理論力學(xué)-拉格朗日方程PPT

1 動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 2 經(jīng)典動(dòng)力學(xué)的兩個(gè)發(fā)展方面 拓寬研究領(lǐng)域 矢量動(dòng)力學(xué)又稱為牛頓 歐拉動(dòng)力學(xué) 牛頓運(yùn)動(dòng)定律由單個(gè)自由質(zhì)點(diǎn) 受約束質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系 以達(dá)朗貝爾原理為基礎(chǔ) 歐拉將牛頓運(yùn)動(dòng)定律 剛體和理想流體 尋求新的表達(dá)形式 將虛位移原理和達(dá)朗貝爾原理綜合應(yīng)用于動(dòng)力學(xué) 建立分析力學(xué)的新體系 拉格朗日力學(xué) 3 考察由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的 具有理想約束的系統(tǒng) 根據(jù)達(dá)朗貝爾原理 有 令系統(tǒng)有任意一組虛位移 系統(tǒng)的總虛功為 18 1動(dòng)力學(xué)普遍方程 4 系統(tǒng)的總虛功為 利用理想約束條件 得到 動(dòng)力學(xué)普遍方程 任意瞬時(shí)作用于具有理想 雙面約束的系統(tǒng)上的主動(dòng)力與慣性力在系統(tǒng)的任意虛位移上的元功之和等于零 5 動(dòng)力學(xué)普遍方程的直角坐標(biāo)形式 動(dòng)力學(xué)普遍方程適用于具有理想約束或雙面約束的系統(tǒng) 動(dòng)力學(xué)普遍方程既適用于具有定常約束的系統(tǒng) 也適用于具有非定常約束的系統(tǒng) 動(dòng)力學(xué)普遍方程既適用于具有完整約束的系統(tǒng) 也適用于具有非完整約束的系統(tǒng) 動(dòng)力學(xué)普遍方程既適用于具有有勢力的系統(tǒng) 也適用于具有無勢力的系統(tǒng) 6 動(dòng)力學(xué)普遍方程主要應(yīng)用于求解動(dòng)力學(xué)第二類問題 即 已知主動(dòng)力求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí) 重要的是正確分析運(yùn)動(dòng) 并在系統(tǒng)上施加慣性力 由于動(dòng)力學(xué)普遍方程中不包含約束力 因此 不需要解除約束 也不需要將系統(tǒng)拆開 應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程 需要正確分析主動(dòng)力和慣性力作用點(diǎn)的虛位移 并正確計(jì)算相應(yīng)的虛功 動(dòng)力學(xué)普遍方程的應(yīng)用 7 解 1 分析運(yùn)動(dòng) 施加慣性力 2 本系統(tǒng)有一個(gè)自由度 令其有一虛位移 x 3 應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程 其中 8 例題2 離心調(diào)速器 已知 m1 球A B的質(zhì)量 m2 重錘C的質(zhì)量 l 桿件的長度 O1y1軸的旋轉(zhuǎn)角速度 求 的關(guān)系 解 不考慮摩擦力 這一系統(tǒng)的約束為理想約束 系統(tǒng)具有一個(gè)自由度 取廣義坐標(biāo)q 1 分析運(yùn)動(dòng) 確定慣性力 球A B繞y軸等速轉(zhuǎn)動(dòng) 重錘靜止不動(dòng) 球A B的慣性力為 9 2 令系統(tǒng)有一虛位移 A B C三處的虛位移分別為 rA rB rC 3 應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程 根據(jù)幾何關(guān)系 有 10 3 應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程 11 求 1 三棱柱后退的加速度a1 2 圓輪質(zhì)心C2相對(duì)于三棱柱加速度ar 解 1 分析運(yùn)動(dòng) 三棱柱作平動(dòng) 加速度為a1 圓輪作平面運(yùn)動(dòng) 質(zhì)心的牽連加速度為ae a1 質(zhì)心的相對(duì)加速度為ar 圓輪的角加速度為 2 12 解 2 施加慣性力 解 3 確定虛位移 考察三棱柱和圓盤組成的系統(tǒng) 系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度 第一組 第二組 二自由度系統(tǒng)具有兩組虛位移 13 解 4 應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程 令 14 解 4 應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程 令 15 解 5 求解聯(lián)立方程 16 18 2拉格朗日 Lagrange 方程 主動(dòng)力 虛位移 廣義坐標(biāo) 第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位矢 由動(dòng)力學(xué)普遍方程 得 Qk 廣義力 17 18 19 對(duì)任意一個(gè)廣義坐標(biāo)qj求偏導(dǎo)數(shù) 如果將位矢對(duì)任意一個(gè)廣義坐標(biāo)qj求偏導(dǎo)數(shù) 再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù) 則得到 第二個(gè)拉格朗日關(guān)系式 20 21 此即拉格朗日方程 或稱為第二類拉格朗日方程 如果作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力都是有勢力 根據(jù)有勢力的廣義主動(dòng)力 22 引入拉格朗日函數(shù) L T V 得到主動(dòng)力為有勢力的拉格朗日方程 23 對(duì)于只具有完整約束 自由度為N的系統(tǒng) 可以得到由N個(gè)拉格朗日方程組成的方程組 應(yīng)用拉格朗日方程 一般應(yīng)遵循以下步驟 首先 要判斷約束性質(zhì)是否完整 主動(dòng)力是否有勢 決定采用哪一種形式的拉格朗日方程 其次 要確定系統(tǒng)的自由度 選擇合適的廣義坐標(biāo) 按照所選擇的廣義坐標(biāo) 寫出系統(tǒng)的動(dòng)能 勢能或廣義力 將動(dòng)能或拉格朗日函數(shù) 廣義力代入拉格朗日方程 拉格朗日方程的應(yīng)用 24 解 1 系統(tǒng)具有一個(gè)自由度 取 為其廣義坐標(biāo) 2 計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能 其中 25 3 計(jì)算廣義力 4 應(yīng)用拉格朗日方程 26 解 1 系統(tǒng)具有二個(gè)自由度 取x 為其廣義坐標(biāo) 2 計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能 其中 3 計(jì)算廣義力 1 令 2 令 27 4 應(yīng)用拉格朗日方程 解得 28 例題6 質(zhì)量為m 長度為l的均質(zhì)桿AB可以繞A端的鉸鏈在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng) A端的小圓輪與剛度系數(shù)為k的彈簧相連 并可在滑槽內(nèi)上下滑動(dòng) 彈簧的原長為l0 求 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 k 解 1 系統(tǒng)的約束為完整約束 主動(dòng)力為有勢力 2 系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度 廣義坐標(biāo)選擇為q x x坐標(biāo)的原點(diǎn)取在彈簧原長的下方 29 解 3 計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能 不計(jì)彈簧的質(zhì)量 系統(tǒng)的動(dòng)能即為AB桿的動(dòng)能 速度vC的確定 系統(tǒng)的勢能由彈簧勢能與重力勢能所組成 以O(shè)點(diǎn)為共同的勢能零點(diǎn) 30 拉格朗日函數(shù) 4 應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 31 32 33 解 1 系統(tǒng)的約束為完整約束 主動(dòng)力為有勢力 2 系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度 廣義坐標(biāo)選擇為q x x坐標(biāo)的原點(diǎn)取在彈簧原長處 34 3 計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能 速度vC的確定 系統(tǒng)的勢能由彈簧勢能與重力勢能所組成 35 拉格朗日函數(shù) 4 應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 36 37 38 解 1 系統(tǒng)的約束為完整約束 主動(dòng)力為有勢力 2 系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度 廣義坐標(biāo)選擇為q 39 3 計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能 由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知 建立隨質(zhì)心O1平動(dòng)的坐標(biāo)系O1x1y1 40 3 計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能 系統(tǒng)的勢能 41 拉格朗日函數(shù) 4 應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 42 43 44 18 3拉格朗日 Lagrange 方程的初積分 1 循環(huán)積分 廣義動(dòng)量守恒 2 能量積分 廣義能量守恒 當(dāng)L函數(shù)不顯含某一廣義坐標(biāo)qj時(shí) qj 稱為循環(huán)坐標(biāo) 此時(shí) 有循環(huán)積分 系統(tǒng)主動(dòng)力有勢 L函數(shù)不顯含時(shí)間t 約束是定常的 即有機(jī)構(gòu)能守恒 45 由能量積分得 因L函數(shù)不顯含 故 為循環(huán)坐標(biāo) 系統(tǒng)存在循環(huán)積分 46 47 結(jié)論與討論 達(dá)朗貝爾原理 虛位移原理與拉格朗日方程 48 達(dá)朗貝爾原理在形式上將質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題化為靜力學(xué)平衡問題 虛位移原理給出了質(zhì)點(diǎn)系平衡的充分與必要條件 通過達(dá)朗貝爾原理可以將虛位移原理推廣應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題 得到達(dá)朗貝爾 拉格朗日方程 即第一類拉格朗日方程 又稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程 用于求解具有理想約束的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)第二類問題 即已知主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng) 結(jié)論與討論 49 第一類拉格朗日方程 即達(dá)朗貝爾 拉格朗日方程 又稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程 達(dá)朗貝爾 拉格朗日方程適用于具有理想約束或雙面約束的系統(tǒng) 達(dá)朗貝爾 拉格朗日方程既適用于具有定常約束的系統(tǒng) 也適用于具有非定常約束的系統(tǒng) 達(dá)朗貝爾 拉格朗日方程既適用于具有完整約束的系統(tǒng) 也適用于具有非完整約束的系統(tǒng) 達(dá)朗貝爾 拉格朗日方程既適用于具有有勢力的系統(tǒng) 也適用于具有無勢