【數(shù)學(xué)故事】.doc

【數(shù)學(xué)故事】追尋數(shù)學(xué)大國的歷史脈絡(luò)一、古代數(shù)學(xué)領(lǐng)跑世界中國數(shù)學(xué)有著悠久的歷史，14世紀(jì)以前一直是世界上數(shù)學(xué)最為發(fā)達(dá)的國家，出現(xiàn)過許多杰出數(shù)學(xué)家，取得了很多輝煌成就。中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展，在古代著作世本中就已提到黃帝使“隸首作算數(shù)”，但這只是傳說。在殷商甲骨文記錄中，中國已經(jīng)使用完整的十進制記數(shù)。至遲到春秋戰(zhàn)國時代，又開始出現(xiàn)嚴(yán)格的十進位制籌算記數(shù)。籌算作為中國古代的計算工具，是中國古代數(shù)學(xué)對人類文明的特殊貢獻(xiàn)。關(guān)于幾何學(xué)，史記“夏本紀(jì)”記載說：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”?！耙?guī)”是圓規(guī)，“矩”是直角尺，“準(zhǔn)繩”則是確定鉛垂方向的器械。這些都說明了早期幾何學(xué)的應(yīng)用。從戰(zhàn)國時代的著作考工記中也可以看到與手工業(yè)制作有關(guān)的實用幾何知識。戰(zhàn)國(公元前475年前221年)諸子百家與希臘雅典學(xué)派時代相當(dāng)?！鞍偌摇本褪嵌喾N不同的學(xué)派，其中的“墨家”與“名家”，其著作包含有理論數(shù)學(xué)的萌芽。如墨經(jīng)(約公元前4世紀(jì)著作)中討論了某些形式邏輯的法則，并在此基礎(chǔ)上提出了一系列數(shù)學(xué)概念的抽象定義。在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學(xué)著作中，周髀算經(jīng)是最早的一部。周髀算經(jīng)成書年代據(jù)考應(yīng)不晚于公元前2世紀(jì)西漢時期，但書中涉及的數(shù)學(xué)、天文知識，有的可以追溯到西周(公元前11世紀(jì)前8世紀(jì))。從數(shù)學(xué)上看，周髀算經(jīng)主要的成就是分?jǐn)?shù)運算、勾股定理及其在天文測量中的應(yīng)用，其中關(guān)于勾股定理的論述最為突出。九章算術(shù)是中國古典數(shù)學(xué)最重要的著作。這部著作的成書年代，根據(jù)考證，至遲在公元前1世紀(jì)，但其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。周禮記載西周貴族子弟必學(xué)的六門課程“六藝”中有一門是“九數(shù)”。劉徽九章算術(shù)注“序”中就稱九章算術(shù)是由“九數(shù)”發(fā)展而來，并經(jīng)過西漢張蒼、耿壽昌等人刪補。九章算術(shù)采用問題集的形式，全書246個問題，分成九章，依次為：方田，粟米，衰分，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股。其中所包含的數(shù)學(xué)成就是豐富和多方面的。算術(shù)方面，“方田”章給出了完整的分?jǐn)?shù)加、減、乘、除以及約分和通分運算法則，“粟米”、“衰分”、“均輸”諸章集中討論比例問題，“盈不足”術(shù)是以盈虧類問題為原型，通過兩次假設(shè)來求繁難算術(shù)問題的解的方法。代數(shù)方面，九章算術(shù)的成就是具有世界意義的，“方程術(shù)”即線性聯(lián)立方程組的解法；“正負(fù)術(shù)”是九章算術(shù)在代數(shù)方面的另一項突出貢獻(xiàn)，即負(fù)數(shù)的引進；“開方術(shù)”即“少廣”章的“開方術(shù)”和“開立方術(shù)”，給出了開平方和開立方的算法；在幾何方面，“方田”、“商功”和“勾股”三章處理幾何問題，其中“方田”章討論面積計算，“商功”章討論體積計算，“勾股”章則是關(guān)于勾股定理的應(yīng)用。九章算術(shù)的幾何部分主要是實用幾何。但稍后的魏晉南北朝，卻出現(xiàn)了證明九章算術(shù)中那些算法的努力，從而引發(fā)了中國古典幾何中最閃亮的篇章。從公元220年東漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國歷史上的動蕩時期，但同時也是思想相對活躍的時期。在長期獨尊儒學(xué)之后，學(xué)術(shù)界思辯之風(fēng)再起。在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢，許多研究以注釋周髀算經(jīng)、九章算術(shù)的形式出現(xiàn)，實質(zhì)是要尋求這兩部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。這方面的先鋒，最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。他們的工作，使魏晉南北朝成為中國數(shù)學(xué)史上一個獨特而豐產(chǎn)的時期。隋書“律歷志”中提到“魏陳留王景元四年劉徽注九章”，由此知道劉徽是公元3世紀(jì)魏晉時人，并于公元263年撰九章算術(shù)注。九章算術(shù)注包含了劉徽本人的許多創(chuàng)造，完全可以看成是獨立的著作，奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國數(shù)學(xué)史上的不朽地位。劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”和體積理論。劉徽在九章算術(shù)方田章“圓田術(shù)”注中，提出割圓術(shù)作為計算圓的周長、面積以及圓周率的基礎(chǔ)，使劉徽成為中算史上第一位建立可靠的理論來推算圓周率的數(shù)學(xué)家。在體積理論方面，像阿基米德一樣，劉徽傾力于面積與體積公式的推證，并取得了超越時代的成果。劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法，到南北朝時期被祖沖之和他的兒子推進和發(fā)展了。祖沖之(公元429年500年)活躍于南朝宋、齊兩代，曾做過南徐州(今鎮(zhèn)江)從事史和公府參軍，都是地位不高的小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。南齊史“祖沖之傳”說他“探異今古”，“革新變舊”。球體積的推導(dǎo)和圓周率的計算是祖沖之引以為榮的兩大數(shù)學(xué)成就。祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻(xiàn)記載在隋書中。祖沖之算出了圓周率數(shù)值的上下限：3.14159263.1415927。祖沖之和他兒子關(guān)于球體積的推導(dǎo)被稱之為“祖氏原理”。祖氏原理在西方文獻(xiàn)中稱“卡瓦列利原理”，1635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利(B.Cavalieri)獨立提出，對微積分的建立有重要影響。之后的大唐盛世是中國封建社會最繁榮的時代，可是在數(shù)學(xué)方面，整個唐代卻沒有產(chǎn)生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時期相媲美的數(shù)學(xué)大家。中國古典數(shù)學(xué)的下一個高潮宋元數(shù)學(xué)，是創(chuàng)造算法的英雄時代。到了宋代，雕版印書的發(fā)達(dá)特別是活字印刷的發(fā)明，則給數(shù)學(xué)著作的保存與流傳帶來了福音。事實上，整個宋元時期(公元960年1368年)，重新統(tǒng)一了的中國封建社會發(fā)生了一系列有利于數(shù)學(xué)發(fā)展的變化。這一時期涌現(xiàn)的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家中最卓越的代表，如通常稱“宋元四大家”的楊輝、秦九韶、李冶、朱世杰等，在世界數(shù)學(xué)史上占有光輝的地位；而這一時期印刷出版、 記載著中國古典數(shù)學(xué)最高成就的宋元算書，也是世界文化的重要遺產(chǎn)。賈憲是北宋人，約公元1050年完成一部叫黃帝九章算術(shù)細(xì)草著作，原書丟失，但其主要內(nèi)容被南宋數(shù)學(xué)家楊輝著詳解九章算法(1261年)摘錄，因能傳世。賈憲的增乘開方法，是一個非常有效和高度機械化的算法，可適用于開任意高次方。秦九韶(約公元1202年1261年)在他的代表著作數(shù)書九章中，將增乘開方法推廣到了高次方程的一般情形，稱為“正負(fù)開方術(shù)”。秦九韶還有“大衍總數(shù)術(shù)”，即一次同余式的一般解法。這兩項貢獻(xiàn)使得宋代算書在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。秦九韶的大衍總數(shù)術(shù)，是孫子算經(jīng)中“物不知數(shù)”題算法的推廣。從“孫子問題”到“大衍總數(shù)術(shù)”關(guān)于一次同余式求解的研究，形成了中國古典數(shù)學(xué)中饒有特色的部分。這方面的研究，可能是受到了天文歷法問題的推動。中國古典數(shù)學(xué)的發(fā)展與天文歷法有特殊的聯(lián)系，另一個突出的例子是內(nèi)插法的發(fā)展。古代天算家由于編制歷法而需要確定日月五星等天體的視運動，當(dāng)他們觀察出天體運動的不均勻性時，內(nèi)插法便應(yīng)運產(chǎn)生。早在東漢時期，劉洪乾象歷就使用了一次內(nèi)插公式來計算月行度數(shù)。公元600年劉焊在皇極歷中使用了二次內(nèi)插公式來推算日月五星的經(jīng)行度數(shù)。公元727年，僧一行又在他的大衍歷中將劉焊的公式推廣到自變量不等間距的情形。但由于天體運動的加速度也不均勻，二次內(nèi)插仍不夠精密。隨著歷法的進步，對數(shù)學(xué)工具也提出了更高的要求。到了宋元時代，便出現(xiàn)了高次內(nèi)插法。最先獲得一般高次內(nèi)插公式的數(shù)學(xué)家是朱世杰(公元1300年前后)。朱世杰的代表著作有算學(xué)啟蒙(1299年)和四元玉鑒(1303年)。算學(xué)啟蒙是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了日本與朝鮮數(shù)學(xué)的發(fā)展。四元玉鑒則是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個標(biāo)志，其中最突出的數(shù)學(xué)創(chuàng)造有“招差術(shù)”(即高次內(nèi)插法)，“垛積術(shù)”(高階等差級數(shù)求和)以及“四元術(shù)”(多元高次聯(lián)立方程組與消元解法)等。宋元數(shù)學(xué)發(fā)展中一個最深刻的動向是代數(shù)符號化的嘗試，這就是“天元術(shù)”和“四元術(shù)”的發(fā)明。天元術(shù)和四元術(shù)都是用專門的記號來表示未知數(shù)，從而列方程、解方程的方法，它們是代數(shù)學(xué)的重要進步。中國古代數(shù)學(xué)以計算為中心、具有程序性和機械性的算法化數(shù)學(xué)模式,與古希臘的以幾何定理的演繹推理為特征的公理化數(shù)學(xué)模式相輝映，交替影響世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。（待續(xù)）第二課直線形面積的計算（一）【核心觀點】1三角形面積公式：2長方形面積公式：3平行四邊形面積公式：4常用結(jié)論：等底等高的兩個三角形面積相等底在同一條直線上并且相等，該底所對的角的頂點是同一個點或在與底平行的直線上，這兩個三角形面積相等若兩個三角形的高（或底）相等，其中一個三角形的底（或高）是另一個三角形的幾倍，那么這個三角形的面積也是另一個三角形面積的幾倍【問題1】如右圖，已知在ABC中，BE=3AE，CD=2AD若ADE的面積為1平方厘米求三角形ABC的面積【解析】【問題2】如右圖，ABCD為平行四邊形，EF平行AC，如果ADE的面積為4平方厘米求三角形CDF的面積【解析】【問題3】如圖，在ABC中，BD=2AD，AG=2CG， ，求陰影部分的面積占ABC面積的幾分之幾？【解析】【問題4】如右圖，在平行四邊形ABCD中，直線CF交AB于E，交DA延長線于F，若，求BEF的面積【解析】【問題5】一個正方形，如果把它的相鄰兩邊都增加6厘米，就可以得到一個新的正方形，新正方形比原來的正方形大120平方厘米，求原來的正方形的面積.【解析】【問題6】如圖正方形客廳邊長12米，若正中鋪一塊正方形的純毛地毯，外圍鋪化纖地毯，共需費用22455元，已知純毛地毯每平方米250元，化纖地毯每平方米35元，問鋪在外圍的化纖地毯的寬度是多少分米？【解析】【問題7】如圖ABFE和CDEF都是長方形AB的長是4厘米，BC的長是3厘米，那么圖中的陰影部分面積是多少平方厘米？【解析】【問題8】如下左圖，平行四邊形ABCD的面積是50，EFAD，則陰影部分面積是（ ）；如下中圖，梯形的下底長26厘米，高10厘米，則陰影部分的面積是（ ）；如下右圖，長方形APHM、BNHP、CQHN的面積分別是8、4、6，則陰影部分的面積是（ ）.【解析】【問題9】如下左圖，在平行四邊形ABCD中，SABCD10，EDFC，求四邊形EHFG的面積；如下中圖，平行四邊形面積是72，長方形DFEG的寬EF8，則FD（ ）；如下右圖，在長方形ABCD中，已知BC10，SABO8，SBCO12，SADO10，則AB（ ）. 【解析】 【問題10】如圖有九個小長方形，其中編號為1，2，3，4，5的5個小長方形的面積分別為2，4，6，8，10平方米，求6號長方形的面積.【解析】【問題11】如圖直角三角形ABC的三邊分別為：AC=30分米，AB=18分米，BC=24分米,ED垂直于AC，且ED=95厘米，問正方形BFEG的邊長是多少厘米？【解析】【問題12】如圖一個平行四邊形的一邊長15厘米，這條邊上的高為6厘米，一條線段將此平行四邊形分為兩個部分，他們面積相差18平方厘米，那么梯形的上底是多少厘米 ？【解析】【問題13】一張長方形紙片，長7厘米，寬5厘米，把它的右上角往下折，再把左下角往上折疊如圖所示，那么，未蓋住的陰影部分的面積是多少平方厘米？【解析】【問題14】如圖直角梯形ABCD中，AB=15厘米，BC=12厘米，AE垂直于AB，陰影部分面積是15平方厘米，問梯形ABCD的面積是多少平方厘米？【解析】【問題15】如圖，ABCD是梯形，ABFD是平行四邊形，CDEF是正方形，AGHF是長方形，又知AD=14厘米，BC=22厘米，那么陰影部分面積是多少平方厘米？【解析】【問題16】用1、2、3、4、5、7作為這個圖形6個邊長，那么這個圖形最大面積是多少？【解析】試試看1. 如下圖，長方形ABCD的長是20，寬12，求陰影部分的面積.DABCBADCBCDA 【解析】 2. 如圖，有一塊菜地長16米，寬8米。菜地中間留了2條寬2米的路，把菜地平均分成了4塊，每一塊地的面積是多少？【解析】3. 下圖中大正方形比小正方形的邊長多4厘米，大正方形的面積比小正方形多96平方厘米.大正方形和小正方形的面積各是多少？【解析】4. 一個正方形中套著一個長方形. 已知正方形的邊長是16分米，長方形4個角的頂點恰好把正方形四條邊都分成兩段，其中長的一段是短的3倍. 陰影部分的面積是多少？【解析】5. 人民路小學(xué)操場長90米，寬45米，改造后，長增加10米，寬增加5米?，F(xiàn)在操場面積比原來增加多少平方米？【解析】6. 一個長方形，如果寬不變，長增加6米，那么它的面積增加54平方米，如果長不變，寬減少3米，那么它的面積減少36平方米，這個長方形原來的面積是多少平方米？【解析】7. 一塊正方形的鋼板，先截去寬5分米的長方形，又截去寬8分米的長方形（如圖），面積比原來的正方形減少181平方分米，原正方形的邊長是多少？【解析】8. 如圖所示，BD，CF將長方形ABCD分成4塊，DEF的面積是，CED的面積是. 求：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？【解析】試試看參考答案1. 如下圖，長方形ABCD的長是20，寬12，求陰影部分的面積.DABCBADCBCDA 【解析】 S陰影=20122=1202. 如圖，有一塊菜地長16米，寬8米。菜地中間留了2條寬2米的路，把菜地平均分成了4塊，每一塊地的面積是多少？ 【解析】解法一：因為兩條小路把把菜地平均分成了4快，所以每一小塊長方形菜地的長為：（16-2）2=7（米）；寬為：（8-2）2=3（米）；面積為：73=21（平方米）。解法二、如下圖，假設(shè)把兩條小路平移到菜地的上方和左方，路的面積和剩下菜地的面積都不會發(fā)生改變。去掉小路，剩下菜地面積為：（16-2）（8-2）=84（平方米）。每一小塊菜地面積為：844=21（平方米）.3. 下圖中大正方形比小正方形的邊長多4厘米，大正方形的面積比小正方形多96平方厘米.大正方形和小正方形的面積各是多少？ 【解析】如下圖，把大正方形比小正方形多出的96平方厘米的圖形分成一個藍(lán)色的正方形和兩個同樣的灰色長方形.可以求出藍(lán)色正方形的面積為：44=16（平方厘米）；則每個小長方形的面積為：（96-16）2=40（平方厘米）；每個小長方形的長即所求小正方形圖形的邊長為：404=10（厘米）.所以，所求小正方形的面積為：1010=100（平方厘米）；所求大正方形的面積為：（10+4）（10+4）=196（平方厘米）.4. 一個正方形中套著一個長方形. 已知正方形的邊長是16分米，長方形4個角的頂點恰好把正方形四條邊都分成兩段，其中長的一段是短的3倍. 陰影部分的面積是多少？ 【解析】如下圖，長方形把正方形中原陰影部分分成了4個等腰直角三角形，正好可以拼成大、小兩個正方形。觀察上圖，結(jié)合題目已知條件可得，拼成的兩個正方形的邊長之和就是原正方形的邊長16分米；拼成的大正方形的邊長是小正方形邊長的3倍。由和倍問題的數(shù)量關(guān)系式，可以求出：拼得的較小正方形的邊長為：16（3+1）=4（分米）；較大正方形的邊長為43=12（分米）。所以，原圖中陰影部分面積為：44+1212=160（平方分米）。5. 人民路小學(xué)操場長90米，寬45米，改造后，長增加10米，寬增加5米?，F(xiàn)在操場面積比原來增加多少平方米？【解析】用操場現(xiàn)在的面積減去操場原來的面積，就得到增加的面積，操場現(xiàn)在的面積是：（90+10）（45+5）=5000（平方米），操場原來的面積是：9045=4050（平方米）。所以現(xiàn)在比原來增加5000-4050=950平方米。（90+10）（45+5）-（9045）=950（平方