第六章方差分析

第六章 方差分析第二節(jié) 單因素方差分析1一、單因素條件下離差平方和的分解1二、因素作用顯著性的檢驗(yàn)2三、單因素方差分析中的幾個(gè)問題4第三節(jié) 雙因素方差分析5一、無交互作用下的方差分析5二、有交互作用的方差分析7第四節(jié) EXCEL在方差分析中的運(yùn)用11一、單因素方差分析11二、無交互作用下的雙因素方差分析11三、有交互作用的雙因素方差分析12本章小結(jié)14第二節(jié) 單因素方差分析一、單因素條件下離差平方和的分解單因素指的是因子唯一。為了檢驗(yàn)該因子的不同水平下的總體均值是否有顯著差異，我們可針對(duì)因子的不同水平進(jìn)行試驗(yàn)或抽樣；把因子處在不同水平上抽得的樣本看作是來自不同總體的樣本，然后檢驗(yàn)這些不同總體的均值是否相等。設(shè)下表是在因子A的不同水平下抽樣的結(jié)果：表62 樣本 因素水平12n合計(jì)均值合計(jì)表中的是在水平上，第j個(gè)樣本單位的數(shù)據(jù)。另外： （i=1，2，r）即是在因素水平上的平均數(shù)，是樣本總平均。 總離差平方和記為SST（Sum of Squares for Total），則： (6.4)它反映了樣本數(shù)據(jù)總的波動(dòng)程度。按前面的平方和分解思路，我們有： 以上式中，交叉項(xiàng)之和為零，即：進(jìn)一步記： (6.5) (6.6)SSA（Sum of Squares Among Groups）表示的是組間方差總和，是由各組均值差異引起的；SSE（Sum of Squares for Error）表示的是組內(nèi)方差部分，由隨機(jī)誤差產(chǎn)生。因此，我們得到離差平方和的分解式： SST=SSE+SSA （6.7）二、因素作用顯著性的檢驗(yàn)前面已指出，檢驗(yàn)因子作用的顯著性，實(shí)質(zhì)上就是檢驗(yàn)以下的假設(shè)： (6.8)。 (6.9)原假設(shè)是否為真，關(guān)鍵是看SSA與SSE兩者間的相對(duì)比較；在兩者比較時(shí)，我們要剔除引起各種方差的“獨(dú)立變量個(gè)數(shù)”自由度的影響。SST是由于的波動(dòng)引起的方差，但是，這里所有的nr個(gè)變量并不獨(dú)立，它們必須滿足的一個(gè)約束條件是：，真正獨(dú)立的變量只有nr-1個(gè)，自由度是nr-1。SSA是因子在不同水平上的均值變化而產(chǎn)生的方差。但是，r個(gè)均值并不是獨(dú)立的，它們必須滿足約束條件：，因此也丟失一個(gè)自由度，它的自由度是r-1。SSE是由所有的在各因素水平上的圍繞均值波動(dòng)產(chǎn)生，但是它們必須滿足的約束條件是：（i=1,2,，r），一共r個(gè)，失去了r個(gè)自由度，所以SSE的自由度是nr-r。SST、SSA和SSE的自由度滿足如下關(guān)系：nr-1=(r-1)+(nr-r) （6.10）將各方差除以各自的自由度，就得到相應(yīng)的均方差，即： ； （6.11）MSA與MSE分別是SSA與SSE的均方差。有了均方差，我們就可以構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)原假設(shè)（6.8）是否為真： （6.12）F值越大，越說明總的方差波動(dòng)中，組間方差是主要部分，有利于拒絕原假設(shè)接受備選假設(shè)；反之，F(xiàn)值越小，越說明隨機(jī)方差是主要的方差來源，有利于接受原假設(shè)，有充分證據(jù)說明待檢驗(yàn)的因素對(duì)總體波動(dòng)有顯著影響。因此，檢驗(yàn)的拒絕域安排在右側(cè)。對(duì)于給出的顯著性水平，查F分布表得臨界值，當(dāng)時(shí)，拒絕原假設(shè)，接受備選假設(shè)，認(rèn)為所檢驗(yàn)因素對(duì)總體有顯著影響；當(dāng)時(shí)，接受原假設(shè)，認(rèn)為沒有證據(jù)說明所檢驗(yàn)的因素對(duì)總體的顯著影響。如下圖所示： 接受域 拒絕域圖6-2 F檢驗(yàn)示意圖 現(xiàn)在，我們回頭去解決例6-1中提出的問題。通過Excel得到方差分析的計(jì)算結(jié)果如下表（參見本章第四節(jié)）： 表63 Excel輸出的方差分析表差異源SSdfMSFP-valueF crit組間4.13333322.0666670.4696970.6362153.88529組內(nèi)52.8124.4總計(jì)56.9333314由上表可得：SST=56.93，SSA=4.13，SSE=52.8，MSA=2.067，MSE=4.4，樣本的統(tǒng)計(jì)量F=2.067/4.4=0.4697 ， 分析表給出了臨界值是=3.885。(顯著性水平=0.05),F0.05，結(jié)論也是接受原假設(shè)。注意：這里的P-值是通過F統(tǒng)計(jì)量計(jì)算的。三、單因素方差分析中的幾個(gè)問題使用單因素方差分析時(shí)，應(yīng)注意的問題有： （一）方差分析需滿足的假設(shè)條件。方差分析實(shí)質(zhì)上是對(duì)各總體均值相等假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，為了得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的精確分布，要求滿足的前提條件是： （1）樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本； （2）各樣本皆來自正態(tài)總體；（3）總體方差具有齊性，即各總體方差相等。滿足以上的條件，（6.12）才滿足第一個(gè)自由度為r-1，第二個(gè)自由度為nr-r的F分布。一般情況下，我們總認(rèn)為以上的假定條件都是滿足的或近似滿足的。這一點(diǎn)對(duì)多因素分析也有效。（二）在前面的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，因素各水平下的樣本容量都相等，是為了公式推導(dǎo)的方便。在實(shí)際問題中，各總體的樣本容量可以相等也可以不等，分析過程和結(jié)論都不受影響。在用Excel進(jìn)行方差分析時(shí)，計(jì)算機(jī)也能自動(dòng)判斷各樣本的容量大小。（三）方差分析將所有樣本結(jié)合在一起，使數(shù)據(jù)數(shù)量增多，提高了分析結(jié)果的穩(wěn)定性（robustness）。但是，方差分析也存在自己的不足之處，比如：當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果是拒絕原假設(shè)時(shí)，我們認(rèn)為各總體的均值不等，至于哪個(gè)總體均值大，哪個(gè)總體均值小，方差分析本身不能立即得出結(jié)論。如果要得到各總體均值大小的排序信息，還需要借助“多重比較”法，限于篇幅，這里不作介紹，有興趣的讀者可參考其它資料。1 參見王明華現(xiàn)代應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析方法（中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1999），61-70頁(yè)。1第三節(jié) 雙因素方差分析一、無交互作用下的方差分析設(shè)A與B是可能對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有影響的兩個(gè)因素，相互獨(dú)立，無交互作用。設(shè)在雙因素各種水平的組合下進(jìn)行試驗(yàn)或抽樣，得數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下表： 表64因素B均值因素A均值表中每行的均值（i=1,2,r）是在因素A的各個(gè)水平上試驗(yàn)結(jié)果的平均數(shù)；每列的均值(j=1,2,n)是在因素B的各種水平上試驗(yàn)的平均數(shù)。以上數(shù)據(jù)的離差平方和分解形式為：SST=SSA+SSB+SSE （6.13）上式中： (6.14) (6.15) （6.16） (6.17)SSA表示的是因素A的組間方差總和，SSB是因素B的組間方差總和，都是各因素在不同水平下各自均值差異引起的；SSE仍是組內(nèi)方差部分，由隨機(jī)誤差產(chǎn)生。各個(gè)方差的自由度是：SST的自由度為nr-1，SSA的自由度為r-1，SSB的自由度為n-1，SSE的自由度為nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。各個(gè)方差對(duì)應(yīng)的均方差是：對(duì)因素A而言： （6.18）對(duì)因素B而言： （6.19）對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)而言： （6.20）我們得到檢驗(yàn)因素A與B影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)量分別是： （6.21） （6.22）【例6-2】某企業(yè)有三臺(tái)不同型號(hào)的設(shè)備，生產(chǎn)同一產(chǎn)品，現(xiàn)有五名工人輪流在此三臺(tái)設(shè)備上操作，記錄下他們的日產(chǎn)量如下表。試根據(jù)方差分析說明這三臺(tái)設(shè)備之間和五名工人之間對(duì)日產(chǎn)量的影響是否顯著？（=0.05）。 表65工人一工人二工人三工人四工人五設(shè)備A6472638178設(shè)備B7566617380設(shè)備C7867806971解：檢驗(yàn)的假設(shè)有二個(gè)，第一個(gè)假設(shè)是針對(duì)設(shè)備（設(shè)為A因素）的：三臺(tái)設(shè)備對(duì)日產(chǎn)量沒有顯著影響；：三臺(tái)設(shè)備對(duì)日產(chǎn)量有顯著影響。第二個(gè)假設(shè)是針對(duì)人員（設(shè)為B因素）的：工人技術(shù)對(duì)日產(chǎn)量沒有顯著影響；：工人技術(shù)對(duì)日產(chǎn)量有顯著影響。 將以上數(shù)據(jù)輸入Excel表格中，進(jìn)行“無重復(fù)雙因素分析”，Excel輸出的方差分析表如下：表66 Excel輸出的方差分析表差異源SSdfMSFP-valueF crit行(A因素)10.5333325.2666670.0923710.912734.458968列(B因素)161.0667440.266670.7062260.609693.837854誤差456.1333857.01667總計(jì)627.733314從上表可知：=0 .092 =4.46 ， 接受，沒有證據(jù)證明三臺(tái)設(shè)備對(duì)日產(chǎn)量有顯著影響；=0.706=3.84，也接受，也沒有證據(jù)證明五名工人的技術(shù)對(duì)日產(chǎn)量有顯著影響。二、有交互作用的方差分析為了研究?jī)蓚€(gè)因素是否獨(dú)立，有無交互作用，我們需要在各個(gè)因素水平組合下，進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)；因此，有交互作用時(shí)，方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)不同于無交互作用。設(shè)因素A與因素B每一對(duì)水平搭配下重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)都是m，得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如表67。表67因素B因素A表中的表示的是在因素水平組合（，）下第l次試驗(yàn)的結(jié)果。在此組合下試驗(yàn)結(jié)果的平均值為： （6.23）進(jìn)一步記： （6.24） （6.25） （6.26）則我們類似地有以下的離差平方和分解形式：SST=SSA+SSB+SSAB+SSE （6.27）式中： (6.28) (6.29) （6.30） （6.31） (6.32)與無交互作用的雙因素方差分解相比，這里多出了一項(xiàng)SSAB，它剛好反映了兩個(gè)因素交互作用的結(jié)果。離差平方和SST、SSA、SSB、SSAB和SSE的自由度分別是rnm-1、r-1、n-1、(r-1)(n-1)和rn(m-1)。我們得到如下的均方差： （6.33） （6.34） （6.35） （6.36） 則檢驗(yàn)因素A與B影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)量分別是： （6.37） （6.38） 檢驗(yàn)交互影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)量度是： （6.39）【例6-3】為了分析光照因素A與噪音因素B對(duì)工人生產(chǎn)有無影響，光照效應(yīng)與噪音效應(yīng)有交互作用，在此兩因素不同的水平組合下做試驗(yàn)，結(jié)果如表6-8（表中數(shù)據(jù)為產(chǎn)量）：表68因素B因素A151517191916161821171717151515192222151716181716181818182020151617171717解：檢驗(yàn)的假設(shè)有三個(gè)：光照因素A對(duì)產(chǎn)量沒有顯著影響；：光照因素A對(duì)產(chǎn)量有顯著影響。：噪音因素B對(duì)產(chǎn)量沒有顯著影響；：噪音因素B對(duì)產(chǎn)量有顯著影響。：光照效應(yīng)與噪音效應(yīng)沒有交互作用；：光照效應(yīng)與噪音效應(yīng)有交互作用。 將以上數(shù)據(jù)輸入Excel表格中，進(jìn)行“有重復(fù)雙因素分析”，Excel輸出的方差分析表如下：表69方差分析表差異源SSDfMSFP-valueF crit樣本(B因素)28.388889214.19449.462960.000933.40283列(A因素)2.083333330.694440.462960.710773.00879交互63.833333610.63897.092590.00022.50819內(nèi)部36241.5總計(jì)130.3055635從上表可知：=0.46296 =3.40283，拒絕，有充分證據(jù)說明噪音對(duì)產(chǎn)量有顯著影響；=7.09259=2.50819，拒絕，有充分證據(jù)說明光照與噪音存在交互作用并由此對(duì)產(chǎn)量產(chǎn)生顯著影響。第四節(jié) EXCEL在方差分析中的運(yùn)用一、單因素方差分析在Excel中，可以使用方差分析：?jiǎn)我蛩胤讲罘治龉ぞ邅硗瓿蓡我蛩胤讲罘治觥！纠?-4】本章例6-1的Excel統(tǒng)計(jì)分析步驟如下。1輸入數(shù)據(jù)。如圖6-3所示。圖6-32調(diào)出方差分析：?jiǎn)我蛩胤讲罘治鰧?duì)話框，其主要選項(xiàng)含義如下。輸入?yún)^(qū)域：在此輸入待分析數(shù)據(jù)區(qū)域的單元格引用。該引用必須由兩個(gè)或兩個(gè)以上按列或行組織的相鄰數(shù)據(jù)區(qū)域組成。本例為“$B$1:$D$6”。分組方式：如果需要指出輸入?yún)^(qū)域中的數(shù)據(jù)是按行還是按列排列，請(qǐng)單擊行或列。本例分組方式為“列”。標(biāo)志位于第一行/列：如果輸入?yún)^(qū)域的第一行中包含標(biāo)志項(xiàng)，請(qǐng)選中標(biāo)志位于第一行復(fù)選框；如果輸入?yún)^(qū)域的第一列中包含標(biāo)志項(xiàng)，請(qǐng)選中標(biāo)志位于第一列復(fù)選框；如果輸入?yún)^(qū)域沒有標(biāo)志項(xiàng)，則該復(fù)選框不會(huì)被選中，Excel將在輸出表中生成適宜的數(shù)據(jù)標(biāo)志。：在此輸入計(jì)算 F 統(tǒng)計(jì)臨界值的置信度。本例為0.05。本例對(duì)話框的填寫如圖6-3所示。圖中分組方式為“列”方式，因?yàn)槿曳值甑娜諣I(yíng)業(yè)額是按列排列的，即分別排在B、C、D列。3單擊確定按鈕，可得方差分析表（結(jié)果已在本章第二節(jié)的表63中給出）。二、無交互作用下的雙因素方差分析該項(xiàng)工作可利用方差分析：無重復(fù)雙因素方差分析工具來完成?！纠?-5】本章例6-2的Excel統(tǒng)計(jì)分析步驟如下。1輸入數(shù)據(jù)。如圖6-4所示。2調(diào)出方差分析：無重復(fù)雙因素分析對(duì)話框，填寫如圖6-4所示。該工具對(duì)話框設(shè)置與單因素方差分析類似。要注意，本例中標(biāo)志復(fù)選框被選中，輸入?yún)^(qū)域必須包括A因素與B因素的水平標(biāo)志（如“工人一”、“工人四”、“設(shè)備B”等）所在的單元格區(qū)域，也即輸入?yún)^(qū)域?yàn)椤?M$1:$R$4”，而不是只包括數(shù)據(jù)的單元格區(qū)域“$N$2:$R$4”。圖6-43單擊確定按鈕。得到方差分析表。（結(jié)果已在本章第三節(jié)表66中給出）。三、有交互作用的雙因素方差分析該項(xiàng)工作可以使用方差分析：可重復(fù)雙因素方差分析工具來完成?！纠?-6】本章例6-3的Excel統(tǒng)計(jì)分析步驟如下。1輸入數(shù)據(jù)，如圖6-5所示。其中，B2:B4單元格存放的是在“A1”與“B1”因素水平共同作用下，進(jìn)行3次試驗(yàn)所得的結(jié)果；D5:D7單元格存放的是在“A3”與“B2”因素水平共同作用下，進(jìn)行3次試驗(yàn)所得的結(jié)果，其余類推。圖6-52調(diào)出方差分析：可重復(fù)雙因素分析對(duì)話框，其填寫如圖6-6所示。該分析工具對(duì)話框與單因素方差分析對(duì)話框基本相同，只是多了一個(gè)每一樣本的行數(shù)編輯框，其中輸入包含在每個(gè)樣本中的行數(shù)。本例中，在每種不同因素水平組合下，分別進(jìn)行了3次試驗(yàn)，因此每一樣本的行數(shù)為“3