雅安市2015-2016學(xué)年高二下期末數(shù)學(xué)試卷(文)含答案解析

第 1 頁（共 17 頁） 2015年四川省雅安市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1設(shè)集合 S=x|x 3， T=x| 6 x 1，則 S T=（ ） A 6， +） B（ 3， +） C 6， 1 D（ 3， 1 2設(shè) i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3命題 “ x R，總有 0”的否定是（ ） A “ xR，總有 0” B “ x R，總有 0” C “ x R，使得 0” D “ x R，使得 0” 4 “ “”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 5已知函數(shù) 則 的值是（ ） A 10 B C 2 D 5 6閱讀程序框圖，若使輸出的結(jié)果不大于 11，則輸入的整數(shù) i 的最大值為（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 7已知函數(shù) y=2x+ ） 函數(shù)的最小正周期 T 和它的圖象的一條對稱軸方程是（ ） A T=2，一條對稱軸方程為 x= B T=2，一條對稱軸方程為 x= C T=，一條對稱軸方程為 x= 第 2 頁（共 17 頁） D T=，一條對稱軸方程為 x= 8為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū) 5 戶家庭，得到如表統(tǒng)計數(shù)據(jù)表： 收入 x（萬元） 出 y（萬元） 據(jù)上表可得回歸直線方程 = x+ ，其中 = = ，據(jù)此估計，該社區(qū)一戶收入為 15 萬元家庭年支出為（ ）萬元 A 已知函數(shù) f（ x）的部分圖象如圖所示，則 f（ x）的解析式可能為（ ） A f（ x） =2 ） B f（ x） = 4x+ ） C f（ x） =2 ）D f（ x） =24x+ ） 10設(shè)復(fù)數(shù) z=（ x 1） +（ y ） i，（ x， y R），若 |z| 2，則 y x 的概率為（ ） A B C D 11函數(shù) f（ x） =（ x ） x 且 x 0）的圖象可能為（ ） A B C D 12已知定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足 f（ 1） =1，且 f（ x）的導(dǎo)數(shù) f（ x）在 R 上恒有 f（ x） ，則不等式 f（ x） x+ 的解集為（ ） A（ 1， +） B（ ， 1） C（ 1， 1） D（ ， 1） （ 1， +） 二、填空題 :本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。請將答案填在答題卷相應(yīng)位置 13計算 = 14某電子商務(wù)公司對 1000 名網(wǎng)絡(luò)購物者 2015 年度的消費情況進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間 ，其頻率分布直方圖如圖所示在這些購物者中，消費金額在區(qū)間 的購物者的人數(shù)為 第 3 頁（共 17 頁） 15函數(shù) y=其極值點處的切線方程為 16將邊長為 1m 的正三角形薄鐵片，沿一 條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記 s= ，則 s 的最小值是 三、解答題：本大題共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17（ 1）求 ）的值； （ 2）化簡： 18命題 p：關(guān)于 x 的不等式 0 對 x R 恒成立；命題 q：函數(shù) f（ x） =（ 5 2a） x 是減函數(shù)，若 p q 為真， p q 為 假，求實數(shù) a 的取值范圍 19已知函數(shù) f（ x） =x+ ）（ 0）的最小正周期為 （ 1）求 的值； （ 2）求函數(shù) f（ x）在區(qū)間 0， 上的取值范圍 20已知函數(shù) f（ x） =1 x） +x+3）（ 0 a 1） （ 1）求函數(shù) f（ x）的定義域； （ 2）求函數(shù) f（ x）的零點； （ 3）若函數(shù) f（ x）的最小值為 4，求 a 的值 21已知函數(shù) f（ x） = x，其中（ a R） （ 1）若 a=2，求曲線 y=f（ x）在點（ 1， f（ 1）處的切線方程； （ 2）若函數(shù) y=f（ x）有兩個極值點 求實數(shù) a 的取值范圍； 證明 f（ 0 22 “開門大吉 ”是某電視臺推出的游戲節(jié)目選手面對 1 8 號 8 扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這首歌的名字， 方可獲得該扇門對應(yīng)的家庭夢想基金在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手多數(shù)分為兩個年齡段： 20 30； 30 40（單位：歲），其猜對歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示 （ 1）寫出 2 2 列聯(lián)表；判斷是否有 90%的把握認(rèn)為猜對歌曲名稱是否與年齡有關(guān)；說明你的理由；（下面的臨界值表供參考） 正誤 年齡 正確 錯誤 合計 20 30 第 4 頁（共 17 頁） 30 40 合計 P（ 2）現(xiàn)計劃在這次場外調(diào)查中按 年齡段用分層抽樣的方法選取 6 名選手，并抽取 2 名幸運選手，求 2 名幸運選手中在 20 30 歲之間的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望 （參考公式： ，其中 n=a+b+c+d 為樣本容量） 第 5 頁（共 17 頁） 2015年四川省雅安市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1設(shè)集合 S=x|x 3， T=x| 6 x 1，則 S T=（ ） A 6， +） B（ 3， +） C 6， 1 D（ 3， 1 【考點】 并集及其運算 【分析】 根據(jù)并集的定義計算即可 【解答】 解： 集合 S=x|x 3， T=x| 6 x 1， S T= 6， +）， 故選： A 2設(shè) i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析 】 直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù) ，求出復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)，則答案可求 【解答】 解：由 = ， 則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為：（ 1， 1），位于第一象限 故選： A 3命題 “ x R，總有 0”的否 定是（ ） A “ xR，總有 0” B “ x R，總有 0” C “ x R，使得 0” D “ x R，使得 0” 【考點】 命題的否定 【分析】 直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可 【解答】 解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題 “ x R，總有 0”的否定為： x R， 0 故選： C 4 “ “”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 由 可判斷出 第 6 頁（共 17 頁） 【解答】 解：由 “ “”的充分不必要條件 故選： A 5已知函數(shù) 則 的值是（ ） A 10 B C 2 D 5 【考點】 函數(shù)的值 【分析】 本題求分段函 數(shù)的函數(shù)值，要弄清自變量是屬于哪個范圍，從而代入其相應(yīng)的解析式 【解答】 解： 0， ， 又 2 0， f（ 2） = 即 故選 B 6閱讀程序框圖，若使輸出的結(jié)果不大于 11，則輸入的整數(shù) i 的最大值為（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考點】 程序框圖 【分析】 按照程序框圖的流程寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，據(jù)題目對輸出 s 的要求，求出 n 的最大值，據(jù)判斷框中 n 與 i 的關(guān)系求出 i 的最大值 【解答】 解：模擬程序的運行，可得： 經(jīng)過第一次循環(huán)得到 S=2， n=1， 經(jīng)過第二次循環(huán)得到 S=5， n=2， 經(jīng)過第三次循環(huán)得到 S=10， n=3， 經(jīng)過第四次循環(huán)得到 S=19， n=4， 輸出的結(jié)果不大于 11 n 的最大值為 2， i 的最大值為 3， 第 7 頁（共 17 頁） 故選： A 7已知函數(shù) y=2x+ ） 函數(shù)的最小正周期 T 和它的圖象的一條對稱軸方程是（ ） A T=2，一條對稱軸方程為 x= B T=2，一條對稱軸方程為 x= C T=，一條對稱軸方程為 x= D T=，一條對稱軸方程為 x= 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 利用 二倍角的余弦公式變形、兩角差的正弦公式化簡解析式，由三角函數(shù)的周期公式求出函數(shù)的最小正周期 T，由正弦函數(shù)的對稱軸方程求出函數(shù)的對稱軸方程，即可得到答案 【解答】 解：由題意得， y=2x+ ） =1 2x+ ） = ， 由 T= 得，函數(shù)的最小正周期是 ， 由 得， ， 當(dāng) k=0 時，一條對稱軸方程為 x= ， 故選 D 8為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū) 5 戶家庭，得到如表統(tǒng)計數(shù)據(jù)表： 收入 x（萬元） 出 y（萬元） 據(jù)上表可得回歸直線方程 = x+ ，其中 = = ，據(jù)此估計，該社區(qū)一戶收入為 15 萬元家庭年支出 為（ ）萬元 A 考點】 線性回歸方程 【分析】 計算樣本中心，代入回歸方程解出 ，得出回歸方程，利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測 【解答】 解： = =10， = =7 =7 10= 第 8 頁（共 17 頁） 所以回歸方程為： = 當(dāng) x=15 時， =15 故選 A 9已知函數(shù) f（ x）的部分圖象如圖所示，則 f（ x）的解析式可能為（ ） A f（ x） =2 ） B f（ x） = 4x+ ） C f（ x） =2 ）D f（ x） =24x+ ） 【考點】 由 y=x+）的部分圖象確定其解析式 【分析】 根據(jù)函數(shù)圖象求 出 A， T，求出 ，利用點（ 0， 1）在曲線上，求出 ，得到解析式，判定選項即可 【解答】 解：設(shè)函數(shù) f（ x） =x+），由函數(shù)的最大值為 2 知 A=2， 又由函數(shù)圖象知該函數(shù)的周期 T=4 （ ） =4， 所以 = ，將點（ 0， 1）代入得 = ， 所以 f（ x） =2x+ ） =2x ） 故選 A 10設(shè)復(fù)數(shù) z=（ x 1） +（ y ） i，（ x， y R），若 |z| 2，則 y x 的概率為（ ） A B C D 【考點】 幾何概型 【分析】 首先由題意畫出圖形，分別求出圓的面積以及滿足 y x 的區(qū)域面積，利用幾何概型的概率公式解答 第 9 頁（共 17 頁） 【解答】 解：由 |z| 2，得到（ x 1） 2+（ y ） 2 4，對應(yīng)的圖形為以（ 1， ）為圓心， 2 為半徑的圓，面積為 4；滿足如 y x 的是圖中陰影部分，面積為，如圖 所以所求概率為 = = ； 故選： D 11函數(shù) f（ x） =（ x ） x 且 x 0）的圖象可能為（ ） A B C D 【考點】 函數(shù)的圖象 【分析】 先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除 取 x=，得到 f（ ） 0，排除 C 【解答】 解： f（ x） =（ x+ ） x） =（ x ） f（ x）， 函數(shù) f（ x）為奇函數(shù)， 函數(shù) f（ x）的圖象關(guān)于原點對稱，故排除 A， B， 當(dāng) x= 時， f（ ） =（ ） 0，故排除 C， 故選： D 12已知定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足 f（ 1） =1，且 f（ x）的導(dǎo)數(shù) f（ x）在 R 上恒有 f（ x） ，則不等式 f（ x） x+ 的解集為（ ） 第 10 頁（共 17 頁） A（ 1， +） B（ ， 1） C（ 1， 1） D（ ， 1） （ 1， +） 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 由題意，設(shè) g（ x） =f（ x）（ x+ ）， x R；求出 g（ x），判定 g（ x）的單調(diào)性，由此求出不等式 f（ x） x+ 的解集 【解答】 解：根據(jù)題意，設(shè) g（ x） =f（ x）（ x+ ）， x R； g（ x） =f（ x） 0， g（ x）在 R 上是單調(diào)減函數(shù)； 又 g（ 1） =f（ 1）（ + ） =0， 當(dāng) x 1 時， g（ x） 0 恒成立， 即 f（ x） x+ 的解集是（ 1， +） 故選： A 二、填空題 :本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。請將答案填在答題卷相應(yīng)位置 13計算 = 20 【考點】 有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值；根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及其化簡運算 【分析】 利用對數(shù)的商的運算法則及冪的運算法則求出值 【解答】 解： = 20 故答案為： 20 14某電子商務(wù)公司對 1000 名網(wǎng)絡(luò)購物者 2015 年度的消費情況進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間 ，其頻率分布直方圖如圖所示在這些購物者中，消費金額在區(qū)間 的購物者的人數(shù)為 600 【考點】 頻率分布直方圖 【分析】 頻率分布直方圖中每一個矩形的面積表示頻率，先算出頻率，在根據(jù)頻率和為 1，算出 a 的值，再求出消費金額在區(qū)間 的購物者的頻率，再求頻數(shù) 【解答】 解：由題意，根據(jù)直方圖的性質(zhì)得（ .5+a+ ，解得 a=3 第 11 頁（共 17 頁） 由直方圖得（ 3+ 1000=600 故答案為： 600 15函數(shù) y=其極值點處的切線方程為 y= 【考點】 函數(shù)在某點取得極值的條件；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 求出極值點，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的方程 【解答】 解：依題解：依題意得 y=ex+ 令 y=0，可得 x= 1， y= 因此函數(shù) y=其極值點處的切線方程為 y= 故答案為： y= 16將邊長為 1m 的正三角形薄鐵片，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記 s= ，則 s 的最小值是 【考點】 函數(shù)的最值及其幾何意義 【分析】 先設(shè)剪成的小正三角形的邊長為 x，用 x 表示出梯形的周長和面積，從而得到 S 的解析式，然后求 S 的最小值， 方法一：對函數(shù) S 進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo) 函數(shù)等于 0 求出 x 的值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而確定最小值； 方法二：令 3 x=t，代入整理根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)得到最小值 【解答】 解：設(shè)剪成的小正三角形的邊長為 x，則梯形的周長為 3 x， 梯形的面積為 ， s= （ 0 x 1）， （方法一）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值 令 s（ x） = （ 0 x 1），則 s（ x） = = ， 第 12 頁（共 17 頁） 令 s（ x） =0， 0 x 1， x= ， 當(dāng) 0 x 時， s（ x） 0，當(dāng) x 1 時， s（ x） 0， x= 時， s（ x）取極小值，也為最小值，且為 （方法二）利用函數(shù)的方法求最小值 令 3 x=t（ 2 t 3），則 x=3 t， s（ x） = = = ， 2 t 3， ， 當(dāng) 即 t= ， x= 時， s（ x）取最小值，且為 故答案為： 三、解答題：本大題共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17（ 1）求 ）的值； （ 2）化簡： 【考點】 三角函數(shù)的化簡求值 【分析】 直接利用誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)化簡 求解即可 【解答】 解：（ 1） ） = 3 ） = ； （ 2） = =1 18命題 p：關(guān)于 x 的不等式 0 對 x R 恒成立；命題 q：函數(shù) f（ x） =（ 5 2a） x 是減函數(shù)，若 p q 為真， p q 為假，求實數(shù) a 的取值范圍 【考點】 復(fù)合命題的真假 【分析】 命題 p：關(guān)于 x 的不等式 0 對 x R 恒成立，可得 =44 4 0， 2 a 2由命題 q：函數(shù) f（ x） =（ 5 2a） x 是減函數(shù)，且 a 2，可得 5 2a 1， a2由 p q 為真， p q 為假，可得命題 p 與 q 必然一真一假解出即可 【解答】 解：命題 p：關(guān)于 x 的不等式 0 對 x R 恒成立， =44 4 0，解得 2 a 2 命題 q：函數(shù) f（ x） =（ 5 2a） x 是減函數(shù)， 5 2a 1，解得 a 2 p q 為真， p q 為假， 命題 p 與 q 必然一真一假 第 13 頁（共 17 頁） 當(dāng) p 真 q 假時， ，且 a 2，此時 a 當(dāng) q 真 p 假時， ，且 a 2，解得 a 2 綜上可得實數(shù) a 的取值范圍是（ ， 2 19已知函數(shù) f（ x） =x+ ）（ 0）的最小正周期為 （ 1）求 的值； （ 2）求函數(shù) f（ x）在區(qū)間 0， 上的取值范圍 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【分析】 （ ）先根據(jù)倍角公式和兩角和公式，對函數(shù)進(jìn)行化簡，再利用 T= ，進(jìn)而求得 （ ）由（ ）可得函數(shù) f（ x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求得函數(shù) f（ x）的范圍 【解答】 解：（ ） = 函數(shù) f（ x）的最小正周期為 ，且 0， ，解得 =1 （ ）由（ ）得 ， ， ，即 f（ x）的取值范圍為 20已知函數(shù) f（ x） =1 x） +x+3）（ 0 a 1） （ 1）求函數(shù) f（ x）的定義域； （ 2）求函數(shù) f（ x）的零點； （ 3）若函數(shù) f（ x）的最小值為 4，求 a 的值 【考點】 對數(shù)函數(shù)的值域與最值；對數(shù)函數(shù)的定義域；函數(shù)的零點 【分析】 （ 1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，列出不等式組并求出解集，函數(shù)的定義域用集合或區(qū)間表示出來； 第 14 頁（共 17 頁） （ 2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)對解析式進(jìn)行化簡，再由 f（ x） =0，即 2x+3=1，求此方程的根并驗證是否在函數(shù)的定義域內(nèi)； （ 3）把函數(shù)解析式化簡后，利用配方求真數(shù)在定義域內(nèi)的范圍，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)遞減，求出函數(shù)的最小值 4 利用對數(shù)的定義求出 a 的值 【解答】 解：（ 1）要使函數(shù)有意義：則有 ，解之得： 3 x 1， 則函數(shù)的定義域為：（ 3， 1） （ 2）函數(shù)可化為 f（ x） =1 x）（ x+3） = 2x+3） 由 f（ x） =0，得 2x+3=1， 即 x 2=0， ， 函數(shù) f（ x）的零點是 （ 3）函數(shù)可化為： f（ x） =1 x）（ x+3） = 2x+3） =（ x+1） 2+4 3 x 1， 0 （ x+1） 2+4 4， 0 a 1， （ x+1） 2+4 即 f（ x） 4，得 a 4=4， 21已知函數(shù) f（ x） = x，其中（ a R） （ 1）若 a=2，求曲線 y=f（ x）在點（ 1， f（ 1）處的切線方程； （ 2）若函數(shù) y=f（ x）有兩個極值點 求實數(shù) a 的取值范圍； 證明 f（ 0 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 （ 1）當(dāng) a=2 時，求得 f（ x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程； （ 2） 求得 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，可得 f（ x） = 有兩個不同的實根，討論當(dāng) a 0 時，當(dāng) a 0 時，判斷單調(diào)性可得極大值大于 0，解不等式即可得到所求范圍； 由 知 ， f（ 極小值， f（ 極大值，由 f（ =0，求得 f（ 運用二次函數(shù)的單調(diào)性，可得 f（ f（ 0） =0 【解答】 解：（ 1）當(dāng) a=2 時， f（ x） =x， f（ x） =2x， 可得 f（ 1） = 2， f（ 1） = 2， 曲線 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）處的切線方程為 y+2= 2（ x 1）， 即為 y= 2x； （ 2） f（ x） =數(shù) y=f（ x）有兩個極值點 即 f（ x） = 有兩個不同的實根， 當(dāng) a 0 時， f（ x）單調(diào)遞增， f（ x） =0 不可能有兩個不同的實根； 當(dāng) a 0 時，設(shè) h（ x） =h（ x） = ， 第 15 頁（共 17 頁） 若 0 x 時， h（ x） 0， h（ x）單調(diào)遞增， 若 x 時， h（ x） 0， h（ x）單調(diào)遞減， 可得 h（ x）的極大值 h（ ） = 1