高中數學第二章推理與證明2.1合情推理與演繹證明2.1.2演繹推理課件新人教A版

2 1 2演繹推理 1 理解演繹推理的意義 2 掌握演繹推理的基本模式 并能運用它們進行一些簡單的推理 3 了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯系 1 演繹推理 做一做1 下列說法正確的是 A 類比推理是由特殊到一般的推理B 演繹推理是由特殊到一般的推理C 歸納推理是由個別到一般的推理D 合情推理可以作為證明的步驟 解析 類比推理是由特殊到特殊的推理 故選項A錯誤 演繹推理是由一般到特殊的推理 故選項B錯誤 歸納推理是由個別到一般或部分到整體的推理 故選項C正確 合情推理的結論不可靠 不能作為證明的步驟 答案 C 2 三段論 名師點撥三段論推理的依據 用集合的觀點來講 若集合M中的所有元素都具有性質P S是M的子集 那么S中的所有元素也都具有性質P 三段論推理的論斷基礎是這樣一個公理 凡肯定 或否定 了某一類對象的全部 也就肯定 或否定 了這一類對象的各部分或個體 簡言之 全體概括個體 M P S這三個概念之間的包含關系表現為 若概念P包含了概念M 則必包含了M中的任一概念S 如圖 若概念P排斥概念M 則必排斥M中的任一概念S 如圖 弄清以上道理 才會使我們在今后的演繹推理中不犯 或少犯 錯誤 在演繹推理中 只要前提和推理形式是正確的 那么其結論必定也是正確的 如果大前提是錯誤的 那么所得的結論也就是錯誤的 解析 大前提是錯誤的 因為當0 a 1時 對數函數y logax在定義域內是減函數 故選A 答案 A 做一做2 2 函數y 2x 5的圖象是一條直線 用 三段論 表示為 大前提 小前提 結論 答案 一次函數的圖象是一條直線函數y 2x 5是一次函數函數y 2x 5的圖象是一條直線 1 怎樣認識演繹推理 剖析 1 演繹推理的前提是一般性原理 演繹推理所得的結論是蘊涵于前提之中的個別 特殊事實 即結論完全蘊涵于前提之中 2 在演繹推理中 前提與結論之間存在必然的聯系 只要前提是真實的 推理的形式是正確的 那么其結論也必定是正確的 因而演繹推理是數學中嚴格證明的工具 3 演繹推理是一種收斂性的思維方式 具有條理清晰 令人信服的論證作用 有助于數學的理論化和系統(tǒng)化 2 合情推理與演繹推理有怎樣的區(qū)別與聯系 剖析 名師點撥就數學而言 演繹推理是證明數學結論 建立數學體系的重要思維過程 但數學結論 證明思路等的發(fā)現 主要依靠合情推理 因此我們不僅要學會證明 也要學會猜想 題型一 題型二 題型三 題型四 把演繹推理寫成三段論 例1 把下列推斷寫成三段論的形式 1 因為 ABC三條邊的長依次為3 4 5 所以 ABC是直角三角形 2 y sinx x R 是周期函數 解 1 因為一條邊長的平方等于其他兩條邊長平方和的三角形是直角三角形 大前提 ABC三條邊的長依次為3 4 5 且32 42 52 小前提所以 ABC是直角三角形 結論 2 因為三角函數是周期函數 大前提y sinx x R 是三角函數 小前提所以y sinx x R 是周期函數 結論 分析 明確大前提 小前提和結論是解題的關鍵 并且還需要準確利用三段論的形式 題型一 題型二 題型三 題型四 反思三段論由大前提 小前提和結論組成 大前提提供一般原理 小前提提供特殊情況 兩者結合起來 體現了一般原理與特殊情況的內在聯系 在用三段論寫推理過程時 關鍵是明確命題的大前提 小前提 而大前提 小前提在書寫過程中是可以省略的 題型一 題型二 題型三 題型四 變式訓練1 將下列演繹推理寫成三段論的形式 1 若 A B是等腰三角形的兩底角 則 A B 2 通項公式an 2n 3表示的數列 an 為等差數列 3 因為2100 1是奇數 所以2100 1不能被2整除 解 1 因為等腰三角形兩底角相等 大前提又因為 A B是等腰三角形的兩底角 小前提所以 A B 結論 2 因為在數列 an 中 如果當n 2時 an an 1為同一個常數 則 an 為等差數列 大前提又因為對通項公式an 2n 3 若n 2 則an an 1 2n 3 2 n 1 3 2 常數 小前提所以通項公式an 2n 3表示的數列 an 為等差數列 結論 題型一 題型二 題型三 題型四 3 因為奇數都不能被2整除 大前提又因為2100 1是奇數 小前提所以2100 1不能被2整除 結論 題型一 題型二 題型三 題型四 三段論在證明幾何問題中的應用 例2 如圖 正三棱柱ABC A1B1C1的棱長均為a D E分別為C1C與AB的中點 A1B交AB1于點G 1 求證 A1B AD 2 求證 CE 平面AB1D 分析 1 線線垂直 線面垂直 線線垂直 2 線線平行 線面平行 題型一 題型二 題型三 題型四 證明 1 如圖 連接A1D DG BD 三棱柱ABC A1B1C1是棱長均為a的正三棱柱 四邊形A1ABB1為正方形 A1B AB1 D是C1C的中點 A1C1D BCD A1D BD 點G為A1B與AB1的交點 點G為A1B的中點 A1B DG 又DG AB1 G A1B 平面AB1D 又AD 平面AB1D A1B AD 題型一 題型二 題型三 題型四 2 如圖 連接GE GE A1A GE 平面ABC DC 平面ABC GE DC 又GE DC 四邊形GECD為平行四邊形 EC GD 又EC 平面AB1D DG 平面AB1D CE 平面AB1D 反思在幾何證明題中 每一步實際上都暗含著一般性原理 都可以分析出大前提和小前提 把一般性原理用于特殊情況 就可得到結論 題型一 題型二 題型三 題型四 變式訓練2 在如圖所示的幾何體中 D是AC的中點 EF DB 1 已知AB BC AE EC 求證 AC FB 2 已知G H分別是EC和FB的中點 求證 GH 平面ABC 題型一 題型二 題型三 題型四 證明 1 因為EF DB 所以EF與DB確定平面BDEF 連接DE 因為AE EC D為AC的中點 所以DE AC 同理可得BD AC 又BD DE D 所以AC 平面BDEF 因為FB 平面BDEF 所以AC FB 題型一 題型二 題型三 題型四 2 設FC的中點為I 連接GI HI 在 CEF中 因為G是CE的中點 所以GI EF 又EF DB 所以GI DB 在 CFB中 因為H是FB的中點 所以HI BC 又HI GI I 所以平面GHI 平面ABC 因為GH 平面GHI 所以GH 平面ABC 題型一 題型二 題型三 題型四 演繹推理在代數問題中的應用 分析 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 反思應用三段論求解問題時 要充分挖掘題目中的外在和內在條件 小前提 根據需要引入相關的適用的定理和性質 大前提 并保證每一步的推理都是正確的 嚴密的 才能得出正確的結論 題型一 題型二 題型三 題型四 證明 lga1 lga2 lga4成等差數列 2lga2 lga1 lga4 設等差數列 an 的公差為d 則 a1 d 2 a1 a1 3d 即a1d d2 d a1 d 0 若d 0 則數列 an 是常數列 數列 bn 也是常數列 此時 數列 bn 是首項為正數 公比為1的等比數列 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 易錯辨析易錯點 利用演繹推理證明數學命題時 因大前提錯誤而致錯 例4 如圖 已知S為 ABC所在平面外一點 SA 平面ABC 平面SAB 平面SBC 求證 AB BC 題型一 題型二 題型三 題型四 錯解 證明 因為平面SAB 平面SBC 且BC 平面SBC 所以BC 平面SAB 故AB BC 錯因分析 錯解中的證明在于使用的大前提 如果兩個平面互相垂直 那么一個平面內的直線垂直于另一個平面 是錯誤的 使用的大前提應該是 如果兩個平面互相垂直 那么在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面 題型一 題型二 題型三 題型四 正解 證明 過A點作直線AE SB于點E