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如何數(shù)復雜圖形中三角形的個數(shù)作者姓名：曾祥云 電子郵箱： QQ：164105250我們常常會遇到數(shù)一個圖中有多少個基本圖形的問題，比如一個圖中有多少個長方形、正方形、三角形等。對于長方形和正方形來說，由于規(guī)律性比較強學生覺得比較容易，但對于三角形則往往覺得比較復雜，有時甚至無從下手。拙文從有規(guī)律圖形和復雜圖形兩方面來探討數(shù)三角形個數(shù)的方法，重點通過一個實例展示數(shù)復雜圖形中三角形個數(shù)的一種方法。一、有規(guī)律圖形中三角形的個數(shù)的計算方法。如圖1所示，這種圖形中三角形的個數(shù)可用公式來表示，其中為BC上的頂點數(shù)。其實質就是數(shù)BC邊上線段的條數(shù)，每條線段對應一個三角形。圖2所示的圖形中三角形的個數(shù)則可以用來表示，的含義同上，為端點分別在AB和AC上的連線的數(shù)量。以上兩種情況比較常見，在后面的方法中也常常要用到。二、復雜圖形中三角形個數(shù)的計算方法。在圖3所示的圖形中，常用的方法是先按圖2的方法計算出有頂點在A的那部分三角形個數(shù)，再加上沒有頂點在A的三角形的個數(shù)。這樣圖3中三角形的個數(shù)為：對于圖4中有多少個三角形，則會讓人產(chǎn)生一種無從下手的感覺！對于這種圖形，我們可以采用一種暫且命名為“相關擦除法”的方法來計算，下面以圖4為例詳細介紹“相關擦除法”的使用方法。首先計算一個頂點在A的三角形的個數(shù)，也就是與A點相關的三角形的個數(shù)：（1）然后擦除原圖中其它部分與A點的連線，將它變成圖4-1，已擦除的連線用虛線表示，也就虛線應視為不存在的線，只是為了便于聯(lián)系原圖而畫出來的，下同。上述個數(shù)加上圖4-1中三角形的個數(shù)就是圖4中所有三角形的個數(shù)。因為，（1）式中的三角形個數(shù)是與A點有關的，而圖4-1中三角形的個數(shù)則是原圖中與A點無關的。圖4-1中與B點相關的三角形的個數(shù)為：（2）計算出與B點有關的數(shù)據(jù)后就可以擦除與B點有關的連線，簡化成圖4-2。依此類推，計算與C點有關的三角形個數(shù)后，再變成圖4-3。由于圖4-2是一個不規(guī)則的圖形，其三角形的個數(shù)不方便用前面的公式來計算，因此，我們有必要找一種數(shù)三角形的方法，而不再是公式?？梢赃@樣數(shù)，從C點出發(fā)按順時針或逆時針方向，數(shù)一數(shù)一共可以構成多少條三角形回路就行了。現(xiàn)在用逆時針方向來數(shù)，從C向A，第一條邊有2種選擇，分別有2條三角形回路，共4個三角形；再從C向D，第一條邊會有5種選擇，共有個三角形；再從C向E走，則有2個三角形。這樣，圖4-2中與C點相關的三角形個數(shù)為：（3） 圖4-3再去掉無三角形的相關點則變成了圖4-4。在圖4-4中，我們可以繼續(xù)用上述方法將圖形簡化下去，也可以直接數(shù)出個數(shù)。我們用前面的方法，得到圖4-4中與實線大三角形三個頂點有關的三角形總數(shù)為：（4）并將圖簡單化為圖4-5。而圖4-5中三角形的個數(shù)為：4（5）由（1）（5）式，我們得圖4中三角形的總個數(shù)為： 上述做法只是為了用盡量少的步驟來完成計算，如果為了更加簡單地完成全部三角形的個數(shù)的計算，則可以從連線少的點進行簡化，比如在計算與C點相關的三角形個數(shù)這一步，改為先計算與D或E點相關的三角形個數(shù)并擦除，再從某個連線較少的頂點來計算相關三角形個數(shù)并擦除這樣的步驟可能會多一些，