解：（1）由an1an6an1，an12an3(an2an1) (n2)a15，a25a22a115故數(shù)列an12an是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列 5分（2）由（1）得an12an53n 由待定系數(shù)法可得(an13n1)2(an3n)即an3n2(2)n1 故an3n2(2)n13n(2)n 9分（3）由3nbnn(3nan)n3n3n(2)nn(2)n，bnn()n 令Sn|b1|b2|bn|2()23()3n()n Sn()22()3(n1)()nn()n1 11分得Sn()2()3()nn()n+1n()n+121()nn()n+1 Sn61()n3n()n+16要使得|b1|b2|bn|m對(duì)于nN恒成立，只須m6 14分7.已知數(shù)列的首項(xiàng)（a是常數(shù)，且），（），數(shù)列的首項(xiàng)，（）。 （1）證明：從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；（3）當(dāng)a0時(shí)，求數(shù)列的最小項(xiàng)。解：（1）(n2) 3分由得， ，4分即從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列。5分（2） 8分當(dāng)n2時(shí)，是等比數(shù)列, (n2)是常數(shù)，3a+4=0，即 。11分（3）由（1）知當(dāng)時(shí)，所以，13分所以數(shù)列為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng)。15分當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為8a-1；當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a或8a-1；16分當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a；當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a或2a+1；17分當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為2a+1。18分 8.已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足=l， (I)寫(xiě)出，的值; ()試比較與的大小，并說(shuō)明理由； ()設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足=，記Sn=證明：當(dāng)n2時(shí),Sn(2n1)解(1)，因?yàn)樗?2分（2）因?yàn)樗?分,5分因?yàn)樗耘c同號(hào)，6分因?yàn)?，?分（3）當(dāng)時(shí)，10分所以，12分所以14分9.已知，若數(shù)列an 成等差數(shù)列. （1）求an的通項(xiàng)an; （2）設(shè) 若bn的前n項(xiàng)和是Sn，且解：設(shè)2，f(a1), f(a2), f(a3),，f(an),2n+4的公差為d，則2n+4=2+(n+21)dd=2,（2分）（4分） （2）， 10.（1）數(shù)列an和bn滿(mǎn)足 （n=1，2，3），求證bn為等差數(shù)列的充要條件是an為等差數(shù)列。（8分） （2）數(shù)列an和cn滿(mǎn)足，探究為等差數(shù)列的充分必要條件，需說(shuō)明理由。提示：設(shè)數(shù)列bn為證明：（1）必要性 若bn為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)b1，公差d則 an為是公差為的等差數(shù)列 4分充分性 若an為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)a1，公差d則當(dāng)n=1時(shí)，b1=a1也適合bn+1bn=2d， bn是公差為2d的等差數(shù)列 4分 （2）結(jié)論是：an為等差數(shù)列的充要條件是cn為等差數(shù)列且bn=bn+1其中 （n=1，2，3） 4分11.設(shè)集合W是滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列an的集合： M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù). （1）若an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，a3=4，S3=18，證明：SnW （2）設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)為，求M的取值范圍；（3）設(shè)數(shù)列cn的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且（1）解：設(shè)等差數(shù)列an的公差是d，則a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d=2，所以2分由=10得適合條件；又所以當(dāng)n=4或5時(shí)，Sn取得最大值20，即Sn20，適合條件綜上，SnW4分（2）解：因?yàn)樗援?dāng)n3時(shí)，此時(shí)數(shù)列bn單調(diào)遞減；當(dāng)n=1，2時(shí)，即b1b2b3，因此數(shù)列bn中的最大項(xiàng)是b3=7所以M78分（3）解：假設(shè)存在正整數(shù)k，使得成立由數(shù)列cn的各項(xiàng)均為正整數(shù)，可得因?yàn)橛梢驗(yàn)橐来晤?lèi)推，可得設(shè)這顯然與數(shù)列cn的各項(xiàng)均為正整數(shù)矛盾！所以假設(shè)不成立，即對(duì)于任意nN*,都有成立.( 16分)12.數(shù)列和數(shù)列（）由下列條件確定：（1），；（2）當(dāng)時(shí)，與滿(mǎn)足如下條件：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.解答下列問(wèn)題：（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若已知當(dāng)時(shí)，求.（）是滿(mǎn)足的最大整數(shù)時(shí)，用，表示滿(mǎn)足的條件.解：（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以不論哪種情況，都有，又顯然，故數(shù)列是等比數(shù)列.（4分）（）由（）知，故，所以所以，（7分）又當(dāng)時(shí)，故.（8分）（）當(dāng)時(shí)，由（2）知不成立，故，從而對(duì)于，有，于是，故，（10分）若，則，所以，這與是滿(mǎn)足的最大整數(shù)矛盾.因此是滿(mǎn)足的最小整數(shù).（12分）而，因而，是滿(mǎn)足的最小整數(shù).（14分）13.已知數(shù)列中， （1）求； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)； （3）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，求證：解：（1）（2） 得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：只需證若，則顯然成立若，則所以因此：所以所以14. 已知數(shù)列滿(mǎn)足，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為求證：對(duì)任意的，解：（），3分又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列5分，即. 6分（） 9分（）， 10分當(dāng)時(shí)，則， 對(duì)任意的， 14分15. 設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足 ，且數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列。（I）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，說(shuō)明理由。解（1）由已知， 公差 1分 2分 4分由已知5分所以公比6分7分（2）設(shè) 8分所以當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。10分又，所以當(dāng)時(shí)，12分又，13分所以不存在，使。14分16. 數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和Sn與an之間滿(mǎn)足 （1）求證：數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)存在正數(shù)k，使對(duì)一切都成立，求k的最大值.解：（1）證明： （1分）， （3分）， （5分）數(shù)列為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列。（6分）（2）由（1）知 （7分）設(shè)，則 （10分）上遞增，要使恒成立，只需 （12分）17.數(shù)列，是否存在常數(shù)、，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在，求出、的值，若不存在，說(shuō)明理由。設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，.解:設(shè) ， 即 (2分) 故 (4分) (5分)又 (6分)故存在是等比數(shù)列 (7分)證明：由得 ，故 (8分) (9分) （11分）現(xiàn)證.當(dāng)，故時(shí)不等式成立 （12分）當(dāng)?shù)茫矣桑?（14分）18已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)a0,數(shù)列滿(mǎn)足，若對(duì)成立，試求a的取值范圍。解：（1），又，是公比為的等比數(shù)列，（2），現(xiàn)證：時(shí)，對(duì)成立。 n=1時(shí)，成立; 假設(shè)n=k(k1)時(shí)，成立，則，即n=k+1時(shí)，也成立，時(shí)，a的取值范圍是。19.已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：。解：（1），又，是公比為的等比數(shù)列，（2），得：，20設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=的圖象上任意兩點(diǎn)，且，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.（1） 求證：M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值； （2） 若Sn=f(N*，且n2,求Sn;（3） 已知an=，其中nN*. Tn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若Tn(Sn+1+1)對(duì)一切nN*都成立，試求的取值范圍.（1）證明： M是AB的中點(diǎn).設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）, 由（x1+x2）=x=,得x1+x2=1，則x1=1-x2或x2=1-x1. 而y=(y1+y2)= f(x1)+f(x2) =(+log2 =(1+log2 =(1+log2 =(1+log2 M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值. （2）由（1）知x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1, Sn=f( Sn=f(, 兩式相加得：2Sn=f()+f()+f() = Sn=(n2,nN*).(2)當(dāng)n2時(shí),an= Tn=a1+a2+a3+an=() =( 由Tn(Sn+1+1)得 n+4,當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)等號(hào)成立,因此，即的取值范圍是（+）21已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a，公差為b；等比數(shù)列的首項(xiàng)為b，公比為a，其中a，且 （）求a的值；（）若對(duì)于任意N*，總存在N*，使，求b的值；（)甲說(shuō)：一定存在使得對(duì)N*恒成立；乙說(shuō)：一定存在使得對(duì)N*恒成立你認(rèn)為他們的說(shuō)法是否正確？為什么？解：（），a，N*， a2或a3當(dāng)a3時(shí)，由得，即，與矛盾，故a3不合題意 a3舍去， a2（），由可得 是5的約數(shù)，又，b5 ()若甲正確，則存在（）使，即對(duì)N*恒成立，當(dāng)時(shí)，無(wú)解，所以甲所說(shuō)不正確若乙正確，則存在（）使，即對(duì)N*恒成立，當(dāng)時(shí)，只有在時(shí)成立，而當(dāng)時(shí)不成立，所以乙所說(shuō)也不成立22.正項(xiàng)數(shù)列 （1）求； （2）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使當(dāng)nN時(shí)，不等式成立； （3）求證：解：（1）4分（2）由 （3）將展開(kāi)， 14分23.,是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.對(duì)于滿(mǎn)足0k20的整數(shù)k,數(shù)列,由=確定.記C=.求：k=1時(shí),C的值(保留冪的形式)；C最小時(shí),k的值.（注：=+）簡(jiǎn)解：可求得=(1n20),k=1時(shí),= C=+-.C=+=+=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即=,k=10時(shí),C最小.24. 在數(shù)列中，（）試比較與的大?。唬ǎ┳C明：當(dāng)時(shí)，.解：（）由題設(shè)知，對(duì)任意，都有 ， 6分（）證法1：由已知得，又.當(dāng)時(shí)， 10分設(shè) 則 -，得14分證法2：由已知得，（1） 當(dāng)時(shí)，由，知不等式成立。8分（2） 假設(shè)當(dāng)不等式成立，即，那么 要證 ，只需證即證 ，則只需證10分因?yàn)槌闪?，所以成?這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，不等式仍然成立.根據(jù)（1）和（2），對(duì)任意，且，都有14分25設(shè)無(wú)窮數(shù)列an具有以下性質(zhì)：a1=1；當(dāng) （）請(qǐng)給出一個(gè)具有這種性質(zhì)的無(wú)窮數(shù)列，使得不等式 對(duì)于任意的都成立，并對(duì)你給出的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證（或證明）； （）若，其中，且記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Bn，證明：解：（）令， 則無(wú)窮數(shù)列an可由a1 = 1，給出. 顯然，該數(shù)列滿(mǎn)足，且 6分 （） 8分 又 26. 在個(gè)不同數(shù)的排列（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)）則稱(chēng)構(gòu)成一個(gè)逆序，一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱(chēng)為該排列的逆序數(shù)，例如排列（2，40，3，1）中有逆序“2與1”，“40與3”，“40與1”，“3與1”其逆序數(shù)等于4. 已知n+2個(gè)不同數(shù)的排列的逆序數(shù)是2. （1）求（1，3，40，2）的逆序數(shù)； （2）寫(xiě)出的逆序數(shù)an （3）令.解：（1）4分 （2）n+2個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)比較大小，共有個(gè)大小關(guān)系8分 （3）14分27已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的，恒有，設(shè)（）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和；（）若，證明：解（1）（6分）當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，兩式相減得：，是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（2）（4分）由（1）得，（3）（6分），由為正項(xiàng)數(shù)列，所以也為正項(xiàng)數(shù)列，從而，所以數(shù)列遞減所以另證：由，所以 28已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=5，a2=5，an+1=an+6an1（n2，nN*），若數(shù)列是等比數(shù)列. （）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （）求證：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，； （）求證：解（）為等比數(shù)列，應(yīng)為常數(shù)， 得=2或=3 2分當(dāng)=2時(shí)，可得為首項(xiàng)是 ，公比為3的等比數(shù)列，則 當(dāng)=3時(shí)，為首項(xiàng)是，公比為2的等比數(shù)列， 得， 4分（注：也可由利用待定系數(shù)或同除2n+1得通項(xiàng)公式）（）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)， 8分（）由（）知k為奇數(shù)時(shí)， 10分當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，= 12分29.已知, 數(shù)列滿(mǎn)足以下條件:(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2) 數(shù)列是有限數(shù)列時(shí), 當(dāng)時(shí), 求點(diǎn)存在的范圍;(3) 數(shù)列是無(wú)限數(shù)列時(shí), 當(dāng)時(shí), 將點(diǎn)存在的范圍用圖形表示出來(lái).解: (1) , , 則, . , , 則, . (2) 數(shù)列是有限數(shù)列時(shí), 設(shè)項(xiàng)數(shù)為. 當(dāng)時(shí), , , . 點(diǎn)在線段上. (3) 當(dāng)時(shí), , 即, 由 得點(diǎn)存在的范圍在如圖陰影部分內(nèi). 30.設(shè)f1(x)=，定義fn+1 (x)= f1fn(x)，an =（nN*）.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 若，Qn=（nN*），試比較9T2n與Qn的大小，并說(shuō)明理由.解：（1）f1(0)=2，a1=，fn+1(0)= f1fn(0)=, an+1= -= -an. 數(shù)列an是首項(xiàng)為,公比為-的等比數(shù)列，an=()n-1. （2）T2 n = a1