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行程問題集錦1、 基本行程問題：基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、行程三者之間的關系?；竟剑郝烦趟俣葧r間；路程時間速度；路程速度時間關鍵問題：確定行程過程中的位置2、 簡單的相遇、追及問題：相遇問題：速度和相遇時間相遇路程追擊問題：追擊時間路程差速度差簡單的相遇與追及問題各自解題時的入手點及需要注意的地方1.相遇問題：與速度和、路程和有關 是否同時出發(fā) 是否有返回條件 是否和中點有關：判斷相遇點位置 是否是多次返回：按倍數(shù)關系走。 一般條件下，入手點從和入手，但當條件與差有關時，就從差入手，再分析出時間，由此再得所需結果2.追及問題：與速度差、路程差有關 速度差與路程差的本質(zhì)含義 是否同時出發(fā)，是否同地出發(fā)。 方向是否有改變 環(huán)形時：慢者落快者整一圈(1) 甲、乙兩列火車同時從相距700千米的兩地相向而行，甲列車每小時行85千米，乙列車每小時行90千米，幾小時兩列火車相遇？(2) 兩列火車從兩個車站同時相向出發(fā)，甲車每小時行48千米，乙車每小時行78千米，經(jīng)過2.5小時兩車相遇。兩個車站之間的鐵路長多少千米？(3) 甲、乙兩列火車同時從相距988千米的兩地相向而行，經(jīng)過5.2小時兩車相遇。甲列車每小時行93千米，乙列車每小時行多少千米？（1）師徒兩人合作加工520個零件，師傅每小時加工30個，徒弟每小時加工20個，幾小時以后還有70個零件沒有加工？（2）甲、乙兩隊合挖一條水渠，甲隊從東往西挖，每天挖75米；乙隊從西往東挖，每天比甲隊少挖5米，兩隊合作8天挖好，這條水渠一共長多少米？(3) 甲、乙兩艘輪船從相距654千米的兩地相對開出而行，8小時兩船還相距22千米。已知乙船每小時行42千米，甲船每小時行多少千米？（4）一輛汽車和一輛自行車從相距172.5千米的甲、乙兩地同時出發(fā)，相向而行，3小時后兩車相遇。已知汽車每小時比自行車多行31.5千米，求汽車、自行車的速度各是多少？（5）兩地相距270千米，甲、乙兩列火車同時從兩地相對開出，經(jīng)過4小時相遇。已知甲車的速度是乙車的1.5倍，求甲、乙兩列火車每小時各行多少千米？（6）甲、乙兩城相距680千米，從甲城開往乙城的普通客車每小時行駛60千米，2小時后，快車從乙城開往甲城，每小時行80千米，快車開出幾小時后兩車相遇？（7）甲、乙兩車同時從相距480千米的兩地相對而行，甲車每小時行45千米，途中因汽車故障甲車停了1小時，5小時后兩車相遇。乙車每小時行多少千米？（8）A、B兩地相距3300米，甲、乙兩人同時從兩地相對而行，甲每分鐘走82米，乙每分鐘走83米，已經(jīng)行了15分鐘，還要行多少分鐘才可以相遇？（9）甲、乙兩列汽車同時從兩地出發(fā)，相向而行。已知甲車每小時行45千米，乙車每小時行32千米，相遇時甲車比乙車多行52千米。求甲乙兩地相距多少千米？（10）姐妹倆同時從家里到少年宮，路程全長770米。妹妹步行每分鐘行60米，姐姐騎自行車以每分鐘160米的速度到達少年宮后立即返回，途中與妹妹相遇。這時妹妹走了幾分鐘？（2001年上海市金山區(qū)升級考試卷）（11）小明和小華從甲、乙兩地同時出發(fā)，相向而行。小明步行每分鐘走60米，小華騎自行車每分鐘行190米，幾分鐘后兩人在距中點650米處相遇？ （2002年上海市金山區(qū)升級考試卷）（12）A、B兩地相距300千米，兩輛汽車同時從兩地出發(fā)，相向而行。各自達到目的地后又立即返回，經(jīng)過8小時后它們第二此相遇。已知甲車每小時行45去，千米，乙車每小時行多少千米?3、平均速度：平均速度=總路程總時間例題：張師傅駕駛一輛載重汽車從縣城出發(fā)到省城送貨，到達省城后馬上卸貨并隨即沿原路返回。他駕駛的這輛汽車去時每小時行64千米，返回時每小時行56千米，往返一趟共用去12小時(在省城卸貨所用時間略去不計)。張師傅在省城和縣城之間往返一趟共行了多少千米？題說 第五屆小數(shù)報數(shù)學競賽初賽第1題 答案：716.8(千米)D10022一輛汽車以每小時60千米的速度從A地開往B地，它又以每小時40千米的速度從B地返回A地，那么這輛汽車行駛的平均速度是_千米/小時題說 第六屆“祖沖之杯”數(shù)學邀請賽第4題答案：48（千米/小時）D10034王師傅駕車從甲地開往乙地交貨。如果他往返都以每小時60千米的速度行駛，正好可以按時返回甲地，可是當?shù)竭_乙地時，他發(fā)現(xiàn)他從甲地到乙地的速度只有每小時55千米。如果他想按時返回甲地，他應以多大的速度往回開？題說 第二屆“華杯賽”復賽第6題 答案：每小時66千米4、鐘面行程：兩個速度單位：分針每分鐘走6度，時針每分鐘走0.5度時鐘問題主要有3大類題型：第一類是追及問題（注意時針分針關系的時候往往有兩種情況）；第二類是相遇問題（時針分針永遠不會是相遇的關系，但是當時針分針與某一刻度夾角相等時，可以求出路程和）；第三種就是走不準問題，這一類問題中最關鍵的一點：找到表與現(xiàn)實時間的比例關系。5、走走停停：行程問題里走走停停的題目應該怎么做畫出速度和路程的圖。 要學會讀圖。 每一個加速減速、勻速要分清楚，這有利于你的解題思路。 要注意每一個行程之間的聯(lián)系?！绢}目】甲乙兩人同時從一條800環(huán)形跑道同向行駛，甲100米/分，乙80米/分，兩人每跑200米休息1分鐘，甲需多久第一次追上乙？【解答】這樣的題有三種情況：在乙休息結束時被追上、在休息過程中被追上和在行進中被追上。很顯然首先考慮在休息結束時的時間最少，如果不行再考慮在休息過程中被追上，最后考慮行進中被追上。其中在休息結束時或者休息過程中被追上的情況必須考慮是否是在休息點追上的。由此首先考慮休息80020013分鐘的情況。甲就要比乙多休息3分鐘，就相當于甲要追乙8008031040米，需要1040（10080）52分鐘，52分鐘甲行了521005200米，剛好是在休息點追上的滿足條件。行5200米要休息5200200125分鐘。因此甲需要522577分鐘第一次追上乙。【題目】在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點的跑道相距200米，甲、乙兩人分別從A、B兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他們每人跑100米都停5秒那么，甲追上乙需要多少秒？【解答】這是傳說中的“走走停停”的行程問題。這里分三種情況討論休息的時間，第一、如果在行進中追上，甲比乙多休息10秒，第二，如果在乙休息結束的時候追上，甲比乙多休息5秒，第三，如果在休息過程中且又沒有休息結束，那么甲比乙多休息的時間，就在這510秒之間。顯然我們考慮的順序是首先看是否在結束時追上，又是否在休息中追上，最后考慮在行進中追上。有了以上的分析，我們就可以來解答這個題了。我們假設在同一個地點，甲比乙晚出發(fā)的時間在200/75235/7和200/710270/7的之間，在以后的行程中，甲就要比乙少用這么多時間，由于甲行100米比乙少用100/5100/740/7秒。繼續(xù)討論，因為270/740/7不是整數(shù)，說明第一次追上不是在乙休息結束的時候追上的。因為在這個范圍內(nèi)有240/740/76是整數(shù)，說明在乙休息的中追上的。即甲共行了6100200800米，休息了7次，計算出時間就是800/775149又2/7秒。注：這種方法不適于休息點不同的題，具有片面性。在有些行程問題中，既有路程上的前后調(diào)頭，又有時間上的走走停停，同時又有速度上的前后變化。遇到此類問題，我們應分析其中的運動規(guī)律，把整個運動過程分成幾段，再仔細分析每一段中的情況，然后再類推到其它各段中去。這樣既可使運動關系明確、簡化，又可減少復雜重復的推理及計算。例：甲、乙兩名運動員在周長400米的環(huán)形跑道上進行10000米長跑比賽，兩人從同一起跑線同時起跑，甲每分鐘跑400米，乙每分鐘跑360米，當甲比乙領先整整一圈時，兩人同時加速，乙的速度比原來快 ，甲每分比原來多跑18米，并且都以這樣的速度保持到終點。問：甲、乙兩人誰先到達終點？停走問題這類題抓住一個關鍵-假設不停走，算出本來需要的時間?！纠?】龜兔賽跑，全程5.4千米，兔子每小時跑25千米，烏龜每小時跑4千米，烏龜不停的跑，但兔子卻邊跑邊玩，它先跑1分，然后再玩15分，又跑2分，玩15分，再跑3分，玩15分，那么先到達終點的比后到達終點的快幾分鐘呢？【例2】在一條公路上，甲、乙兩個地點相距600米。張明每小時行走4千米，李強每小時5千米。8點整，他們兩人從甲、乙兩地同時出發(fā)相向而行，1分鐘后他們都的掉頭反向而行，再過3分鐘，他們又掉頭相向而行，依次按照1，3，5，7，9，分鐘數(shù)掉頭行走，那么，張、李二人相遇時間是8點幾分呢？5多人行程-這類問題主要涉及的人數(shù)為3人，主要考察的問題就是求前兩個人相遇或追及的時刻，第三個人的位置，解題的思路就是把三人問題轉(zhuǎn)化為尋找兩兩人之間的關系?！纠?】有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲于乙、丙背向而行。甲每分40米，乙每分38米，丙每分36米。出發(fā)后，甲和乙相遇后3分鐘又與丙相遇。這花圃的周長是多少？【例2】甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米，丙每分鐘走40米。甲從A地，乙和丙從B出發(fā)相向而行，甲和乙相遇后，過了15分鐘又與丙相遇，求A、B兩地的距離。 【題目】在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點的跑道相距200米，甲、乙兩人分別從A、B兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他們每人跑100米都停5秒那么，甲追上乙需要多少秒？這里分三種情況討論休息的時間，第一、如果在行進中追上，甲比乙多休息10秒，第二，如果在乙休息結束的時候追上，甲比乙多休息5秒，第三，如果在休息過程中且又沒有休息結束，那么甲比乙多休息的時間，就在這510秒之間。顯然我們考慮的順序是首先看是否在結束時追上，又是否在休息中追上，最后考慮在行進中追上。有了以上的分析，我們就可以來解答這個題了。我們假設在同一個地點，甲比乙晚出發(fā)的時間在200/75235/7和200/710270/7的之間，在以后的行程中，甲就要比乙少用這么多時間，由于甲行100米比乙少用100/5100/740/7秒。繼續(xù)討論，因為270/740/7不是整數(shù)，說明第一次追上不是在乙休息結束的時候追上的。因為在這個范圍內(nèi)有240/740/76是整數(shù)，說明在乙休息的中追上的。即甲共行了6100200800米，休息了7次，計算出時間就是800/775149又2/7秒。正方形ABCD每邊長100米，甲從A出發(fā)順時針沿A-D-C-B-A跑步，每秒7米；乙從B出發(fā)順時針沿B-A-D-C-B跑步，每秒6米，問：（1）他們每到A、B、C、D都要停10秒，甲何時追上乙？（2）他們每到A、B、C、D都要停1秒，甲何時追上乙？（3）他們每到A、B、C、D都要停0.5秒，甲何時追上乙？例： 快車和慢車分別從甲、乙兩地同時開出，相向而行，經(jīng)過5小時相遇。已知慢車從乙地到甲地用12.5小時，慢車到甲地停留0.5小時后返回?？燔嚨揭业赝Ａ?小時后返回，那么兩車從第一次相遇到第二次相遇需要多少時間？125 - 5 = 75 小時 慢車行AC這段路所用的時間5 ：75 = 2 ：3行相同路程快車與慢車的時間比則 3 ：2 為相同時間內(nèi)快車與慢車的速度比所以： 12.5 * （2/3）= 25/3 小時 快車到達B點所需的時間12.5 + 0.5 - （25/3 + 1）= 11/3小時 返回時快車比慢車先行的時間即先行了：（11/3）* 3 = 11 快車返回時先行的路程（25/3）* 3 = 25 AB兩地的總路程（25 - 11）/（2+3）= 14/5 小時 快車先行后兩車第二次相遇時間所以：7.5 + 0.5 + 14/5 = 10.8小時 兩車從第一次相遇到第二次相遇所用的時間或： 25/3 - 5 + 1 + 11/3 + 14/5 = 10.8小時 程問題中，遇到給出條件一個人走多久又休息多久的條件總是覺得思路很不明朗，不知各位都有哪些好方法來解此類題，下面提供兩個例題：1、繞湖一周是20千米，甲、乙二人從湖邊某一點同時同地出發(fā)，反向而行，甲以每小時4千米的速度每走一小時休息5分鐘，乙以每小時6千米的速度每走50分鐘后休息10分鐘，則兩人從出發(fā)到第一次相遇用了多少分鐘？2、環(huán)形跑道周長是500米，甲、乙二人按順時針方向沿環(huán)形跑道同時同地起跑，甲每分鐘跑60米，乙每分鐘跑50米，甲、乙兩人每跑200米均要停下來休息一分鐘，那么甲首次追上乙需要多少分鐘？當甲首次追上乙的時候,甲跑的距離肯定比乙跑的距離多500則當S/200的余數(shù)100時,甲停的次數(shù)比乙多3則甲跑的時間為T-350*T+500=60*(T-3) 得T=68S=50*68=3400 S/200的余數(shù)=0矛盾所以結果是: 77快車和慢車分別從A，B兩地同時開出，相向而行.經(jīng)過5小時兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時，慢車到A停留半小時后返回.快車到B停留1小時后返回.問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時間？解：畫一張示意圖： 設C點是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時，從C到A用了12.5-5=7.5（小時）.我們把慢車半小時行程作為1個單位.B到C10個單位，C到A15個單位.慢車每小時走2個單位，快車每小時走3個單位.有了上面取單位準備后，下面很易計算了.慢車從C到A，再加停留半小時，共8小時.此時快車在何處呢？去掉它在B停留1小時.快車行駛7小時，共行駛37=21（單位）.從B到C再往前一個單位到D點.離A點15-114（單位）.現(xiàn)在慢車從A，快車從D，同時出發(fā)共同行走14單位，相遇所需時間是14（23）2.8（小時）.慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了7.50.52.810.8（小時）.答：從第一相遇到再相遇共需10小時48分.6、接送問題例題：奧數(shù)接送問題例題1：如果A、B兩地相距10千米，一個班有學生45人，由A地去B地，現(xiàn)在有一輛馬車，車速是人步行的3倍，馬車每次可以 乘坐9人，在A地先將第一批學生送到B地，其余的學生同時向B地前進；車到B地后立即返回，在途中與步行的學生相遇后，再接9名學生前往B地，余下的學生繼續(xù)向B地前進.多次往返后，當全體學生到達B地時，馬車共行了多少千米？答案：10*(1+2/3*3/4*2+1/3*3/4*2+1/6*3/4*2+1/8*3/4*2)=10*47/16=235/8千米例題2：某工廠每天早晨都派小汽車接專家上班.有一天，專家為了早些到廠，比平時提前一小時出發(fā)，步行去工廠，走了一段時間后遇到來接他的汽車，他上車后汽車立即調(diào)頭繼續(xù)前進，進入工廠大門時，他發(fā)現(xiàn)只比平時早到10分鐘，問專家在路上步行了多長時間才遇到汽車？(設人和汽車都作勻速運動，他上車及調(diào)頭時間不記)解析：設專家從家中出發(fā)后走到M處（如圖1）與小汽車相遇。由于正常接送必須從BAB，而現(xiàn)在接送是從BMB恰好提前10分鐘；則小汽車從 MAM剛好需10分鐘；于是小汽車從MA只需5分鐘。這說明專家到M處遇到小汽車時再過5分鐘，就是以前正常接送時在家的出發(fā)時間，故專家的行走時間再加上5分鐘恰為比平時提前的1小時，從而專家行走了：60一555（分鐘）。例題3：甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行，甲車和乙車的速度比是5：4，到兩車相遇時距離中點48千米，兩城之間的路程是多少千米？甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行，甲車和乙車的速度比是5：4，到兩車相遇時距離中點48千米，兩城之間的路程是多少千米？解析：相遇時甲乙的行程比也是：5：4，即甲行了全程的：5/(4+5)=5/9，乙行了：4/9 又相遇時甲比乙多行了：48*2=96千米 所以路程是：96/(5/9-4/9)=864千米.例題4：有兩個班的小學生要到少年宮參加活動，但只有一輛車接送。第一班的學生做車從學校出發(fā)的同時，第二班學生開始步行 ；車到途中某處，讓第一班學生下車步行，車立刻返回接第二班學生上車并直接開往少年宮。學生步行速度為每小時4公里， 載學生時車速每小時40公里，空車是50公里/小時，學生步行速度是4公里/小時，要使兩個班的學生同時到達少年宮，第一班的學生步行了全程的幾分之幾？（學生上下車時間不計）A.1/7； B.1/6； C.3/4； D.2/5；答：選A，兩班同學同時出發(fā)，同時到達，又兩班學生的步行速度相同=說明兩班學生步行的距離和坐車的距離分別相同的=所以第一班學生走的路程=第二班學生走的路程；第一班學生坐車的路程=第二班學生坐車的路程=令第一班學生步行的距離為x，二班坐車距離為y，則二班的步行距離為x，一班的車行距離為y。=x/4(一班的步行時間)=y/40(二班的坐車時間)+(y-x)/50(空車跑回接二班所用時間)=x /y=1/6=x占全程的1/7=選A7、發(fā)車問題行程問題之間隔發(fā)車問題2、小明放學回家,他沿一路電車的路線步行,他發(fā)現(xiàn)每擱六分鐘，有一輛一路電車迎面開來，每擱12分鐘，有一輛一路電車從背后開來，已知每輛一路電車速度相同，從終點站與起點站的發(fā)車間隔時間也相同，那么一路電車每多少分鐘發(fā)車一輛？同向時電車12分鐘走的路程-小明12分鐘走的路程=發(fā)車間隔時間*車速反向時電車6分鐘走的路程+小明6分鐘走的路程=發(fā)車間隔時間*車速則:電車6分鐘走的路程=小明18分鐘走的路程小明12分鐘走的路程=電車4分鐘走的路程電車12分鐘走的路程-小明12分鐘走的路程電車12分鐘走的路程-電車4分鐘走的路 =電車8分鐘走的路程 =發(fā)車間隔時間*車速所以,發(fā)車間隔時間為8分鐘3、一條公路上，有一個騎車人和一個步行人，騎車人速度是步行人速度的3倍，每隔6分鐘有一輛公共汽車超過步行人，每隔10分鐘有一輛公共汽車超過騎車人，如果公共汽車始發(fā)站發(fā)車的時間間隔保持不變，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公共汽車？分析： 要求汽車的發(fā)車時間間隔，只要求出汽車的速度和相鄰兩汽車之間的距離就可以了，但題目沒有直接告訴我們這兩個條件，如何求出這兩個量呢？由題可知：相鄰兩汽車之間的距離（以下簡稱間隔距離）是不變的，當一輛公共汽車超過步行人時，緊接著下一輛公共汽車與步行人之間的距離就是間隔距離，每隔6分鐘就有一輛汽車超過步行人，這就是說：當一輛汽車超過步行人時，下一輛汽車要用6分鐘才能追上步行人，汽車與行人的路程差就是相鄰兩汽車的間隔距離。對于騎車人可作同樣的分析.因此，如果我們把汽車的速度記作V汽，騎車人的速度為V自，步行人的速度為V人（單位都是米/分鐘），則：間隔距離=（V汽-V人）6（米），間隔距離=（V汽-V自）10（米）， V自=3V人。綜合上面的三個式子，可得：V汽=6V人，即V人=1/6V汽，則：間隔距離=（V汽-1/6V汽）6=5V汽（米）所以，汽車的發(fā)車時間間隔就等于：間隔距離V汽=5V汽（米）V汽（米/分鐘）=5（分鐘）。小峰沿公交車的路線從終點站往起點站走，他出發(fā)時恰好有一輛公交車到達終點，在路上，他又遇到了14輛迎面開來的公交車，并于1小時18分后到達起點站，這時候恰好又有一輛公交車從起點開出。已知起點站與終點站相距6000米，公交車的速度為500米/分鐘，且每兩輛車之間的發(fā)車間隔是一定的。求這個發(fā)車間隔是幾分鐘?解析：發(fā)車間隔為6分鐘。6000500=12(分).(78+12)=90(分).90(16-1)=6(分).公交車走完全程的時間為6000500=12(分)。小峰前后一共看見了16輛車，并且第16輛車是他走了1小時18分即78分鐘后在起點站遇上的。如果我們讓小峰站在終點站不動，他可以在(78+12)=90(分鐘)后看見第16輛車恰好到達終點。第1輛車和第16輛車中間有(16-1)=15(個)發(fā)車間隔，所以一個發(fā)車間隔為9015=6(分).列車每天18：00由上海站出發(fā)，駛往烏魯木齊，經(jīng)過50小時到達，每天10：00從烏魯木齊站有一列火車返回上海，所用時間也為50小時，為保證在上海與烏魯木齊乘車區(qū)間內(nèi)每天各有一輛火車發(fā)往對方站，至少需要準備這種列車多少列？在原題的前提下，正常運行后，每天18：00從上海站開往烏魯木齊的火車在途中，將會遇到幾趟回程車從對面開來？在車速不變的前提下，為了實現(xiàn)有五列車完成這一區(qū)段的營運任務，每天兩站互發(fā)車輛時間間隔至少需要相差多長時間？（假定乘客上下車及火車檢修時間為一小時）解：（1）設上海到烏魯木齊的車第一天晚18：00出發(fā)，到烏魯木齊為第三天晚20：00，該車可于第四日早10：00從烏魯木齊出發(fā)，于第六日中午12：00到上海，當日晚18：00可出發(fā)往烏魯木齊。因此，第六日開始重復是同一輛車，所以至少需要5輛列車。（2）正常運行后，每天都會有一趟車從烏魯木齊出發(fā)開往上海，在18：00從上海站開往烏魯木齊的火車到達烏魯木齊這段時間，從烏魯木齊出發(fā)的車它都會遇到，共是2輛。（3）在車速不變的前提下，為了實現(xiàn)有五列車完成這一區(qū)段的營運任務，則第一日從烏魯木齊發(fā)出的車需在第六日再從同一個站開出，設每天上海發(fā)車時間比烏魯木齊晚x(x2，若x0 解得：x3為便于敘述，現(xiàn)將“發(fā)車問題”進行一般化處理：某人以勻速行走在一條公交車線路上，線路的起點站和終點站均每隔相等的時間發(fā)一次車。他發(fā)現(xiàn)從背后每隔a分鐘駛過一輛公交車，而從迎面每隔b分鐘就有一輛公交車駛來。問：公交車站每隔多少時間發(fā)一輛車？（假如公交車的速度不變，而且中間站停車的時間也忽略不計。）一、把“發(fā)車問題”化歸為“和差問題”因為車站每隔相等的時間發(fā)一次車，所以同向的、前后的兩輛公交車間的距離相等。這個相等的距離也是公交車在發(fā)車間隔時間內(nèi)行駛的路程。我們把這個相等的距離假設為“1”。根據(jù)“同向追及”，我們知道：公交車與行人a分鐘所走的路程差是1，即公交車比行人每分鐘多走1/a，1/a就是公交車與行人的速度差。根據(jù)“相向相遇”，我們知道：公交車與行人b分鐘所走的路程和是1，即公交車與行人每分鐘一共走1/b，1/b就是公交車和行人的速度和。這樣，我們把“發(fā)車問題”化歸成了“和差問題”。根據(jù)“和差問題”的解法：大數(shù)=（和+差）2，小數(shù)=（和-差）2，可以很容易地求出公交車的速度是（1/a+1/b）2。又因為公交車在這個“間隔相等的時間”內(nèi)行駛的路程是1，所以再用“路程速度=時間”，我們可以求出問題的答案，即公交車站發(fā)車的間隔時間是1【（1/a+1/b）2】=2（1/a+1/b）。二、把“發(fā)車問題”優(yōu)化為“往返問題”如果這個行人在起點站停留m分鐘，恰好發(fā)現(xiàn)車站發(fā)n輛車，那么我們就可以求出車站發(fā)車的間隔時間是mn分鐘。但是，如果行人在這段時間內(nèi)做個“往返運動”也未嘗不可，那么他的“往返”決不會影響答案的準確性。因為從起點站走到終點站，行人用的時間不一定被a和b都整除，所以他見到的公交車輛數(shù)也不一定是整數(shù)。故此，我們不讓他從起點站走到終點站再返回。那么讓他走到哪再立即返回呢？或者說讓他走多長時間再立即返回呢？取a和b的公倍數(shù)（如果是具體的數(shù)據(jù)，最好取最小公倍數(shù)），我們這里取ab。假如剛剛有一輛公交車在起點站發(fā)出，我們讓行人從起點站開始行走，先走ab分鐘，然后馬上返回；這時恰好是從行人背后駛過第b輛車。當行人再用ab分鐘回到起點站時，恰好又是從迎面駛來第a輛車。也就是說行人返回起點站時第（a+b）輛公交車正好從車站開出，即起點站2ab分鐘開出了（a+b）輛公交車。這樣，就相當于在2ab分鐘的時間內(nèi)，行人在起點站原地不動看見車站發(fā)出了（a+b）輛車。于是我們求出車站發(fā)車的間隔時間也是2ab（a+b）=2（1/a+1/b）。這樣的往返假設也許更符合“發(fā)車問題”的情景，更簡明、更嚴謹，也更易于學生理解和接受。如果用具體的時間代入，則會更加形象，更便于說明問題。三、請用上述兩種方法，試一試，解答下面兩題：1、小紅在環(huán)形公路上行走，每隔6分鐘就可以看見一輛公共汽車迎面開來，每隔9分鐘就有一輛公共汽車從背后超過她。如果小紅步行的速度和公共汽車的速度各自都保持一定，而汽車站每隔相等的時間向相反的方向各發(fā)一輛公共汽車，那么汽車站發(fā)車的間隔時間是多少？2、小明從東城到西城去，一共用了24分鐘。兩城之間同時并且每隔相等的時間對發(fā)一輛公共汽車。他出發(fā)時恰好有一輛公共汽車從東城發(fā)出，之后他每隔4分鐘看見一輛公共汽車迎面開來，每隔6分鐘有一輛公共汽車從背后超過。問小明從東城出發(fā)與到達西城這段時間內(nèi)，一共有多少輛公共汽車從東城發(fā)出？四、下面三題也是發(fā)車問題，試一試，揭示問題實質(zhì)。3、從電車總站每隔一定時間開出一輛電車。甲和乙兩人在一條街上沿著同一方向步行，甲每分鐘步行82千米，每隔10分鐘遇上一輛迎面而來的電車；乙每分鐘步行60米，每隔10分15秒遇上迎面開來的一輛電車。電車總站每隔_分鐘開出一輛電車。題說 1997年小學數(shù)學奧林匹克決賽A卷第12題答案：11（分鐘）4、有一路電車的起點站和終點站分別是甲站和乙站。每隔5分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)開往乙站。全程要走15分鐘。有一個人從乙站出發(fā)沿電車路線騎車前往甲站。他出發(fā)的時候，恰好有一輛電車到達乙站。在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車，才到達甲站。這時候，恰好又有一輛電車從甲站開出。問他從乙站到甲站用了多少分鐘？題說 第一屆“華杯賽”初賽第16題答案：40（分鐘）5、一條雙向鐵路上有11個車站。相鄰兩站都相距7公里。從早晨7點開始，有18列貨車由第十一站順次發(fā)出，每隔5分鐘發(fā)出一列，都駛向第一站，速度都是每小時60公里。早晨8點，由第一站發(fā)出一列客車，向第十一站駛?cè)?，時速是100公里，在到達終點站前，貨車與客車都不停靠任何一站，問：在哪兩個相鄰站之間，客車能與3列貨車先后相遇？題說 第三屆“華杯賽”決賽二試第6題答案：在第5個站與第6個站之間，客車與三列貨車相遇。從幾個不變來找方法，比如人步行的速度不變比如車的速度和發(fā)車時間間隔不變等等就會比較容易找到已知數(shù)量與問題之間的關系從而找到解題方法。8、電梯行程小學六年級扶梯問題專題分析1、哥哥沿向上移動的自動扶梯從頂向下走,共走了100級;此時妹妹沿向上的自動扶梯從底向上走到頂,共走了50級.如果哥哥單位時間內(nèi)走的級數(shù)是妹妹的2倍.那么,當自動扶梯靜止時,自動扶梯能看到的部分有多少級?解：由題可知，設能看到的部分有n級，扶梯每秒移動p級，妹妹每秒走x級則哥哥每秒走2x級由題可列方程，2x*n/(2x-p)=100（1），x*n/(p+x)=50（2）（1）/（2）：2(p+x)/(2x-p)=2p+x=2x-px=2p又由（1），所以n=100*(2x-p)/2x=100*(4p-p)/4p=75級所以自動扶梯能看見的部分有75級2、商聲的自動扶梯以勻速由下往上行駛,兩個孩子嫌扶梯走得太慢,于是在行駛的扶梯上,男孩每秒向上走2梯級,女孩每2秒向上走3梯級,結果男孩用40秒到達樓上,女孩用50秒到樓上.問當該扶梯靜止時,扶梯可看到的梯級共有多少級?分析與解答兩個孩子從下走到上,他們各自走過的梯級加上自動扶梯在他們各自需要的時間內(nèi)上升X級,那么扶梯總的梯級數(shù)等于男孩走過的40乘以2得80級國上自動扶梯上升的40X級,同樣也等于女孩50秒走過的50除以2乘以3得75級加上自動扶梯上升的50X級,列方程可求出解.解設每秒自動扶梯上升X級.40乘2加上40X=50除以2乘以3加上50X 解X=0.5扶梯共有40乘以2加上40X等于100級.3. 商場的自動扶梯勻速由下往上運行，兩個小孩在運行的扶梯上由上往下走，男孩每分鐘走30級，需6分鐘到達樓下；女孩每分鐘走25級，需8分鐘到達樓下。問：當該扶梯靜止時，自動扶梯能看到的部分共有多少級？分析與解在這里我們將“自動扶梯”看作“甲”，將“自動扶梯”與男孩、女孩之間的運動關系形象地用“追及問題”的形式來表示。這樣，這道題就類比成行程應用題中的追及問題：男孩、女孩兩個人在A地，甲在B地，三人同時出發(fā)，同向而行，男孩追上甲需6分鐘；女孩追上甲需8分鐘。已知男孩每分鐘走30級，女孩每分鐘走25級。求A、B兩地相距多少級？由于甲的速度一定，男孩與甲的速度差和女孩與甲的速度差的相差值即為男孩、女孩速度的相差值，如果把A、B兩地的路程看作單位“1”，不難找出男孩、女孩速度的相差值的對應分率為 ，故可列式： （級）。所以當該扶梯靜止時，自動扶梯能看到的部分共有120級。4. 自動扶梯以均勻的速度向上運行，一男孩與一女孩同時從自動扶梯向上走，已知男孩的速度是女孩的2倍，男孩走了27級到達頂部，女孩走了18級到達頂部。問：當自動扶梯靜止時，自動扶梯能看到的部分有多少級？分析與解在這里我們也將“自動扶梯”看作“甲”，將男孩、女孩與自動扶梯之間的運動關系形象地用“相遇問題”的形式來表示。這樣這道題就類比成行程問題中的相遇問題：男孩、女孩兩個人在A地，甲在B地，男孩每分鐘走的級數(shù)是女孩每分鐘走的2倍?，F(xiàn)在三人同時出發(fā)，男孩、女孩與甲相向而行，當甲與男孩相遇時，男孩走了27級；當甲與女孩相遇時，女孩走了18級。求A、B兩地相距多少級？不難看出男孩走27級與女孩走18級所用的時間之比為，則甲與男孩、女孩兩次相遇所用的時間之比為3:4。又因為甲的速度一定，所以甲行走的路程與其所用的時間成正比，即甲與男孩、女孩兩次相遇時所行的路程之比也是3:4，甲與男孩、女孩兩次相遇所行的路程之差也就是男孩、女孩兩人所行的路程差（級），故可列式： （級）或 （級）。所以當自動扶梯靜止時，自動扶梯能看到的部分有54級。5. 商場的自動扶梯勻速由下往上運行，兩個孩子在運行的扶梯上上下走動，女孩由下往上走，男孩由上往下走，結果女孩走了40級到達樓上，男孩走了80級到達樓下，如果男孩單位時間內(nèi)走的級數(shù)是女孩單位時間內(nèi)走的2倍，當自動扶梯靜止時，自動扶梯能看到的部分共有多少級？分析與解我們?nèi)钥梢詫⒋祟}中的“自動扶梯”看作“甲”，將“自動扶梯”與“女孩”以及“自動扶梯”與“男孩”之間的運動關系分別用相遇與追及兩種形式來表示。這樣這道題就類比成行程應用題：男孩與女孩在A地，甲在B地。如果女孩與甲同時出發(fā)，相向而行，相遇時女孩走了40級；如果男孩與甲同時出發(fā)，同向而行，當男孩追上甲時，男孩走了80級。已知男孩的速度是女孩的2倍，求A、B兩地相距多少級？不難求出男孩走80級與女孩走40級所用的時間之比為，那么甲在這兩次運動中所用的時間之比為1:1，所以甲在這兩次運動中所行的路程之比也為1:1。因為甲在這兩次運動中共行路程為（級），所以甲在與女孩做相遇運動中所行的路程為 （級），故A、B兩地相距（級）。所以當自動扶梯靜止時，自動扶梯能看到的部分共有60級。6、兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級階梯，女孩每秒可走2級階梯，結果從階梯的一端到達另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問該扶梯共有多少級？7、冬冬沿著向上移動的自動扶梯從頂向下走到底，共走了100級，相同的時間內(nèi)，恬恬沿著自動扶梯從底走到頂共走了50級。如果冬冬同一時間內(nèi)走的級數(shù)是恬恬的2倍，那么當自動扶梯靜止時，自動扶梯能看到的部分有多少級？8、商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個梯級，女孩每2秒向上走3個梯級。結果男孩用40秒鐘到達，女孩用50秒鐘到達。則當該扶梯靜止時，可看到的扶梯級有：解析：這是一個典型的行程問題的變型，總路程為“扶梯靜止時可看到的扶梯級”，速度為“男孩或女孩每個單位向上運動的級數(shù)”，如果設電梯勻速時的速度為X，則可列方程如下，（X+2）40=（X+3/2）50解得 X=0.5 也即扶梯靜止時可看到的扶梯級數(shù)=（2+0.5）40=1009、甲步行上樓的速度是乙的2倍,一層到二層有一上行滾梯(自動扶梯)正在運行二人從滾梯步行上樓，結果甲步行了級到達樓上，乙步行了級到達樓上問這個滾梯共有多少級？設滾梯長度為L，滾梯速度為X,甲速度為2Y,乙為Y,則由題意得：L/(X+2Y)*2Y=20 (1)L/(X+Y)*Y=12 (2)聯(lián)立（1）（2）得:X=4Y (3)將（3）代入（1）或（2）得:L=60.10某商場一樓和二樓之間安裝了一自動扶梯,以均勻的速度向上行駛,一男孩和一女孩同時從自動扶梯走到二樓(扶梯行駛,兩人也走梯),如果兩人上梯的速度都是勻速,每次只跨1級,且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的2倍,已知男孩走了27級到達扶梯頂部,而女孩走了18級到達扶梯頂部.(1)扶梯露在外面的部分有多少級?(2)現(xiàn)扶梯近旁有一從二樓下到一樓的樓梯道,臺階的級數(shù)與自動扶梯級數(shù)相等,兩個孩子各自到扶梯的頂部后按原速度再下扶梯,到樓梯底部再乘自動扶梯上樓(不考慮扶梯與樓梯之間的距離).求男孩第一次追上女孩時走了多少級臺階?11、自動扶梯以均勻的速度向上行駛，一男孩與一女孩同時從自動扶梯向上走，男孩的速度是女孩的2倍，已知男孩走了27級到達扶梯的頂部，而女孩走了18級到達頂部。問扶梯露在外面的部分有多少級？12自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結果男孩用了5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級？15013商聲的自動扶梯以勻速由下往上行駛,兩個孩子嫌扶梯走得太慢,于是在行駛的扶梯上,男孩每秒向上走2梯級,女孩每2秒向上走3梯級,結果男孩用40秒到達樓上,女孩用50秒到樓上.問當該扶梯靜止時,扶梯可看到的梯級共有多少級?分析與解答兩個孩子從下走到上,他們各自走過的梯級加上自動扶梯在他們各自需要的時間內(nèi)上升X級,那么扶梯總的梯級數(shù)等于男孩走過的40乘以2得80級國上自動扶梯上升的40X級,同樣也等于女孩50秒走過的50除以2乘以3得75級加上自動扶梯上升的50X級,列方程可求出解.解設每秒自動扶梯上升X級.40乘2加上40X=50除以2乘以3加上50X 解X=0.5扶梯共有40乘以2加上40X等于100級.14. 哥哥沿向上移動的自動扶梯從頂向下走,共走了100級;此時妹妹沿向上的自動扶梯從底向上走到頂,共走了50級.如果哥哥單位時間內(nèi)走的級數(shù)是妹妹的2倍.那么,當自動扶梯靜止時,自動扶梯能看到的部分有多少級? 設能看到的部分有n級，扶梯每秒移動p級，妹妹每秒走x級則哥哥每秒走2x級由題可列方程，2x*n/(2x-p)=100（1），x*n/(p+x)=50（2）（1）/（2）：2(p+x)/(2x-p)=2p+x=2x-px=2p又由（1），所以n=100*(2x-p)/2x=100*(4p-p)/4p=75級所以自動扶梯能看見的部分有75級9、獵狗追兔獵狗追兔問題獵狗前面26 步遠有一只野兔，獵狗追之。兔跑8 步的時間狗跑5 步，兔跑9 步的距離等于狗跑4 步的距離。問：兔跑多少步后被獵狗抓獲？此時獵狗跑了多少步？第一個條件：兔跑9 步的距離等于狗跑4 步的距離：49=36 份。把兔子9 步的距離和狗4 步的距離都細分成36 小份。則兔子一步為4 小份，狗一步為9 小份。這樣我們就可以比較兔子步長與狗步長。第二個條件：兔跑8步的時間狗跑5 步。在相同的時間內(nèi)，兔子8 步，等于48=32 份。狗5 步等于59=45 份。兩者的速度差是45-32=13 小份。獵狗前面26 步遠有一只野兔，是26 個狗步，269=234 小份，根據(jù)追及：路程差速度差=追及時間，23413=18 18 個單位時間。兔跑了188=144 個步。獵狗跑了185=90 步狼與狗的相遇問題狼和狗是死對頭，見面就要相互撕咬。一天，它們同時發(fā)現(xiàn)了對方，它們之間的距離狼要跑568 步。如果狼跑9 步的時間狗跑7 步，狼跑5 步的距離等于狗跑4 步的距離，那么從它們同時奔向?qū)Ψ降较嘤?，狗跑了多少步？狼跑了多少步？第一個條件：狼跑5 步的距離等于狗跑4 步的距離。45=20 份。則狗一步為5 小份，狼一步為4 小份。這樣我們就可以比較狼步長與狗步長。第二個條件：如果狼跑9 步的時間狗跑7 步，在相同的時間內(nèi)，狼跑9 步，等于49=36 份。狗跑7 步等于57=35 份。兩者的速度和是36+35=71 小份。它們之間的距離狼要跑568步，5684=2272 小份，根據(jù)相遇：路程和速度和=相遇時間，227271=32 32 個單位時間。狼跑了329=288 步。獵狗跑了327=224 步獵狗跑4步的距離兔子跑9步的距離狗一步5小份狼一步4小份典型例題：獵狗追趕前方15米處的野兔。獵狗跑3步的時間野兔跑5步，獵狗跑4步的距離野兔要跑7步。獵狗至少跑出多少米才能追上野兔？分析過程獵狗追兔，一般都不給出具體的速度，只會告訴你獵狗跑幾步的時間兔子跑幾步，獵狗跑幾步的距離兔子需要跑幾步。通過這兩個關系可以求出獵狗和兔子的速度比。所以，我們根據(jù)其他條件，思考怎么把所求結論轉(zhuǎn)化成比例關系。 設獵狗至少跑x米才能追上野兔則兔子跑了（x-15）m因為獵狗和兔子同時跑的，所以他們跑的時間相等，則他們的路程比與速度比相等。 所以，把所求的路程，轉(zhuǎn)化成了只需要求狗和兔的速度比。求狗和兔的速度比是每個獵狗追兔問題的關鍵，在這里給大家介紹三種求狗兔速度比的方法，大家可以專攻一種方法，對其他方法做簡單了解。獵狗追兔問題練習題1.一只獵狗正在追趕前方20米處的兔子，已知狗一跳前進3米，兔子一跳前進2.1米，狗跳3次的時間兔子可以跳4次。問；兔子跑出多遠將被狗追上？(280)2.獵狗追趕前方30米處的野兔。獵狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子動作快，獵狗跑3步的時間兔子能跑4步。獵狗至少跑出多遠才能追上野兔？（126）3.在一只野兔跑出90米后 獵狗去追它 野兔跑8步的路程 獵狗只需跑3步 獵狗跑3步的時間 野兔能跑4步 問獵狗至少跑出多遠才能追上野兔。（180）4.獵狗追趕前方35米處的野兔，獵狗步子大，它跑4步的路程兔子要7步，但是兔子動作快，獵狗跑3步的時間兔子跑4步，獵狗至少要跑出多遠才能追上野兔？（147）5.獵狗追趕前方50米處的野兔。獵狗跑4步的路程兔子要跑7步,但獵狗跑3步的時間兔子能跑5步。獵狗至少跑出多遠才能追上野兔?（1050）6.一只野兔逃出80步后獵狗才追它，野兔跑8步的路程獵狗只需跑3步，獵狗跑4步的時間兔子只能跑9步。獵狗至少要跑多少步才能追上野兔？（192）7.一只野兔逃出85步后獵狗才追它,野兔跑8步的路程獵狗只需跑3步,獵狗跑4步的時間野兔能跑9步,問:獵狗至少要跑多少步才能追上野兔?（204）8.獵人帶獵狗追野兔，野兔先跑出80步，獵狗跑2步的時間等于野兔跑3步的時間，獵狗跑4步的距離等于野兔跑7步的距離，問獵狗需要多少步可以追上野兔？（320）9.一只野兔逃出66步后獵狗才追它,野兔跑8步的路程獵狗只需跑3步,獵狗跑4步的時間兔子能跑7步。獵狗至少要跑多少步才能追上野兔？（72）10、多人行程11、二次相遇、追及問題第一講 多人(或多次)相遇與追及問題1. 學會畫圖解行程題2. 能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問題3. 能夠利用比例解多人相遇和追及問題專題一、【多人相遇與追擊】多人相遇追及問題，即在同一直線上，3個或3個以上的對象之間的相遇追及問題。所有行程問題都是圍繞“”這一條基本關系式展開的，比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質(zhì)也是這三個量之間的關系轉(zhuǎn)化由此還可以得到如下兩條關系式：； ；多人相遇與追及問題雖然較復雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解板塊一、多人從兩端出發(fā)相遇、追及【例 1】 （難度級別 ）有甲、乙、丙3人，甲每分鐘走100米，乙每分鐘走80米，丙每分鐘走75米現(xiàn)在甲從東村，乙、丙兩人從西村同時出發(fā)