農(nóng)村初中生學習二次函數(shù)的困難及其教學策略.doc

農(nóng)村初中生學習二次函數(shù)的困難及其教學策略摘 要二次函數(shù)是中學數(shù)學的核心概念，是中考重點，更是初中生學習的難點.二次函數(shù)還是繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)后的又一個重要的具體函數(shù).學好二次函數(shù)，不僅可以解決許多與之相關(guān)的問題，而且還可以豐富函數(shù)的外延，深化學生對函數(shù)本身的理解.本研究通過對二次函數(shù)的學習困難及其出現(xiàn)原因的調(diào)查.對調(diào)查的結(jié)果進一步歸納得出：學生在二次函數(shù)時，存在著知識與技能性困難、過程與方法性困難和情感與態(tài)度性困難.在查閱相關(guān)文獻的基礎(chǔ)上，結(jié)合筆者在教學中的實際，提出了個人的教學策略，主要有：（1）二次函數(shù)的概念引入要源于學生的實際生活；（2）與一次函數(shù)、反比例函數(shù)進行聯(lián)系與對比，深化對二次函數(shù)與函數(shù)概念的認識；（3）培養(yǎng)學生的畫圖能力,讓學生學會用函數(shù)的圖像研究二次函數(shù)的性質(zhì)；（4）滲透數(shù)形結(jié)合思想,防止函數(shù)圖像在上、下平移和左、右平移混淆；（5）引導學生經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，逐漸的培養(yǎng)學生的應用意識；（6）循序漸進，對數(shù)學思想方法要做到平時滲透和專題講授相結(jié)合；（7）增強函數(shù)教學的“文化性”和“趣味性”，減小學生學習二次函數(shù)的畏難心理；（8）充分留給學生時間消化已學知識，突破二次函數(shù)學習的難點.最后，筆者設計了一個二次函數(shù)第一課時的教案，僅供讀者參考.關(guān)鍵詞：農(nóng)村初中生；二次函數(shù)；困難；教學策略；教案ABSTRACTThe quadratic function is a core concept in mathematics of senior high school ,and it is a key point in the entrance examination. It is also difficult for students to learn. The quadratic function is an important specific function after learning linear function and inverse function. To learn the quadratic function well can not only solve many problems related, but also can enrich the function, deepen students understanding of the function itself. The author is a teacher of mathematics , knowing the difficulties of the quadratic function for junior high school students. Through the investigation on the difficulties and its causes of the quadratic functions, the results show that there exist knowledge and skill, process and method difficulties as well as emotion and attitude.On the basis of literature review and the facts in the course of teaching, the author puts forward his suggestions about teaching: (1) to introduce the concept of the quadratic function from the real life of the students; (2) To be compared with the linear function and the inverse function, it can deepen the understanding of the quadratic function and the functions concept; (3) to cultivate the students ability to draw and make them study the quadratic function by its image; (4) to indoctrinate the thought of combination of number and image and prevent the confusion in the parallel movement of the image of functions; (5) to guide the students to experience the process of mathematical modeling and cultivate their consciousness of application gradually; (6) to master the mathematics method in combining penetration in daily life and lectures;(7) to make the teaching of functions more cultural and interesting and reduce the psychological fear of learning the quadratic function; (8) to leave sufficient time for students to digest knowledge and overcome difficulties on the quadratic function. Finally, the author designed a teaching plan of the quadratic function in the first class, just for reference . Due to the limited level , the author hopes the readers criticism.Key words: rural junior students; the quadratic function; difficulties; teaching suggestions; teaching planI目錄摘 要IABSTRACTII一、前言1（一）農(nóng)村學生實際的學習情況11.在教學中遇到的困難12.教學設備落后13.學生自身的問題14.數(shù)學教學的原因1（二）初中二次函數(shù)學習的重要意義11.初中二次函數(shù)在中學數(shù)學中的地位12.初中二次函數(shù)在中考中的地位2（三）本文研究的問題3（四）本文的框架3二、相關(guān)文獻5（一）國外相關(guān)文獻5（二）國內(nèi)相關(guān)文獻61.探討二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)62.關(guān)于二次函數(shù)應用的研究73.關(guān)于二次函數(shù)教學的研究7（三）現(xiàn)階段中過程操作學生學習函數(shù)的基本過程.8（四）初中二次函數(shù)的內(nèi)容與方法.8（五）初中二次函數(shù)的圖像與性質(zhì).81.二次函數(shù)的圖像和解析式中的系數(shù)的關(guān)系.82.二次函數(shù)的對稱性.二次函數(shù)的圖像具有對稱性.10三、本文的研究方法11（一）文獻法11（二）問卷調(diào)查法111.調(diào)查目的112.問卷的編寫113.調(diào)查對象114.問卷收集125.數(shù)據(jù)的處理12四、農(nóng)村初中生學習二次函數(shù)的困難調(diào)查及成因分析13（一）初中生學習二次函數(shù)的困難131.一次函數(shù)、反比例函數(shù)到二次函數(shù)概念理解的難度明顯增大.132.學生對每部分的學習都存在著不同程度的困難，特別是二次函數(shù)的應用時學生感到最困難的.133.學生在學習二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)時遇到了很大的困難.144.學生在二次函數(shù)的概念的學習中,其困難在于二次函數(shù)的頂點坐標和對稱軸的學習145.學生對于二次函數(shù)的應用的每一部分都存在著極大困難.156.學生學習在學習數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程和配方法時遇到了困難.15（二）初中生學習二次函數(shù)的困難原因簡析161.學生對概念學習困難的原因分析.162.學生對性質(zhì)和圖像學習困難的原因分析.173.學生對二次函數(shù)應用學習困難的原因分析.194.學生對二次函數(shù)思想方法學習困難的原因分析.20（三）對初中生學習二次函數(shù)困難的進一步歸納23五、教學策略25（一）二次函數(shù)的概念引入要源于學生的實際生活.251.教材內(nèi)容的編排.252.數(shù)學應用的需求.25（二）與一次函數(shù)、反比例函數(shù)進行聯(lián)系與對比，深化對二次函數(shù)與函數(shù)概念的認識.25（三）培養(yǎng)學生的畫圖能力,讓學生學會用函數(shù)的圖像研究二次函數(shù)的性質(zhì).26（四）滲透數(shù)形結(jié)合思想,防止函數(shù)圖像在上、下平移和左、右平移混淆.27（五）引導學生經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，逐漸的培養(yǎng)學生的應用意識.28（六）循序漸進，對數(shù)學思想方法要做到平時滲透和專題講授相結(jié)合.29（七）增強函數(shù)教學的“文化性”和“趣味性”，減小學生學習二次函數(shù)的畏難心理.29（八）充分留給學生時間消化已學知識，突破二次函數(shù)學習的難點.30六、關(guān)于初中二次函數(shù)的一個教案31（一）教學任務分析31（二）教學過程311.創(chuàng)設情境激發(fā)求知312.回顧舊知,探索共性314.運用新知,深化理解335.課堂小結(jié)346.拓展訓練34（三）評價與反思351.創(chuàng)設情境，激發(fā)學生求知欲352.溫故知新,緊扣本質(zhì)353.聯(lián)系實際,培養(yǎng)能力35參考文獻36附錄38致謝40一、前言本部分主要對農(nóng)村初中生學習的實際情況和二次函數(shù)的重要意義進行簡單地討論.（一）農(nóng)村學生實際的學習情況1.在教學中遇到的困難在教學中，由于農(nóng)村學生所在的班級班額大，學生水平參差不齊，教師要花一些精力去維持課堂秩序.往往采用講授的方式來教學，學生則是被動的接受，毫無興趣可言.而且教師也沒有精力去關(guān)注學習困難的學生，這樣越來越多的學生覺得數(shù)學難學.2.教學設備落后“工欲善其事必先利其器”.教學設備是教學的道具，好的教學設備可以增強教學的說服力，也可以激發(fā)學生的學習興趣.通過現(xiàn)代教育技術(shù)，可以把教學材料變成學生喜聞樂見的形式，讓學生體會學習數(shù)學的快樂.然而農(nóng)村中學由于缺乏這些設備，就很難感受到，數(shù)學的外部美.3.學生自身的問題學生是學習的主體.由于農(nóng)村學生來自不同的地區(qū)，小學教育也參差不齊.除了縣城的幾所小學外，其他的小學教育比較薄弱.而且，農(nóng)村學生留守兒童多，多由其他親屬照顧，因此性格更復雜，學習觀念比較差.這樣學生學習就困難很多.4.數(shù)學教學的原因盡管造成學生學習二次函數(shù)的困難因素很多，但是數(shù)學課堂教學是影響數(shù)學知識學習主要因素.教學本身也是解決學生學習困難的過程，因此教學效果的好壞直接影響著學生的數(shù)學學習.（二）初中二次函數(shù)學習的重要意義1.初中二次函數(shù)在中學數(shù)學中的地位初中“二次函數(shù)”的內(nèi)容是函數(shù)內(nèi)容的重要組成部分.初中階段是以“變量說”為基礎(chǔ)認識函數(shù)概念的，在此基礎(chǔ)上學習了一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)和二次函數(shù).二次函數(shù)是初中數(shù)學與高中數(shù)學的重要銜接點.二次函數(shù)作為一個具體的函數(shù)，具有非常豐富的性質(zhì).而且二次函數(shù)是初中生學習的重點也是難點.它是以后高中學習二次函數(shù)的基礎(chǔ)，同時也是學習數(shù)學思想方法的一個重要載體.通過學習二次函數(shù)，不僅可以學習到二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識，還能增強數(shù)學的思維方法，提高學生的解決實際問題的能力.2.初中二次函數(shù)在中考中的地位縱觀xx省幾個市區(qū)的數(shù)學中考試題，二次函數(shù)在其中占有極其重要的作用.在填空題、選擇題中主要考察二次函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，解答題主要二次函數(shù)基本知識和性質(zhì)的運用，綜合題中主要考察運用函數(shù)思想解決綜合問題的能力.下面是xx省五個地區(qū)的中考試題中二次函數(shù)的考題分布及分值統(tǒng)計表和xx市近三年數(shù)學中考試卷中二次函數(shù)的考題分值統(tǒng)計表.表1-12013年xx省五個地區(qū)的中考試題中二次函數(shù)題分值比重地區(qū)函數(shù)題的分值占總分值的百分比二次函數(shù)題的分值占函數(shù)題分值的百分比是否是壓軸題14127.3%2868.3%是24026.7%1640.0%否32818.7%1864.3%是42818.7%1864.3%是52218.3%1672.7%是表1-2近三年來xx市中考試題中二次函數(shù)的分值比重時間2011年2012年2013年函數(shù)題分值292828占總分的百分比19.3%18.7%18.7%二次函數(shù)題的分值151818占函數(shù)題分值的百分比51.7%64.3%64.3%是否是壓軸題是是是通過對上表1-1,1-2的統(tǒng)計分析得出以下結(jié)論：（1） 二次函數(shù)在中考中扮演非常重要角色，占到函數(shù)考察比重的一半以上.中考的壓軸題（即最后一題）通常是以二次函數(shù)內(nèi)容為基礎(chǔ)展開的，要求學生你能夠?qū)⒍魏瘮?shù)的知識、方法和思想與其他內(nèi)容進行綜合.這些綜合題就是要考察學生應用數(shù)學思想解決問題的能力.這個要求比較高，往往成為選拔學生進入重點高中學習的一道難關(guān).（2） 二次函數(shù)的學習要明確重點和難點，從學生的困惑出發(fā)，有的放矢的進行教學，這樣才更符合教學的規(guī)律.（三）本文研究的問題前面說到,二次函數(shù)的教學要以學生的學習困難為起點.那么學生在學習二次函數(shù)時到底有哪些困難?這些困難的原因又有哪些呢?認識這些困難后,怎樣改進二次函數(shù)的教學呢?這些都是本文要嘗試解決的問題.（四）本文的框架問題的提出相關(guān)文獻成因困難分析教學建議一個教案本論文分為六部分，第一部分是問題的提出；第二部分是論文的研究方法；第三部分是相關(guān)文獻；第四部分是初中生學習二次函數(shù)的困難及成因分析；第五部分是教學建議；第六部分是關(guān)于二次函數(shù)的一個教案.二、相關(guān)文獻本部分筆者查閱了相關(guān)的國內(nèi)外文獻，有函數(shù)概念的理解方面的，有二次函數(shù)學習理論和教學理論的，還查閱了義務教育階段的課程標準（2011版）中二次函數(shù)的教學要求.對近幾年各地的中考試題中的函數(shù)題目都進行了認真分析.同時，還對人教版數(shù)學教材中二次函數(shù)的內(nèi)容進行研讀.下面是對相關(guān)文獻的梳理.（一）國外相關(guān)文獻Thomas認為學生掌握概念可以分為三個階段：最低階段，把函數(shù)理解為指派的程序；第二階段，血神按照不同的背景識別函數(shù)，并能在這些背景之間進行轉(zhuǎn)換；最高階段，把函數(shù)看做一個有一定的性質(zhì)并且可對其施加運算的對象.Dreyfus and Vinner研究指出，學生學習函數(shù)的概念時表現(xiàn)出的困難主要有：（1）學生對于所了解的定義與他們解決問題時所實際使用的概念意象不一致；（2）用圖像形象地表示函數(shù)和圖像所表示的函數(shù)做出解釋時存在困難；（3）把函數(shù)看成是一個程序性法則進而將其看成一個數(shù)學對象時存在困難.他們還指出，學生對函數(shù)概念的理解是多種多樣的，他們認為函數(shù)概念的表象和定義之間總是存在矛盾；學生對函數(shù)概念的理解跟他們所學專業(yè)有關(guān)，除數(shù)學專業(yè)以外的各專業(yè)對函數(shù)定義的理解都是較膚淺、簡單，當然學生會隨著他們數(shù)學水平的提高而能給出正確定義的敘述.Dubinsky等人發(fā)展起了一種APOS理論，即學生學習數(shù)學概念要經(jīng)過操作（Action)、過程（Process）、對象（Object）、概型（Shceme）四個階段來進行心里建構(gòu).在了解學生函數(shù)學習方面的苦難中顯示,學生不能充分地理解函數(shù)概念.Clement調(diào)查得出：因為學生接觸過函數(shù)知識內(nèi)容比較少，其信息來遇難只有課本，所以他們對函數(shù)的理解就比較狹窄或者是包含了一些錯誤行的內(nèi)容.因此課堂上教師應該采取多種方法來幫助學生更好地理解函數(shù).師生之間可以通過更深層次地討論來幫助學生立即額函數(shù)的概念性質(zhì)；教師還可以通過多種方式來評價學生的思維方法，幫助學生更靈活的地理解函數(shù).Sfard等人認為，數(shù)學中，特別是代數(shù)中，許多概念既表現(xiàn)為一種過程操作，有表現(xiàn)為對象、結(jié)構(gòu).概念往往建有這樣的二重性.概念的過程和對象的認知顧過程,在過程階段,考慮的更多的是運算；而在對象階段，考慮更多的則是結(jié)構(gòu)；兩者的最終結(jié)果是在認知結(jié)構(gòu)中共存，在適當時機分別發(fā)揮作用.例如,學習函數(shù)概念,先是安表達式找若干個自變量的值去計算相應因變量的值,后來再把它看成為一個以定義域、值域、對應關(guān)系三要素構(gòu)成的對象；完成一個概念從運算性的過程過渡到結(jié)構(gòu)性的對象需要經(jīng)歷長期的過程，有時甚至是困難的，其間大致要有三個階段：過程的內(nèi)化、過程的壓縮、對象的實體化或?qū)ο蠡?在過程的內(nèi)化階段,學習者可以熟練地進行過程的運算,能夠脫離相對具體的情境,轉(zhuǎn)變或上升為心理上的操作,而不需要完全依賴具體的被操作對象和實際問題.這里的“內(nèi)化”與Piaget在發(fā)生認識論原理中所表達的意義是一樣的：如果一個過程能夠通過心理表象運算，那么這個過程就已經(jīng)內(nèi)化了.在過程壓縮階段,隨著過程的重復實施,學習者能夠?qū)⒁粋€長運算順序壓縮成易于操作的單元,這時單個的知識逐步降低了自身的地位,成為總體過程中的一個局部,從而將給定過程中的一個局部,從而將給定過程當做一個整體來考慮,使得內(nèi)化了的心理操作簡約和抽象.另外,在壓縮階段,由于比較和概括能力增強了，概念的不同表示之間的轉(zhuǎn)換會變得更容易.在實體化階段,由于有了壓縮的基礎(chǔ),概念達到結(jié)構(gòu)化、整體化，完全擺脫了過程的束縛和限制，使得過程變成易于把握本質(zhì)的實體對象.這時,學習者能夠?qū)⒁粋€數(shù)學概念看做帶有自身特點的完整的對象.Sfard還認為,過程的內(nèi)化和壓縮是逐步完成的,是量變,實體化經(jīng)常是一個突變,是質(zhì)變.作為對象的概念,它既要操作別的對象,又要被高層次的運算來操作.而且,一個該你那如果還未被高一級的過程運算,那么看不出對象化的必要性,就不能達到真正的對象化.（二）國內(nèi)相關(guān)文獻筆者查閱了國內(nèi)關(guān)于二次函數(shù)的文章，大致研究主要有以下幾個方面：1.探討二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)馬玉榮、趙擁軍、羅路等主要從二次函數(shù)的圖像；自變量、函數(shù)值的取值范圍；二次函數(shù)解析式的確定；二次函數(shù)的性質(zhì)4個方面去研究.袁梅、魏玉東、張家斌等銅鼓具體的例子詳細地闡述了二次函數(shù)圖像與一元二次方程之間的聯(lián)系.2.關(guān)于二次函數(shù)應用的研究陳雪峰總結(jié)了二次函數(shù)在高中階段的應用.以二次函數(shù)為例來進一步深入理解函數(shù)的概念；在學習二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖像的基礎(chǔ)上，給學生配以適當?shù)木毩?，使學生逐步自覺地利用圖像學習與二次函數(shù)有關(guān)的一些其它函數(shù)單調(diào)性；二次函數(shù)的知識可以準確反映學生的數(shù)學思維.陳雪峰還指出二次函數(shù)有豐富的內(nèi)涵和外延.作為最基本的冪函數(shù),可以以他為代表來研究海娜號蘇性質(zhì),可以建立函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學問題，考查學生的數(shù)學基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學生運用數(shù)學知識和思想方法解決數(shù)學問題的能力.3.關(guān)于二次函數(shù)教學的研究在有關(guān)二次函數(shù)教學的研究中，有的研究怎樣教才能提高學生學習興趣，如：岳文朗指出，在教學中，應該適當放慢進度，控制要求，使學生多嘗學習的甜頭，從而增強學習的信心和興趣.對立體要源于課本，由易到難，循序漸進.對立體的分析要詳細一點，要充分發(fā)動學生展開類比聯(lián)想，尋找優(yōu)秀解法，規(guī)范解題過程，要充分利用一題多解、多題一解的典型例習題來提高學生學習興趣.對題目的講解要運用“面中取點，點中求精，精中求活”的方法，對重要原理的講解，要多用具體、直觀的例子，引導學生呢個有具體像一般抽象過度.王萍、趙建勛、劉霞、阮偉強等，對二次函數(shù)的教學策略和注意點進行了研究.綜合這些觀點，主要有：打破思維定式，牢固樹立配方意識；突出“頂點作用”，化解閉區(qū)間上求最值的難點；把“二次函數(shù)”作為“模型”滲透到整個高中數(shù)學教學；從數(shù)學知識及數(shù)學思想方法的延續(xù)性和發(fā)展性入手，順其自然地組織教學，實現(xiàn)二次三項式、一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)這些代數(shù)知識融會貫通；重視轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、分類討論、待定系數(shù)法、配方法、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想和方法的滲透；注意知識的整體性和內(nèi)在聯(lián)系，指導學生總結(jié)和歸納二次函數(shù)知識，使知識系統(tǒng)化.吳志娟從學習心理學和數(shù)學方法論的角度分析了中學生的認知特點和數(shù)學思想方法如何在教學中進行滲透，打破慣常的教學設計，用平移來安排二次函數(shù)的圖像這段內(nèi)容，給了教案設計的一個思路；江映雪主要以二次函數(shù)為例，對函數(shù)概念、圖像和性質(zhì)、應用等進行了想詳細的研究，同時探討了函數(shù)探究教學的設計策略及教學策略，在此基礎(chǔ)上給出了一個二次函數(shù)的教學案例.姚明在其碩士論文中，現(xiàn)就課件制作的有關(guān)問題進行了探討，然后就義務教育階段數(shù)學教學中最重要的二次函數(shù)的課件進行了設計，并對和課件制作有關(guān)的若干問題進行了思考.（三）現(xiàn)階段中過程操作學生學習函數(shù)的基本過程.由于17世紀、18世紀工程技術(shù)和天體力學研究的需要，人們引入了變量.研究變量與變量的關(guān)系,就逐漸形成了函數(shù)的概念.在現(xiàn)階段的教材中,函數(shù)的學習大致分了三個階段:第一階段,在初中初步學習函數(shù)的概念及三個具體的函數(shù)(一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù))的概念、圖像和性質(zhì)，并運用相關(guān)知識解決實際問題；第二階段，在高中數(shù)學必修教材中學習以集合和對應為基礎(chǔ)的函數(shù)概念，并通過對一些基本的初等函數(shù)的學習，使學生對函數(shù)概念的理解更加豐富；第三階段，在高中數(shù)學選修教材中，主要內(nèi)容有極限、導數(shù)，它是函數(shù)內(nèi)容的深化和提高，是學生進一步邁入高等數(shù)學大門的階梯.（四）初中二次函數(shù)的內(nèi)容與方法.現(xiàn)階段初中人教版教材中把二次函數(shù)分為三個部分,分別是：1.二次函數(shù)及其圖像；2.用函數(shù)觀點看一元二次方程；實際問題與二次函數(shù).具體的內(nèi)容和知識點如下表2-1.（五）初中二次函數(shù)的圖像與性質(zhì).二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是初中生學習二次函數(shù)的重點,同時也是學習的難點.那么二次函數(shù)有哪些性質(zhì)呢?1.二次函數(shù)的圖像和解析式中的系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)的一般形式為,其中a,b,c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.二次函數(shù)的圖像具有對稱性,其對稱軸是平行于y軸的直線.它的開口方向與系數(shù)a有關(guān).當a0時，拋物線開口向上；a0時,對稱軸左側(cè)時,y隨x的增大而減小；對稱軸右側(cè)時，y