高考數(shù)學(xué)第九章數(shù)列第61課等差數(shù)列教案.docx

等差數(shù)列一、教學(xué)目標(biāo)1理解等差數(shù)列的概念；2掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，體會(huì)基本量的方法與方程的思想；3能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)等差關(guān)系，并能運(yùn)用有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題；4理解等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.二、基礎(chǔ)知識(shí)回顧與梳理1、設(shè)公差為的等差數(shù)列，若，那么+等于 【教學(xué)建議】本題主要是幫助學(xué)生復(fù)習(xí)不會(huì)整體代入，有整體代入的思想教學(xué)時(shí)，教師可讓學(xué)生先口答結(jié)合本題，強(qiáng)調(diào)整體的思想解析：因?yàn)椋傻炔?，公差為設(shè)，則，,50成等差數(shù)列，即得2、中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為_(kāi)【教學(xué)建議】本題旨在讓學(xué)生理解等差中項(xiàng)的應(yīng)用3、在等差數(shù)列an中，a100，a110且|a11|a10|，Sn是其前n項(xiàng)和下列命題： 公差d0； an為遞減數(shù)列； S1，S2，S19都小于零，S20，S21，都大于零； n19時(shí)，Sn最?。?n10時(shí)，Sn最小其中正確的是_(填序號(hào))【教學(xué)建議】本題旨在讓學(xué)生理解項(xiàng)與和的正負(fù)以及最值之間的聯(lián)系，可用多種方法來(lái)判斷。4、已知等差數(shù)列中，,，則前項(xiàng)和的最小值為 【教學(xué)建議】本題選自課本第44頁(yè)習(xí)題“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；（即找正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)）法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？5、某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤(pán)上,空盤(pán)時(shí)盤(pán)芯直徑，滿盤(pán)時(shí)直徑,已知衛(wèi)生紙的厚度為,問(wèn):滿盤(pán)時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度大約是 米(精確到)?【教學(xué)建議】本題選自課本第42頁(yè)例題本題需要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問(wèn)題，在解題過(guò)程中要注意每個(gè)數(shù)據(jù)與五個(gè)量、, 的關(guān)系本題中空盤(pán)時(shí)的半徑并不是首項(xiàng)，滿盤(pán)時(shí)的半徑并不是末項(xiàng)三、診斷練習(xí)1、教學(xué)處理：課前由學(xué)生自主完成4道小題，并要求將解題過(guò)程扼要地寫(xiě)在學(xué)習(xí)筆記欄課前抽查批閱部分同學(xué)的解答，了解學(xué)生的思路及主要錯(cuò)誤課堂上重點(diǎn)展示學(xué)生的計(jì)算過(guò)程，關(guān)鍵處要求學(xué)生說(shuō)明解題思路和方法，充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程，使得點(diǎn)評(píng)更具有針對(duì)性2、診斷練習(xí)點(diǎn)評(píng)題1：在數(shù)列中,若(),則= , = .【分析與點(diǎn)評(píng)】已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式時(shí)要先判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列若是等差或等比數(shù)列，則按等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；若不是等差或等比數(shù)列，一般先將遞推關(guān)系變形，構(gòu)造一個(gè)等差或等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式容易記錯(cuò)公式或等題2：在等差數(shù)列中，已知，則 . 答案：【分析與點(diǎn)評(píng)】本題已知，顯然我們只能獲得基本量的關(guān)系，而不能直接解出.因此必然包涵的整體能夠使用我們從已知中得到的關(guān)系題3：設(shè)為等差數(shù)列前n項(xiàng)和,若，則 .【分析與點(diǎn)評(píng)】利用數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，能簡(jiǎn)化解題過(guò)程，達(dá)到事半功倍的效果教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的解答，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與之間的關(guān)系，用簡(jiǎn)捷的途徑進(jìn)行計(jì)算通過(guò)本題小結(jié)兩點(diǎn)：解數(shù)列題一定要注意已知式和所求式之間的內(nèi)在聯(lián)系；等差數(shù)列中，與之間的關(guān)系.題4： 已知等差數(shù)列中，公差，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 【分析與點(diǎn)評(píng)】方法1可以直接根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，得到關(guān)于的二元二次方程組，解出，從而求出通項(xiàng)公式，方法2利用等差數(shù)列的性質(zhì)再由，解得，從而可以求出公差為2，得通項(xiàng)公式為本題主要考查對(duì)等差數(shù)列的基本量的運(yùn)用以及等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)的運(yùn)用。3、要點(diǎn)歸納（1）強(qiáng)化 “巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中運(yùn)用，用“基本量法”方法求解是處理數(shù)列問(wèn)題的基本方法，要求學(xué)生熟練掌握.同時(shí)強(qiáng)調(diào)，并不是每道題都有捷徑，要充分合理地運(yùn)用條件，時(shí)刻注意求解的目標(biāo)，選擇方法時(shí)要慎重；（2）等差數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差數(shù)列問(wèn)題的既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)去應(yīng)用；（3）在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形；（4）等差數(shù)列的所有問(wèn)題都要向通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前項(xiàng)和轉(zhuǎn)化；（5）在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題，是必須具備的能力.四、范例導(dǎo)析例1已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為Sn，且=30，=50.（1）求通項(xiàng)；（2）若=242，求；（3）求 前項(xiàng)和?！窘虒W(xué)處理】在提問(wèn)學(xué)生問(wèn)題討論交流后，可教師板書(shū)示范，也可讓學(xué)生練習(xí)、板演后點(diǎn)評(píng)【引導(dǎo)分析與精講建議】1、強(qiáng)調(diào)應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和,運(yùn)用了方程的思想,一般地,可由得求出和,從而確定通項(xiàng).化歸為首項(xiàng)、公差(公比)和項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)列方程（組）解決問(wèn)題.這是研究等差(等比)數(shù)列的最基本方法.也可從等差數(shù)列中任意兩項(xiàng)之間關(guān)系入手().2、通項(xiàng)公式法： (，是常數(shù))( N*)是等差數(shù)列；例： 【教學(xué)處理】本題可讓學(xué)生自主嘗試、相互交流，教師觀察巡視并點(diǎn)評(píng)證明數(shù)列是等差數(shù)列的兩種基本方法是：（1）利用定義，證明（常數(shù)）；（2）利用等差中項(xiàng)，即證明（2）.例3：已知在等差數(shù)列中，是它的前n項(xiàng)的和，.求； 這個(gè)數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大，并求出這個(gè)最大值.【教學(xué)處理】先給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，然后指名學(xué)生回答問(wèn)題（1），學(xué)生評(píng)議，教師評(píng)點(diǎn)并板書(shū)過(guò)程。問(wèn)題（1）結(jié)束后，可讓學(xué)生討論后回答，教師板書(shū)、點(diǎn)評(píng)問(wèn)題（2）?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】（1），又， ，則，又， （2）方法一：由中可知， 當(dāng)時(shí)，有最大值，的最大值是. 方法二：由，可得. 由a，得；由,得； 又為正整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最大值. 反思：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列基本量的求解，數(shù)列的函數(shù)特性，如何求前項(xiàng)和的最值問(wèn)題.(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)配方或借助圖象求 二次函數(shù)最值的方法求解.(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法：時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取得最大值為；當(dāng)時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取得最小值為.變式題:1、設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,.(1) 求公差的取值范圍.(2)求的前項(xiàng)和為最大時(shí)的值.2、已知在等差數(shù)列中，是它的前n項(xiàng)的和，. 求； 這個(gè)數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大，并求出這個(gè)最大值.求使得的最大的。拓展題:已知數(shù)列的首項(xiàng)，通項(xiàng)與前n項(xiàng)和為之間滿足（1）求證：是等差數(shù)列，并求公差；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）數(shù)列中是否存在自然數(shù)，使得不等式對(duì)任意大于等于的自然數(shù)都成立？若存在求出最小的值；若不存在，說(shuō)明理由【教學(xué)處理】先給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，然后指名學(xué)生回答問(wèn)題（1），學(xué)生評(píng)議，教師評(píng)點(diǎn)并板書(shū)過(guò)程。問(wèn)題（1）結(jié)束后，可讓學(xué)生板書(shū)問(wèn)題（2），并思考問(wèn)題（3），學(xué)生討論后回答，教師板書(shū)、點(diǎn)評(píng)問(wèn)題（3）?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】（1）利用與的關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)與的相互轉(zhuǎn)化，由已知中，我們易得，兩邊同除以后，即可得到，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合，我們可以得到n2時(shí)，的通項(xiàng)公式，結(jié)合首項(xiàng)=3，我們可以得到的通項(xiàng)公式；（3）令解不等式我們可以求出滿足條件的取值范圍，再根據(jù)kN，即可得到滿足條件的k值本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差關(guān)系的確定，數(shù)列的函數(shù)特性，數(shù)列的遞推公式要判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列最常用的辦法就是根據(jù)定義，判斷是否為一個(gè)常數(shù)【備用】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且對(duì)任意都有 （1）求的值； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：（1）當(dāng)時(shí)，有， 當(dāng)時(shí)，有（2）由得， 同時(shí)有 由-，得 因?yàn)?，所?同理有， 由-，得，整理，得由于，故當(dāng)時(shí)，都有所以數(shù)列為首項(xiàng)是1，公差是1的等差數(shù)列， 所求通項(xiàng)公式為【評(píng)注】在處理數(shù)列中由組成的關(guān)系時(shí)，基本轉(zhuǎn)化方法有兩個(gè)，一個(gè)是把轉(zhuǎn)化為，建立數(shù)列通項(xiàng)的遞推關(guān)系，一個(gè)是把化為，建立的遞推關(guān)系，解題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況靈活掌握。 五、解題反思1確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是確定首項(xiàng)和公差解決等差（比）數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，通常考慮兩類方法：基本量法，即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于a和d(q)的方程；巧妙運(yùn)用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)（如下標(biāo)和的性質(zhì)、子數(shù)列的性質(zhì)、和的性質(zhì)）.一般地，運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)，可化繁為簡(jiǎn). 2等差數(shù)列通項(xiàng)公式中聯(lián)系著五個(gè)量：，根據(jù)方程的思想已知其中三個(gè)量，可求出另外兩個(gè)量3若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且和為定值時(shí)，可設(shè)中間三個(gè)數(shù)為-，+，偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)中間兩數(shù)為-，+4數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，求解數(shù)列的問(wèn)題時(shí)要注意函數(shù)思想，方程思想及化歸思想的應(yīng)用為等差數(shù)列中，有五個(gè)量、, 通過(guò)解方程(組)知三可求二，和是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知，是常用的方法方程(組)的數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列部分應(yīng)用很廣泛，注意運(yùn)用5. 求等差數(shù)列最值有三法：借助求和公式是關(guān)于的二次函數(shù)的特點(diǎn),用配方法求解;借助等差數(shù)列的性質(zhì)判斷,通過(guò)”轉(zhuǎn)折項(xiàng)”求解;借助二次函數(shù)圖象求解（經(jīng)過(guò)原點(diǎn)）啟示：尋找分