內蒙古通遼市2016年高考數學一模試卷（理科）含答案解析

第 1 頁（共 19 頁） 2016 年內蒙古通遼市高考數學一模試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 6 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1若集合 M= 2， 1， 0， 1， 2， N=x| 1，則 MN 等于（ ） A 1 B 0， 1 C 1， 2 D 2， 1， 0， 1 2復數 z= 3+（ 1+i） 2 在復平面內對應的點在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3下列函數中，不是偶函數的是 （ ） A y=1 y= y= y=3x+3 x 4雙曲線 =1 的左焦點到右頂點的距離為（ ） A 1 B 2 C 4 D 5 5已知變量 x 與 y 線性相關，且由觀測數據算得樣本平均數分別為 =4， =3，則由該觀測數據算得的線性回歸方程不可能是（ ） A = = = =若變量 x、 y 滿足約束條件 則 z=4x+y 的最大值為（ ） A 8 B 10 C 12 D 15 7某幾何體的三視圖如圖所示則該幾何體的體積等于（ ） A B 2 C D 3 8在 ， a， b， c 分別為內角 A， B， C 的對邊， 3B+C） =1， a= ，B= ，則 b 等于（ ） A B 3 C 2 D 9執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 n=10，則輸出的 S=（ ） 第 2 頁（共 19 頁） A B C D 10已知函數 f（ x） =2x+） （ 0 | ）的圖象如圖所示，則函數 y=f（ x）+ 的對稱中心坐標為（ ） A（ ， ）（ k Z） B（ 3， ）（ k Z） C（ ， ）（ k Z） D（ ， ）（ k Z） 11設 為銳角，則 “2”是 “ 0”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 12若直線 y=a 與函數 y=| |的圖象恰有 3 個不同的交點，則實數 a 的取值范圍為（ ） A B（ 0， ） C（ ， e） D（ ， 1） 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，將答案填在答題卡中的橫線上） 13設 與 的夾角為 60，且 | |=2 ， | |= ，則 = 14（ 1 ） 7 的展開式中 系數為 第 3 頁（共 19 頁） 15過原點且與直線 平行的直線 l 被圓 所截得的弦長為 16在底面為正方形的四棱錐 S ， B=D，異面直線 成的角為 60， ，則四棱錐 S 外接球的表面積為 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17設 等比數列 前 n 項和， ， （ 1）求 （ 2）若 ， 等差數列，求 n 的值 18為調查了解某藥物使用后病人的康復時間，從 1000 個使用該藥的病人的康復時間中抽取了 24 個樣本，數據如下圖中的莖葉圖（單位：周）專家指出康復時間在 7 周之內（含 7周）是快效時間 （ 1）求這 24 個樣本中達到快效時間的頻率； （ 2）以（ 1）中的頻率作為概率，從這 1000 個病人中隨機選取 3 人，記這 3 人中康復時間達到快效時間的人數為 X，求 X 的分布列及數學期望 19如圖，在四棱錐 A ， 等邊三角形，平面 平面 ，四邊形 高為 的等腰梯形， O 為 中點 （ 1）求證： （ 2）求二面角 F B 的正弦值 20設橢圓 =1（ a b 0）的離心率為 ，且左焦點在拋物線 x 的準線上 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）若在 y 軸上的截距為 4 的直線 l 與橢圓分別交于 A， B 兩點， O 為坐標原點，且直線斜率之和等于 2，求直線 斜率 21已知函數 f（ x） = （ a 0） （ 1）若 a ，且曲線 y=f（ x）在點（ 2， f（ 2）處的切線的斜率為 ，求函數 f（ x）的單調區(qū)間； （ 2）求證：當 x 1 時， f（ x） 第 4 頁（共 19 頁） 請考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答， 選修 4何證明選擇 22如圖，圓 O 的直徑 ，圓周上過點 C 的切線與 延長線交于點 E，過 點 B 作平行線交 延長線于點 P （ 1）求證： C （ 2）若 ，求 長 選修 4標系與參數方程 23已知直線 l 的參數方程為 （ t 為參數），在直角坐標系 ，以 O 為極點，x 軸正半軸為極軸建立坐標系，圓 N 的方程為 2 6 8 （ 1）求圓 N 的直角坐標方程； （ 2）判斷直線 l 與圓 N 的位置關系 選修 4等式選講 24設函數 f（ x） =|x a|+|x 2| （ 1）當 a=2 時，求不等式 f（ x） 14 的解集； （ 2）若 f（ x） x R 恒成立，求實數 a 的取值范圍 第 5 頁（共 19 頁） 2016 年內蒙古通遼市高考數學一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 6 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1若集合 M= 2， 1， 0， 1， 2， N=x| 1，則 MN 等于（ ） A 1 B 0， 1 C 1， 2 D 2， 1， 0， 1 【考點】 交集及其運算 【分析】 解不等式求出集合 N，結合已知中集合 M，和集合的交集運算，可得答案 【解答】 解： 集合 M= 2， 1， 0， 1， 2， N=x| 1=1， 2）， MN=1， 故選： A 2復數 z= 3+（ 1+i） 2 在復平面內對應的點在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點】 復數代數形式的乘除運算；復數的 代數表示法及其幾何意義 【分析】 直接由復數代數形式的乘法運算化簡復數 z，求出復數 z 在復平面內對應的點的坐標，則答案可求 【解答】 解：由 z= 3+（ 1+i） 2， 得 z= 3+2i 則復數 z= 3+（ 1+i） 2 在復平面內對應的點的坐標為：（ 3， 2），位于第二象限 故選： B 3下列函數中，不是偶函數的是（ ） A y=1 y= y= y=3x+3 x 【考點】 函數奇偶性的判斷 【分析】 根據函數奇偶性的定義進行判斷即可 【解答】 解： y=定義域內是 奇函數，其余都是偶函數， 故選： B 4雙曲線 =1 的左焦點到右頂點的距離為（ ） A 1 B 2 C 4 D 5 【考點】 雙曲線的簡單性質 【分析】 求得雙曲線的 a， b，由 c= ，可得 c，即可得到左焦點和右頂點，進而得到它們的距離 【解答】 解：雙曲線 =1 的 a=2， b= ， 第 6 頁（共 19 頁） c= =3， 可得右頂點為（ 2， 0），左焦點為（ 3， 0）， 可得左焦點到右頂點的距離為 5 故選： D 5已知變量 x 與 y 線性相關，且由觀測數據算得樣本平均數分別為 =4， =3，則由該觀測數據算得的線性回歸方程不可能是（ ） A = = = =考點】 線性回歸方程 【分析】 將樣本平均數代入回歸方程逐一驗證 【解答】 解：由最小二乘法原理可知樣本平均數（ 4， 3）在線性回歸方程上 對于 A，當 x=4 時， y=， 對于 B，當 x=4 時， y=， 對于 C，當 x=4 時， y=， 對于 D，當 x=4 時， y=2+3 故選： D 6若變量 x、 y 滿足約束條件 則 z=4x+y 的最大值為（ ） A 8 B 10 C 12 D 15 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 利用線性規(guī)劃的內容作出不等式組對應的平面區(qū)域，然后由 z=4x+y 得 y= 4x+z，根據平移直線確定目標函數的最大值 【解答】 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖： 由 z=4x+y 得 y= 4x+z，平移直線 y= 4x+z，由圖象可知當直線經過點 A 時，直線的截距最大，此時 z 最大， 由 ，解得 ，即 A（ 4， 1），代入 z=4x+y 得最大值為 z=16 1=15 故選： D 第 7 頁（共 19 頁） 7某幾何體的三視圖如圖所示則該幾何體的體積等于（ ） A B 2 C D 3 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 幾何體為四棱柱與三棱柱的組合體 【解答】 解：由三視圖可知該幾何體上部分為四棱柱，下部分為三棱柱，四棱柱的底面為邊長為 1 的正方形，高為 2，三棱柱的底面為等腰直角三角形，直角邊為 1，三棱柱的高為 1， 所以幾何體的體積 V=1 1 2+ = 故選 C 8在 ， a， b， c 分別為內角 A， B， C 的對邊， 3B+C） =1， a= ，B= ，則 b 等于（ ） A B 3 C 2 D 【考點】 兩角和與差的余弦函數；余弦定理 【分析】 由條件利用誘導公式，同角三角函數的基本關系求得 值，利用正弦定理求得 b 的值 【解答】 解： ，由 3B+C） =3， 可得 ， = 再根據 a= ， B= ，利用正弦定理可得 = ，即 = ， 求得 b=2 ， 故選： C 9執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 n=10，則輸出的 S=（ ） 第 8 頁（共 19 頁） A B C D 【考點】 程序框圖 【分析】 由 = （ ），模擬執(zhí)行程序，可得程序框圖的功能是計算并輸出 S= （ 1 ） + （ ） + （ ） + （ ） + （ ）的值，用裂項法計算即可得解 【解答】 解： = = （ ）， 模擬執(zhí)行程序，可得 n=10， S=0， i=2 滿足條件 i 10， S= = （ 1 ）， i=4 滿足條件 i 10， S= （ 1 ） + （ ）， i=6 滿足條件 i 10， S= （ 1 ） + （ ） + （ ）， i=8 滿足條件 i 10， S= （ 1 ） + （ ） + （ ） + （ ）， i=10 滿足條件 i 10， S= （ 1 ） + （ ） + （ ） + （ ） + （ ），i=12 第 9 頁（共 19 頁） 不滿足條件 i 10，退出循環(huán)，輸出 S= （ 1 ） + （ ） + （ ） + （ ）+ （ ） = （ 1 ） = 故選： A 10已知函數 f（ x） =2x+）（ 0 | ）的圖象如圖所示，則函數 y=f（ x）+ 的對稱中心坐標為（ ） A（ ， ）（ k Z） B（ 3， ）（ k Z） C（ ， ）（ k Z） D（ ， ）（ k Z） 【考點】 正弦函數的圖象 【分析】 由周期求出 ，由五點法作圖求出 的值，可得 f（ x）的解析式；再利用正弦函數的圖象的對稱性，求得 y=f（ x） + 的對稱中心坐標 【解答】 解：根據函數 f（ x） =2x+）（ 0 | ）的圖象， 可得 = ， = 再根據五點法作圖可得 += ，求得 = ， f（ x） =2x+ ） 則函數 y=f（ x） +=2x+ ） + ， 令 x+ =得 x= ， k Z， 故函數 y=f（ x） +=的對稱中心坐標為（ ， ）， k Z， 故選： D 11設 為銳角，則 “2”是 “ 0”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 根據充分條件和必要條件的定義，結合正切函數的圖象和性質以及一元二次不等式的解法進行求解即可 第 10 頁（共 19 頁） 【解答】 解：由 2， 為銳角得 60 90，則 120 2 180則 2 0，而 2= 0，所以，有 “ 0”； 充分性成立 為銳角， 0 2 180， 0， 90 2 180，則 45 90，則 1 由 0 得 ， 即 （ 1 2 即 232 0， 解得 2 或 舍），即必要性成立， 故 “2”是 “ 0”的充分必要條件， 故選： C 12若直線 y=a 與函數 y=| |的圖象恰有 3 個不同的交點，則實數 a 的取值范圍為（ ） A B（ 0， ） C（ ， e） D（ ， 1） 【考點】 根的存在性及根的個數判斷；函數的圖象 【分析】 先求得函數 y=| |的定義域為（ 0， +），再分段 y=|= ，從而分別求導確定函數的單調性，從而解得 【解答】 解：函數 y=| |的定義域為（ 0， +）， y=| |= ， 當 x （ 0， e 1）時， y= ， x （ 0， e 1）， 1， 第 11 頁（共 19 頁） y= 0， y=| |在（ 0， e 1）上是減函數； 當 x （ e 1， +）時， y= ， 當 x （ e 1， ）時， y 0， 當 x （ ， +）時， y 0， y=| |在（ e 1， ）上是增函數， 在（ ， +）上是減函數； 且 | |=+， f（ e 1） =0， f（ ） = ， | |=0， 故實數 a 的取值范圍為（ 0， ）， 故選 B 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，將答 案填在答題卡中的橫線上） 13設 與 的夾角為 60，且 | |=2 ， | |= ，則 = 【考點】 平面向量數量積的運算 【分析】 根據向量數量積的定義計算 【解答】 解： =2 = 故答案為： 14（ 1 ） 7 的展開式中 系數為 7 【考點】 二項式定理的應用 【分析】 在二項展開式的通項公式中，令 x 的冪指數等于 2，求出 r 的值，即可求得展開式中 系數 【解答】 解：由于（ 1 ） 7 的展開式的通項公式為 = （ 1） r ， 令 =2，求得 r=6，可得展開式中 系數為 =7， 故答案為： 7 15過原點且與直線 平行的直線 l 被圓 所截得的弦長為 2 第 12 頁（共 19 頁） 【考點】 直線與圓的位置關系 【分析】 先求出直線 l： =0，再求出圓 的圓心、半徑和圓心（ 0， ）到直線 l： =0 的距離 d，由此能求出直線 l 被圓所截得的弦長 【解答】 解：設與直線 平行的直線 l 為 +c=0， l 過原點， c=0， 直線 l： =0， 圓 的圓心（ 0， ），半徑 r= ， 圓心（ 0， ）到直線 l： =0 的距離 d= =1， 直線 l 被圓 所截得的弦長 |2 =2 =2 故答案為： 2 16在底面為正方形的四棱錐 S ， B=D，異面直線 成的角為 60， ，則四棱錐 S 外接球的表面積為 8 【考點】 球的體積和表面積 【分析】 作出直觀圖，根據所給條件尋找外接球的球心位置，計算球的半徑，即可求出四棱錐 S 外接球的表面積為 【解答】 解：取 底面中心 O， 點 E，連結 ，B=D= ， 平面 異面直線 成的角，即 0， C， 等邊三角形， B=2， ， = B=D= O 為四棱錐 S 外接球球心 外接球的表面積 S=4 （ ） 2=8 故答案為： 8 第 13 頁（共 19 頁） 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17設 等比數列 前 n 項和， ， （ 1）求 （ 2）若 ， 等差數列，求 n 的值 【考點】 等比數列的通項公式；等差數列的通項公式 【分析】 （ 1）利用等比數列的通項公式及其前 n 項和公式即可得出 （ 2）由 ， 等差數列，可得 2（ ） =a3+利用等比數列的通項公式及其前 n 項和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）設等比數列 公比為 q， ， q= =3 n 1 = （ 2） ， 等差數列， 2（ ） =a3+ 3n 1+10=32+34， 化為 3n=34， 解得 n=4 18為調查了解某藥物使用后病人的康復時間，從 1000 個使用該藥的病人的康復時間中抽取了 24 個樣本，數據如下圖中的莖葉圖（單位：周）專家指出康復時間在 7 周之內（含 7周）是快效時間 （ 1）求這 24 個樣本中達到快效時間的頻率； （ 2）以（ 1）中的頻率作為概率，從這 1000 個病人中隨機選取 3 人，記這 3 人中康復時間達到快效時間的人數為 X，求 X 的分布列及 數學期望 【考點】 離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差 【分析】 （ 1）由莖葉圖得 24 個樣本中，康復時間在 7 周之內（含 7 周）的樣本個數為 8 個，由此能求出這 24 個樣本中達到快效時間的頻率 （ 2）由已知得 X 的可能取值為 0， 1， 2， 3， X B（ 3， ），由此能求出 X 的分布列和 【解答】 解：（ 1）由莖葉圖得 24 個樣本中，康復時間在 7 周之內（含 7 周）的樣本個數為8 個， 這 24 個樣 本中達到快效時間的頻率 p= （ 2）由已知得 X 的可能取值為 0， 1， 2， 3， X B（ 3， ）， 第 14 頁（共 19 頁） P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， X 的分布列為： X 0 1 2 3 P =1 19如圖，在四棱錐 A ， 等邊三角形，平面 平面 ，四邊形 高為 的等腰梯形， O 為 中點 （ 1）求證： （ 2）求二面角 F B 的正弦值 【考點】 二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關系 【分析】 （ 1）推導出 從而 平面 此能證明 （ 2）取 點 D，以 O 為原點， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角 F B 的正弦值 【解答】 證明：（ 1） 在四棱錐 A ， 等邊三角形， O 為 中點， 平面 平面 面 平面 F， 平面 面 解：（ 2）取 點 D，以 O 為原點， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標系， A（ 0， 0， ）， E（ 1， 0， 0）， F（ 1， 0， 0）， B（ 2， ， 0）， =（ 1， 0， ）， =（ 2， ， ）， 設平面 法向量 =（ x， y， z）， 則 ， 取 z=1，得 =（ ， 1， 1）， 第 15 頁（共 19 頁） 平面 法向量 =（ 0， 1， 0）， 設二面角 F B 的平面角為 ， 則 = ， = 二面角 F B 的正弦值為 20設橢圓 =1（ a b 0）的離心率為 ，且左焦點在拋物線 x 的準線上 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）若在 y 軸上的截距為 4 的直線 l 與橢圓分別交于 A， B 兩點， O 為坐標原點，且直線斜率之和等于 2，求直線 斜率 【考點】 直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程 【分析】 （ 1）根據拋物線的性質求得其準線方程，即可求得橢圓的焦點坐標，跟據離心率的定義，求得可求 a 和 b，求得橢圓方程； （ 2）根據橢圓方程，設出直線 方程，代入橢圓消去 y 得到關于 x 的一元二次方程，利用判別式 0，求得 k 的取值范圍，根據韋達定理求得 x1+ x1別求得直線 斜率，根據斜率之和等于 2，即可求得 k 的值 【解答】 解：（ 1）由拋物線 x 的準線為， x= ， 橢圓 =1（ a b 0）的左焦點坐標為（ ， 0）， c= ，由 e= = ， a=2， 由 a2=b2+得 b=1， 故橢圓的方程為： ， 設橢圓 =1（ a b 0）的離心率為 ，且左焦點在拋物線 x 的準線上 第 16 頁（共 19 頁） （ 2）設直線 y=， A（ B（ 將直線方程代入橢圓方程整理得：（ 1+420=0， =（ 32k） 2 240（ 1+4 0，解得 k 或 k ， 由韋達定理可知 x1+ ， x1， + = =2k+4 =2k+4 ， 直線 斜率之和等于 2，即 2k+4 =2，解得 k= 15， 直線 斜率 15 21已知函數 f（ x） = （ a 0） （ 1）若 a ，且曲線 y=f（ x）在點（ 2， f（ 2）處的切線的斜率為 ，求函數 f（ x）的單調區(qū)間； （ 2）求證：當 x 1 時， f（ x） 【考點】 利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程 【分析】 （ 1）求出函數的導數，求得切線的斜率，解方程可得 a=1，由導數大于 0，可得增區(qū)間，由導數小于 0，可得減區(qū)間； （ 2）要證當 x 1 時， f（ x） （ a 0），即證當 x 1 時， （ a 0），即有當 x 1 時， 9+9x令 g（ x） =9+9x（ x 1），求出導數，判斷單調性，即可得證 【解答】 解：（ 1）函數 f（ x） = 的導數為 f（ x） = ， 即有在點（ 2， f（ 2）處的切線的斜率為 = ， 解得 a= （舍去）或 a=1， 即有 f（ x） = 的導數為 f（ x） = ， 由 f（ x） 0，可得 1 x 1，由 f（ x） 0，可得 x 1 或 x 1 則 f（ x）的增區(qū)間為（ 1， 1），減區(qū)間為（ ， 1），（ 1， +）； （ 2）證明：要證當 x 1 時， f（ x） （ a 0）， 第 17 頁（共 19 頁） 即證當 x 1 時， （ a 0）， 即有當 x 1 時， 9+9x 令 g（ x） =9+9x（ x 1）， g（ x） = 9 0，即有 g（ x）在（ 1， +）遞減， 則 g（ x） g（ 1） =0，即有當 x 1 時， 9+9x 故當 x 1 時， f（ x） 請考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答， 選修 4何證明選擇 22如圖，圓 O 的直徑 ，圓周上過點 C 的切線與 延長線交于點 E，過點 B 作平行線交 延長線于點 P （ 1）求證： C （ 2）若 ，求 長 【考點】 與圓有關的比例線段 【分析】 （ 1）證明： 可證明 C （ 2）由題意可得 AA（ B），即可解得 值 【解答】 解：（ 1）證明： 圓 O