（試題 試卷 真題）r2007022009270444

透視06高考把握07復(fù)習(xí)一、06年試題概況試 卷考 題題 量分 值難 度37份81題2-4題15不 一一份試題不能考全所有的考點(diǎn)，但81條不同的立幾題覆蓋所有的考點(diǎn)。其中線面垂直、二面角出現(xiàn)的頻率最高。二、06年立體幾何試題分析1、 一種考法考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力浙江理（14）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，棱AB平面，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是. 【說明】本題考查正四面體的性質(zhì)、線段在平面內(nèi)的射影；空間想象能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力 (安徽卷）理科數(shù)學(xué)（16）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距離可能是：3； 4； 5； 6； 7以上結(jié)論正確的為_。（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）ABCDA1B1C1D1A1解：如圖，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，則D、A1的中點(diǎn)到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；B、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以B1到平面的距離為5；則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C1到平面的距離為7；而P為C、C1、B1、D1中的一點(diǎn)，所以選?！菊f明】本題考查正方體的性質(zhì)、點(diǎn)面距離、空間想象能力和遷移能力（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）6、設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面.考查下列命題，其中正確的命題是（B）A B C D【說明】本題考查線線、線面、面面的平行垂直關(guān)系（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）3. 過平行六面體任意兩條棱的中點(diǎn)作直線, 其中與平面平行的直線共有D A4條 B6條 C8條 D12條【說明】本題主要考查了三種平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化。2、兩類題型（重慶卷）數(shù)學(xué)試題卷（文史類）（4）若是平面外一點(diǎn)，則下列命題正確的是D（A）過只能作一條直線與平面相交 （B）過可作無數(shù)條直線與平面垂直（C）過只能作一條直線與平面平行 （D）過可作無數(shù)條直線與平面平行【說明】過一點(diǎn)作已知平面的垂線有且只有一條（唯一性）過平面外一點(diǎn)可作無數(shù)直線與已知平面平行（存在性）06重慶(文)4直線l與平面，在平面內(nèi)必有直線m，使m與l（ ）（A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互為異面直線 分析：A反例：lB反例：lD反例：lC：l斜交垂直 l【說明】本題考查線線關(guān)系、線面關(guān)系、分類思想、任意性問題(06上海文)19、（本題滿分14）在直三棱柱中，. （1）求異面直線與所成的角的大?。籄CBB1C1A1說明：圖中現(xiàn)成的角ACB4519.解：(1) BCB1C1, ACB為異面直線B1C1與AC所成角(或它的補(bǔ)角) ABC=90, AB=BC=1, ACB=45, 異面直線B1C1與AC所成角為45. (福建文)（19）（本小題滿分12分）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（I）求證：平面BCD；（II）求異面直線AB與CD所成角的大?。唬↖II）求點(diǎn)E到平面ACD的距離?！菊f明】 1.過空間特殊點(diǎn)E引平行線得所求角 2.過異面直線中一條線引另一直線的平行線得所求角3.建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的知識(shí)解決?！菊f明】異面直線所成角1）圖中有現(xiàn)成角2）過其中一條直線上的點(diǎn)作另一條直線的平行線3）過不在已知直線上的特殊點(diǎn)分別引這兩條直線的平行線 4)向量法（19）本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。滿分12分。II）解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角在中，是直角斜邊AC上的中線，異面直線AB與CD所成角的大小為方法二：（II）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則異面直線AB與CD所成角的大小為(浙江文)（17）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD，且PAAD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).()求證：PBDM; ()(文)求BD與平面ADMN所成的角。(理) 求CD與平面ADMN所成的角分析：先證PB平面ADMN，則BDN為BD與平面ADMN所成角【說明】圖中有現(xiàn)成角分析：取AD中點(diǎn)E，BECD，則BEN為CD與平面ADMN所成角【說明】利用線線平行，轉(zhuǎn)化線面成角方法二:該圖形非常有利于建立空間直角坐標(biāo)系，17本題主要考查空間線線、線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力。滿分 14分。 解：方法一： （）(文)連結(jié)DN， 因?yàn)镻B平面ADMN，所以BDN是BD與平面ADMN所成的角. 在中, 故BD與平面ADMN所成的角是.方法二： 如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=1，則 （）因?yàn)?所以PBAD. 又PBDM. 因此的余角即是BD與平面ADMN.所成的角. 因?yàn)?所以= 因此BD與平面ADMN所成的角為. (理) （II）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，則，所以與平面所成的角和與平面所成的角相等.因?yàn)槠矫妫允桥c平面所成的角.在中，.故與平面所成的角是.方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.（II） 因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋云矫嬉虼说挠嘟羌词桥c平面所成的角.因?yàn)?，所以與平面所成的角為.【說明】直線與平面所成角1）圖中現(xiàn)成角2）利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化3）定義法4）向量法(湖北文)18、（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1，M是底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CN2C1N.（）求二面角B1AMN的平面角的余弦值；（）求點(diǎn)B1到平面AMN的距離?！菊f明】圖中有現(xiàn)成的二面角的平面角18本小題主要考查線面關(guān)系、二面角和點(diǎn)到平面距離的有關(guān)知識(shí)及空間想象能力和推理運(yùn)算能力?？疾閼?yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力。解法1：（）因?yàn)镸是底面BC邊上的中點(diǎn)，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，從而AMM, AMNM，所以MN為二面角，AMN的平面角。又M=,MN=,連N，得N，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角AMN的平面角的余弦值為。（）過在面內(nèi)作直線，為垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即為到平面AMN的距離。在中，HM。故點(diǎn)到平面AMN的距離為1。解法2：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（0，0，1），M（0，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，,。因?yàn)樗?同法可得。故為二面角AMN的平面角故所求二面角AMN的平面角的余弦值為。（）設(shè)n=(x,y,z)為平面AMN的一個(gè)法向量，則由得 故可取設(shè)與n的夾角為a，則。所以到平面AMN的距離為。（17）（本小題共14分）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).（）求證：；（）求證：平面；（）求二面角的大小.【說明】1.利用三垂線定理作二面角的平面角 2.利用二面角的和差求二面角解：（1）由平面可得PAAC又，所以AC平面PAB，所以（2）如圖，連BD交AC于點(diǎn)O，連EO，則EO是PDB的中位線，EOPBPB平面（3）如圖，取AD的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)O，則EF是PAD的中位線，EFPA又平面，EF平面同理FO是ADC的中位線，F(xiàn)OABFOAC由三垂線定理可知EOF是二面角EACD的平面角.又FOABPAEFEOF45而二面角與二面角EACD互補(bǔ)，故所求二面角的大小為135.（19）（本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分5分，第三小問滿分5分）在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如圖1）。將AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖2）（）求證：A1E平面BEP；（）求直線A1E與平面A1BP所成角的大?。粓D1圖2（）求二面角BA1PF的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）19(06年江蘇19分)本小題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間線面位置關(guān)系的證明、角和距離的計(jì)算等，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力。解法一：不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3在圖3中，過F作FM A1P與M，連結(jié)QM,QF,CP=CF=1, C=600,FCP是正三角形，PF=1.有PF=PQ,A1E平面BEP, A1E=A1Q, A1FPA1QP從而A1PF=A1PQ, 由及MP為公共邊知FMPQMP, QMP=FMP=90o,且MF=MQ,從而FMQ為二面角BA1PF的平面角. 在RtA1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又. MQA1P在FCQ中,FC=1,QC=2, C=600,由余弦定理得在FMQ中，二面角BA1PF的大小為【解后反思】在立體幾何學(xué)習(xí)中,我們要多培養(yǎng)空間想象能力, 對(duì)于圖形的翻折問題,關(guān)健是利用翻折前后的不變量,二面角的平面角的適當(dāng)選取是立體幾何的核心考點(diǎn)之一.是高考數(shù)學(xué)必考的知識(shí)點(diǎn)之一.作,證,解,是我們求二面角的三步驟.作:作出所要求的二面角,證:證明這是我們所求二面角,并將這個(gè)二面角進(jìn)行平面化,置于一個(gè)三角形中,最好是直角三角形,利用我們解三角形的知識(shí)求二面角的平面角.向量的運(yùn)用也為我們拓寬了解決立體幾何問題的角度,不過在向量運(yùn)用過程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托題目的圖形,坐標(biāo)才會(huì)容易求得.06浙江(理)17如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD,且PAAD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).變式1：求面PAB與面PCD所成角利用面積射影或轉(zhuǎn)化為有棱二面角變式2：E為AD中點(diǎn),求面PAB與面PCE所成角【說明】這是一個(gè)”無棱”的二面角,可用面積射影定理,亦可作出二面角的棱轉(zhuǎn)化為有棱的二面角QRLE點(diǎn)面距離06湖南(理)18如圖4,已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4. ()證明PQ平面ABCD; ()求異面直線AQ與PB所成的角;()求點(diǎn)P到平面QAD的距離.QPADCBQBCPADzyxO解法一：（）連結(jié)AC、BD，設(shè).由PABCD與QABCD都是正四棱錐，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD.從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，所以PQ平面ABCD. （II）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以由（I），平面，故可以分別以直線CA、DB、QP為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如上圖），由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，所以,于是從而異面直線AQ與PB所成的角是.()由（），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，0），設(shè)是平面QAD的一個(gè)法向量，由 得.取x=1，得.所以點(diǎn)P到平面QAD的距離.解法二：（）取AD的中點(diǎn)M，連結(jié)PM，QM.因?yàn)镻ABCD與QABCD都是正四棱錐，所以ADPM，ADQM. 從而AD平面PQM.又平面PQM，所以PQAD.同理PQAB，所以PQ平面ABCD.（）連結(jié)AC、BD設(shè)，由PQ平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P、A、Q、C四點(diǎn)共面.取OC的中點(diǎn)N，連結(jié)PNQBCPADOM因?yàn)?，所以，從而AQP.BP（或其補(bǔ)角）是異面直線AQ與PB所成的角.連接BN，因?yàn)樗詮亩惷嬷本€AQ與PB所成的角是()由（）知，AD平面PM，所以平面PM平面QAD. 過作于，則平面QAD，所以的長(zhǎng)為點(diǎn)P到平面QAD的距離連結(jié)OM，則.所以，又，于是.即點(diǎn)P到平面QAD的距離是.【說明】點(diǎn)面距離1)定義法2)等體積法3)距離的轉(zhuǎn)化 4)向量法球面距離（理科）浙江卷（9）如圖，O是半徑為l的球心，點(diǎn)A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，E、F分別是大圓弧AB與AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E、F在該球面上的球面距離是B(A) (B) (C) (D)【說明】球面距離EF球面距離EOFEF題設(shè)條件3.三種問題接切問題、截面問題、折疊問題，非主干知識(shí)，考查的頻率不高，但它們不會(huì)被遺忘1)接切問題往往需要根據(jù)圖形的對(duì)稱性，進(jìn)行空間想象，合情推理，畫出合理的截面圖例1 06全國(guó)()9已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是A16 B20 C24 D32 說明】幾個(gè)結(jié)論：1）正四棱柱的對(duì)角線是外接球的直徑2）正方體的對(duì)角線是外接球的直徑3）正方體的棱長(zhǎng)是內(nèi)切球的直徑4）若球與正方體的每條棱都相切，則正方體的面對(duì)角線是球的直徑例2 06江蘇9 兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個(gè)平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）無窮多個(gè)兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個(gè)平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）無窮多個(gè)【思路點(diǎn)撥】本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積【正確解答】由于兩個(gè)正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD中心，有對(duì)稱性知正四棱錐的高為正方體棱長(zhǎng)的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積，問題轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)為1的正方形的內(nèi)接正方形有多少種，所以選D. 2)截面問題難有定式可循，往往難度較大棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上, 若過該球球心的一個(gè)截面如圖1,則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 C A B C D 3)折疊與展開折疊與展開的關(guān)鍵是在折疊與展開的過程中各元素之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系是否變化折疊所得立體圖形中元素之間的位置關(guān)系，數(shù)量關(guān)系需要在平面圖形中尋找展開所得平面圖形中元素之間的位置關(guān)系，數(shù)量關(guān)系需要在立體圖形中尋找，展開體現(xiàn)了降維、化歸思想(06山東理12題)如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,DAB=60,E為AB的中點(diǎn)，將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P，則PDCE三棱錐的外接球的體積為C(A) (B) (C) (D) (06江西文)15如圖，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為8，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為10解：將正三棱柱沿側(cè)棱CC1展開，其側(cè)面展開圖如圖所示，由圖中路線可得結(jié)論。4.四點(diǎn)加強(qiáng)1)加強(qiáng)設(shè)問的開放性2)加強(qiáng)元素的不定性3)加強(qiáng)條件的隱蔽性4)加強(qiáng)知識(shí)的綜合性1)加強(qiáng)設(shè)問的開放性,就是改變以往”從條件到結(jié)論的直線思維模式”，增加過程的探索性06遼寧(理)18 (18) (本小題滿分12分)已知正方形.、分別是、的中點(diǎn),將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為.(I) 證明平面;(II)若為正三角形,試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值.AACBDEFBCDEF 2)加強(qiáng)元素形式的不定性,就是增加過程中元素的運(yùn)動(dòng)變化，其表現(xiàn)可以語(yǔ)言表達(dá)，也可引入?yún)?shù)，這就需要答題者尋求規(guī)律、抓住本質(zhì).06浙江14：正方體在平面上的射影面積06湖北18：引入?yún)?shù)，點(diǎn)P在CC1上運(yùn)動(dòng)06江西15：折疊，P在BC1上運(yùn)動(dòng)，求PCA1P的最小值還有題目中未出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)跡象，但需要我們用運(yùn)動(dòng)變化的思想去解決的