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最優(yōu)控制結(jié)課論文題目：基于最優(yōu)控制的倒立擺系統(tǒng)建模及仿真學(xué)院： 自動(dòng)化學(xué)院 專業(yè)： 控制科學(xué)與工程 姓名： 常 勇 學(xué)號(hào)： 133122332 教師： 陳 鵬 12013級(jí)自動(dòng)化學(xué)院研究生最優(yōu)控制結(jié)課論文摘 要作為一個(gè)典型的不穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)，倒立擺具有成本低，結(jié)構(gòu)簡單，便于用各種方法進(jìn)行控制的特點(diǎn)，因而倒立擺系統(tǒng)常被人們用來檢驗(yàn)各種控制方法的優(yōu)劣。倒立擺難點(diǎn)在控制，當(dāng)前關(guān)于控制的研究已經(jīng)很多。首先建立了控制對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用牛頓力學(xué)定律的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)模型的建立。牛頓力學(xué)定律法主要是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，通過其水平和豎直方向的受力情況列寫方程，經(jīng)過拉普拉斯變換計(jì)算出其狀態(tài)空間表達(dá)式，這一過程也可直接用MATLAB軟件編程得到。然后，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)控制的分析，并設(shè)計(jì)出最優(yōu)控制器。關(guān)鍵詞：倒立擺，數(shù)學(xué)模型，最優(yōu)控制AbstractAs a typical unstable nonlinear system, inverted pendulum system has the characteristics of low cost and simple structure. It can be controlled by many kinds of methods, so people use it to test the various control methods to know whether they are good or not. The difficulty of it is control. There are many research achievements about it now.This article firstly establishes the mathematical model of the controlled object. Then it uses application law of Newtonian mechanics to achieve the establishment of system model. The Law of Newtonian mechanics method is mainly on stress analysis of the system. Then it shows the equation by anglicizing the force in the direction of horizontal and vertical. Calculating its state space after Laplace transform, this process can also be directly programmed by MATLAB software. Secondly, analyzes the controllability and observability of system, and to the design of optimal controller.Keywords：Inverted pendulum, Mathematical model, Optimal control第一章 緒論1.1 倒立擺系統(tǒng)的研究意義倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進(jìn)行控制理論教學(xué)及開展各種控制實(shí)驗(yàn)的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許多典型問題：如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動(dòng)問題以及跟蹤問題等。通過對(duì)倒立擺的控制，用來檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。同時(shí)，其控制方法在軍工、航天、機(jī)器人和一般工業(yè)過程領(lǐng)域中都有著廣泛的用途，如機(jī)器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等。故其研究意義廣泛。MATLAB可以對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行仿真、建模和分析，它不但支持連續(xù)、線性系統(tǒng)仿真，而且也支持離散、非線性系統(tǒng)仿真。本課題的目的是運(yùn)用MATLAB來創(chuàng)建倒立擺模型，并進(jìn)行分析以達(dá)到實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制的目的。1.2 倒立擺系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀倒立擺的研究起始于20世紀(jì)50年代，由麻省理工學(xué)院 (Mrr) 的控制理論專家根據(jù)火箭發(fā)射助推器的原理設(shè)計(jì)出一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備，接著研究人員又參照雙足機(jī)器人的步行控制問題研制了二級(jí)倒立擺，后來又在二級(jí)倒立擺上繼續(xù)鉸接一級(jí)或二級(jí)擺，提出了對(duì)三級(jí)以及四級(jí)倒立擺的控制研究，迸一步提高了檢驗(yàn)控制理論或方法的能力，拓寬了控制理論和控制方法的檢驗(yàn)范圍。1966年 Schaefer 和 Cannon 應(yīng)用Bang-Bang控制理論，將一個(gè)曲軸穩(wěn)定于倒置位置。其后，倒立擺系統(tǒng)作為一個(gè)典型的不穩(wěn)定、嚴(yán)重非線性的系統(tǒng)實(shí)例，提出了倒立擺的概念理論，并用其檢驗(yàn)控制方法對(duì)不穩(wěn)定、非線性和快速性系統(tǒng)的控制能力，受到世界各國眾多科學(xué)家的重視。倒立擺系統(tǒng)以其自身的不穩(wěn)定性為系統(tǒng)的平衡提出了難題，也因此成為自動(dòng)控制理論實(shí)驗(yàn)中驗(yàn)證控制算法優(yōu)劣及好壞的實(shí)驗(yàn)裝置。在多種控制理論與方法的研究和應(yīng)用中，特別是工程實(shí)踐中，也存在一種可行性的試驗(yàn)問題，倒立擺可為此提供一個(gè)控制理論通往實(shí)踐的橋梁。1.3 倒立擺系統(tǒng)的控制1.3.1倒立擺系統(tǒng)的控制目標(biāo)倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快地達(dá)到一個(gè)平衡位置，并且使之沒有大的振蕩和過大的角度和速度。當(dāng)擺桿到達(dá)期望的位置后，系統(tǒng)能克服隨機(jī)擾動(dòng)而保持穩(wěn)定的位置。1.3.2倒立擺系統(tǒng)的控制特點(diǎn)如圖1.1所示，為直線一級(jí)小車倒立擺的系統(tǒng)模型，單擺擺桿的一端通過鉸鏈與小車連接，另外一端可以在小車運(yùn)動(dòng)平面上自由運(yùn)動(dòng)。一般而言，對(duì)倒立擺的控制目的就是通過控制力F的作用下，使小車左右運(yùn)動(dòng)，從而帶動(dòng)單擺的擺動(dòng)，將單擺控制在倒立點(diǎn)附近。在這種小車單擺系統(tǒng)中，擺桿的平衡位置有兩個(gè)，一個(gè)是自然下垂位置，另外一個(gè)就是豎直向上倒立的位置。單擺的倒立點(diǎn)是其重力勢(shì)能最大的點(diǎn)，而系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勢(shì)能為極小值。因而倒立點(diǎn)是一個(gè)不穩(wěn)定的平衡位置，擺桿一旦偏離倒立點(diǎn)，即使是很小的角度，也會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)失去平衡。圖1.1Fig. 1.11.3.3 倒立擺系統(tǒng)的控制方法倒立擺系統(tǒng)的輸入為小車的位移（即位置）和擺桿的傾斜角度期望值，計(jì)算機(jī)在每一個(gè)采樣周期中采集來自傳感器的小車與擺桿的實(shí)際位置信號(hào)，與期望值進(jìn)行比較后，通過控制算法得到控制量，再經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換驅(qū)動(dòng)直流電機(jī)實(shí)現(xiàn)倒立擺的實(shí)時(shí)控制。直流電機(jī)通過皮帶帶動(dòng)小車在固定的軌道上運(yùn)動(dòng)，擺桿的一端安裝在小車上，能以此點(diǎn)為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由地?cái)[動(dòng)。作用力F平行于鐵軌的方向作用于小車，使桿繞小車上的軸在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，小車沿著水平鐵軌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)沒有作用力時(shí)，擺桿處于垂直的穩(wěn)定的平衡位置（豎直向下）。為了使桿子擺動(dòng)或者達(dá)到豎直向上的穩(wěn)定，需要給小車一個(gè)控制力，使其在軌道上被往前或朝后拉動(dòng)。第二章 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的模型建立方法2.1 牛頓力學(xué)法倒立擺的建模是我本科畢設(shè)中的一項(xiàng)，而牛頓力學(xué)法又是眾建模方法的典型代表，故以牛頓力學(xué)法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模型的建立。1、變量設(shè)定及參數(shù)測量考慮到在數(shù)學(xué)建模的推導(dǎo)和處理問題的方便性，現(xiàn)作出如下假設(shè)：（1）小車在運(yùn)動(dòng)過程中，摩擦系數(shù)一定；（2）忽略空氣阻力；（3）擺桿在運(yùn)動(dòng)中是不變形的剛體；（4）齒型帶與輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，齒型帶無拉長現(xiàn)象；基于以上幾點(diǎn)，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)(圖2.1)，并將倒立擺的數(shù)學(xué)模型分解為小車的受力分析模型（圖2.2）和擺桿的受力分析模型（圖2.3）。圖2.1Fig. 2.1 圖2.2 圖2.3 Fig. 2.2 Fig. 2.3圖2.1和圖2.2中，本實(shí)驗(yàn)中定義如下變量：N 小車與擺桿相互作用力的水平方向分量P 小車與擺桿相互作用力的垂直方向分量x 小車位置F 加在小車上的力 M 小車質(zhì)量 （0.5 Kg）m 擺桿質(zhì)量 （0.2 Kg）b 小車摩擦系數(shù) （0.1 N/m/sec）l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度（0.3 m）I 擺桿慣量 （0.006 kg*m*m） 擺桿與垂直向上方向的夾角 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖，圖示方向?yàn)槭噶空较颉?、基于牛頓力學(xué)的系統(tǒng)建模應(yīng)用牛頓力學(xué)方法來建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程過程如下：分別對(duì)小車和擺桿進(jìn)行水平和豎直的受力分析：分析小車水平方向所受的合力，可以得到如下方程： （2.1）分析擺桿水平方向所受的合力，可以得到如下方程： 即 （2.2）把這個(gè)等式代入小車水平方向受力方程中（即式2代入式1中），就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： （2.3）為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行受力分析，可以得到如下方程：即 （2.4）由力矩平衡方程得如下方程： （2.5）注意：此方程中力矩的方向，由于 ，故等式前面應(yīng)有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程(式4和式5)，約去和，可得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： (2.6)假設(shè)（其中是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與單位是弧度1相比很小，即，則可以進(jìn)行近似處理：，。用來代表被控對(duì)象的輸入力，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： （2.7）對(duì)方程組2.7進(jìn)行拉普拉斯變換，得到： （2.8）假設(shè)初始條件為0時(shí)，則有：擺桿角度和小車位移之間的傳遞函數(shù)為： （2.9）將擺桿質(zhì)量m=0.2 Kg, 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度l=0.3 m, 擺桿慣量I=0.006 kg*m*m，重力加速度g=9.8 N/Kg代入式2.9得： （2.10） 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： （2.11）將擺桿質(zhì)量m=0.2 Kg, 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度l=0.3 m, 擺桿慣量I=0.006 kg*m*m，重力加速度g=9.8 N/Kg代入式2.11得： （2.12）擺桿角度和小車所受外界作用力之間的傳遞函數(shù)： （2.13）又有 （2.14）將擺桿質(zhì)量m=0.2 Kg, 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度l=0.3 m, 擺桿慣量I=0.006 kg*m*m，小車質(zhì)量M=0.5 Kg代入2.14得：q=0.0132。將擺桿質(zhì)量m=0.2 Kg, 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度l=0.3 m, 擺桿慣量I=0.006 kg*m*m，小車質(zhì)量M=0.5 Kg，重力加速度g=9.8 N/Kg，小車摩擦系數(shù)b=0.1 N/m/sec代入式2.13得： (2.15)由式2.7可得到以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為： （2.16）將擺桿質(zhì)量m=0.2 Kg, 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度l=0.3 m, 擺桿慣量I=0.006 kg*m*m，小車質(zhì)量M=0.5 Kg，重力加速度g=9.8 N/Kg，小車摩擦系數(shù)b=0.1 N/m/sec代入式2.16得： （2.17）由式2.7第一個(gè)式子可以得到以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式： （2.18）其中為小車加速度。將擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度l=0.3 m，重力加速度g=9.8 N/Kg，代入式2.18得： （2.19）3、系統(tǒng)能控性和能觀性的分析（1）條件闡述然后，對(duì)系統(tǒng)的能控性和能觀性進(jìn)行分析判斷：對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)： 系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件為： 的秩為n系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀的條件為： 的秩為n應(yīng)用以上原理對(duì)輸入為加速度、輸出為擺桿與豎直方向的角度的夾角時(shí)的系統(tǒng)進(jìn)行可控性和可觀性的分析：狀態(tài)空間表達(dá)式參數(shù)A、B、C、D分別為： （2）可控性分析： 代入Sc 秩為4等于n，所以系統(tǒng)完全可控。（3）可觀性分析： 代入So秩為4等于n，所以系統(tǒng)完全可觀。研究表明：倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的能控能觀系統(tǒng)，可加外控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定。第三章 最優(yōu)控制方案及控制器設(shè)計(jì)如果系統(tǒng)是線性的，性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)，這樣的最優(yōu)控制稱之為線性二次型最優(yōu)控制。該方法針對(duì)狀態(tài)方程通過確定最佳控制量的矩陣K，使得控制性能指標(biāo) 達(dá)到極小。式中x是狀態(tài)向量，u是控制向量，Q是正定或半正定矩陣，R是正定矩陣，Q和R分別表示了誤差和能量損耗的相對(duì)重要性。針對(duì)倒立擺系統(tǒng)的平衡問題，可引入全狀態(tài)反饋，如圖2.4所示，找出滿足系統(tǒng)性能要求的反饋增益矩陣K，使在其作用下將系統(tǒng)由初始狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到零平衡狀態(tài)。圖2.4 圖2.5Fig. 2.4 Fig. 2.5圖中R是加在小車上的階躍輸入。這里四維對(duì)角矩陣Q中的各個(gè)元素(q11, q22, q33, q44)分別代表小車位移和速度、擺角和擺速的誤差指標(biāo)的相對(duì)重要性。取R=1，Q取半正定矩陣(q22=0,q44=0),只需整定Q的兩個(gè)元素q11和q33，分析系統(tǒng)閉環(huán)輸出響應(yīng)曲線，就能尋求最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)的反饋增益矩陣K。當(dāng)q11=5000，q33=100時(shí)，系統(tǒng)的輸出曲線如圖2.5所示，顯然響應(yīng)曲線已經(jīng)非常理想，此時(shí)K=-70.7107 -40.6531 125.7702 24.3770就是所設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制器的增益。第四章、總結(jié)與展望本文完成了對(duì)一級(jí)倒立擺的建模及應(yīng)用Matlab的仿真控制，并對(duì)小車倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制方案設(shè)計(jì)做了簡單的研究，通過引入牛頓定律等概念建立小車單擺系統(tǒng)的系統(tǒng)模型，并通過自動(dòng)控制理論的方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了簡單的分析，設(shè)計(jì)了最優(yōu)控制器，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的最優(yōu)控制。參考文獻(xiàn)1郭釗俠 倒立擺系統(tǒng)及其智能控制研究 東華大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，29(2)：122-1252徐國林,楊世勇 單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的仿真研究 四川大學(xué)學(xué)報(bào)，2007.05：38-40 3陳在平，杜太行 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真與CADM