證券投資組合的優(yōu)化模型.doc

畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）內(nèi)容介紹論文（設(shè)計(jì)）題 目證券投資組合的優(yōu)化模型選題時(shí)間2008年12月23日完成時(shí)間2009年5月27日論文（設(shè)計(jì)）字?jǐn)?shù)9500關(guān) 鍵 詞 股市；組合投資；均值；方差；收益；風(fēng)險(xiǎn)論文（設(shè)計(jì)）題目的來源、理論和實(shí)踐意義：在充滿風(fēng)險(xiǎn)和機(jī)會的證券市場中，無論是個(gè)人還是機(jī)構(gòu)投資者在進(jìn)行證券投資時(shí)，總是以投入資金的安全性和流動(dòng)性為前提，合理的運(yùn)用投資資金，達(dá)到較小風(fēng)險(xiǎn)、較高收益的目的。投資于高收益的證券，很可能獲得較高的投資回報(bào)；但是，高收益往往伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)，低風(fēng)險(xiǎn)常又伴隨著低收益。如果投資者單獨(dú)投資于某一種有價(jià)證券，那么一旦該有價(jià)證券的市場價(jià)格出現(xiàn)較大波動(dòng)，投資者將蒙受較大的損失，所以，穩(wěn)健的投資方法是將資金分散地投資到若干種收益和風(fēng)險(xiǎn)都不同的有價(jià)證券上，以“證券組合投資”的方式來降低風(fēng)險(xiǎn)。在馬科維茨的組合投資模型中，數(shù)學(xué)期望代表著預(yù)期收益，方差或標(biāo)準(zhǔn)差代表著風(fēng)險(xiǎn)，協(xié)方差代表著資產(chǎn)之間的相互關(guān)系，進(jìn)而資產(chǎn)組合的預(yù)期收益是資產(chǎn)組合中所有資產(chǎn)收益的簡單加權(quán)平均，而資產(chǎn)組合的方差則為資產(chǎn)方各自方差與它們之間協(xié)方差的加權(quán)平均。利用馬科維茨模型確定最小方差資產(chǎn)組合首先要計(jì)算構(gòu)成資產(chǎn)組合的單個(gè)資產(chǎn)的收益、風(fēng)險(xiǎn)及資產(chǎn)之間的相互關(guān)系，然后，計(jì)算資產(chǎn)組合的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)。因此，研究證券投資組合的優(yōu)化模型就顯得十分重要了。對于我們的日常經(jīng)濟(jì)生活而言，也有了研究的實(shí)踐意義。論文（設(shè)計(jì)）的主要內(nèi)容及創(chuàng)新點(diǎn)：本文以馬科維茨的均值方差模型為主要的理論基礎(chǔ)，根據(jù)投資者對收益率和風(fēng)險(xiǎn)的不同偏好，建立投資組合優(yōu)化模型，并且通過數(shù)學(xué)軟件Matlab進(jìn)行實(shí)證研究，希望能為投資者實(shí)踐提供某種程度的科學(xué)依據(jù)。在本文中，模型的優(yōu)化以及程序的編寫均是原創(chuàng)，而且對于不同興趣的投資者采取了分類建模分析的方法，可以符合于大部分投資者的需求。文中為了突出馬科維茨的理論，進(jìn)行的是靜態(tài)模型分析，也更加突出了在大學(xué)期間所學(xué)知識的重要性與本文的創(chuàng)新點(diǎn)。附：論文（設(shè)計(jì)）本人簽名： 年 月 日目錄中文摘要 1英文摘要 1第一章 引言 21.1 文獻(xiàn)綜述 21.2 問題提出 21.3 研究的主要內(nèi)容 3第二章 馬科維茨組合投資模型基本概念和理論 42.1 馬科維茨的基本理論 42.2 理性投資者的行為特征和決策方法 42.3 資產(chǎn)的收益和風(fēng)險(xiǎn)特征 72.4 馬科維茨的均值方差模型 8第三章 股票中的數(shù)學(xué)模型及優(yōu)化 103.1 模型的假設(shè)與符號說明 103.2 模型的建立 103.3 模型的求解及優(yōu)化 11第四章 股票的預(yù)測與程序設(shè)計(jì) 13第五章 模型的結(jié)論 15第六章 對馬科維茨理論的評價(jià)與啟示 166.1 對馬科維茨理論的評價(jià) 166.2 馬科維茨理論的啟示 16參考文獻(xiàn) 1820證券投資組合的優(yōu)化模型張東柱摘要：馬科維茨（Markowitz）1952年提出的組合投資理論開創(chuàng)了金融數(shù)理分析的先河，是現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)重要理論基礎(chǔ)。利用馬科維茨模型確定最小方差資產(chǎn)組合首先要計(jì)算構(gòu)成資產(chǎn)組合的單個(gè)資產(chǎn)的收益、風(fēng)險(xiǎn)及資產(chǎn)之間的相互關(guān)系，然后，計(jì)算資產(chǎn)組合的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)。在此基礎(chǔ)上，依據(jù)理性投資者投資決策準(zhǔn)則確定最小方差資產(chǎn)組合。本文以馬科維茨的均值方差模型為主要的理論基礎(chǔ)，根據(jù)投資者對收益率和風(fēng)險(xiǎn)的不同偏好，建立投資組合優(yōu)化模型，并且通過數(shù)學(xué)軟件Matlab進(jìn)行實(shí)證研究，希望能為投資者實(shí)踐提供某種程度的科學(xué)依據(jù)。關(guān)鍵詞：股市；組合投資；均值；方差；收益；風(fēng)險(xiǎn)中圖分類號：O221.7Optimization for Portfolio Investment ModelZhang DongzhuAbstract ：In 1952 Markowitz proposed the Portfolio Theory and created the analysis way in financial mathematics, which was an important theoretical basis in modern Financial Economics. We use Markowitz model to establish Minimum Variance Portfolio. Firstly we calculate proceeds and risk of single assets in Portfolio Theory and the relationship between assets, and then calculate the expected proceeds and risk of portfolio. On this basis, we determine Minimum Variance Portfolio according to the rational criteria of investors decision to invest. Based on the investment portfolio and does empirical study through mathematical software Matlab, hoping to provide a certain scientific basis in practical investment.Key Word: Stock Market, Portfolio, Mean, Variance, Proceeds, Risk第一章 引言1.1 文獻(xiàn)綜述 馬科維茨（Markowitz）1952年提出的組合投資理論開創(chuàng)了金融數(shù)理分析的先河，是現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)重要理論基礎(chǔ)。在馬科維茨的組合投資模型中，數(shù)學(xué)期望代表著預(yù)期收益，方差或標(biāo)準(zhǔn)差代表著風(fēng)險(xiǎn)，協(xié)方差代表著資產(chǎn)之間的相互關(guān)系，進(jìn)而資產(chǎn)組合的預(yù)期收益是資產(chǎn)組合中所有資產(chǎn)收益的簡單加權(quán)平均，而資產(chǎn)組合的方差則為資產(chǎn)方各自方差與它們之間協(xié)方差的加權(quán)平均。利用馬科維茨模型確定最小方差資產(chǎn)組合首先要計(jì)算構(gòu)成資產(chǎn)組合的單個(gè)資產(chǎn)的收益、風(fēng)險(xiǎn)及資產(chǎn)之間的相互關(guān)系，然后，計(jì)算資產(chǎn)組合的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)。在此基礎(chǔ)上，依據(jù)理性投資者投資決策準(zhǔn)則確定最小方差資產(chǎn)組合。 現(xiàn)代組合理論的主要貢獻(xiàn)在于它闡明了組合風(fēng)險(xiǎn)并不取決于各個(gè)個(gè)別資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的均值，而是各資產(chǎn)的協(xié)方差資產(chǎn)之間的相互關(guān)系。運(yùn)用馬科維茨關(guān)于組合投資的基本思想，我們可以看到在資產(chǎn)完全不相關(guān)的情況下，資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)會隨著資產(chǎn)數(shù)量的增加而消失。由于在現(xiàn)實(shí)生活中，資產(chǎn)完全不相關(guān)或完全相關(guān)的情況不多，大部分處于不完全正相關(guān)狀態(tài)，所以資產(chǎn)之間的協(xié)方差就成了資產(chǎn)組合方差的決定因素，而協(xié)方差是不能靠資產(chǎn)組合多元化來降低的。 投資者構(gòu)建證券投資組合的主要?jiǎng)右蛟谟诮档屯顿Y風(fēng)險(xiǎn)和實(shí)現(xiàn)收益最大化目標(biāo)。投資者通過科學(xué)的組合投資，可以在投資收益和投資風(fēng)險(xiǎn)之間找到一個(gè)平衡點(diǎn)，即在風(fēng)險(xiǎn)既定的條件下實(shí)現(xiàn)收益最大，或在收益既定的條件下使風(fēng)險(xiǎn)盡可能降低。諾貝爾獎(jiǎng)得主馬科維茨提出的證券組合優(yōu)化均值方差模型奠定了現(xiàn)代證券組合投資理論的基礎(chǔ)。1.2 問題提出 作為一個(gè)成熟的投資者，我們應(yīng)該時(shí)刻牢記一句話：“股市有風(fēng)險(xiǎn)，入市須謹(jǐn)慎?！庇绕涫亲罱艿绞澜缃?jīng)濟(jì)形勢的影響，因此投資者對風(fēng)險(xiǎn)的控制是必要的，投資者必須確保在獲得一定的預(yù)期收益時(shí)，使得風(fēng)險(xiǎn)最小或者在一定風(fēng)險(xiǎn)水平下獲得最大收益。為了達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，并創(chuàng)造出更多的可供選擇的投資機(jī)會，進(jìn)行證券投資的組合優(yōu)化無疑是非常必要的。 在充滿風(fēng)險(xiǎn)和機(jī)會的證券市場中，無論是個(gè)人還是機(jī)構(gòu)投資者在進(jìn)行證券投資時(shí)，總是以投入資金的安全性和流動(dòng)性為前提，合理的運(yùn)用投資資金，達(dá)到較小風(fēng)險(xiǎn)、較高收益的目的。投資于高收益的證券，很可能獲得較高的投資回報(bào)；但是，高收益往往伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)，低風(fēng)險(xiǎn)常又伴隨著低收益。如果投資者單獨(dú)投資于某一種有價(jià)證券，那么一旦該有價(jià)證券的市場價(jià)格出現(xiàn)較大波動(dòng)，投資者將蒙受較大的損失，所以，穩(wěn)健的投資方法是將資金分散地投資到若干種收益和風(fēng)險(xiǎn)都不同的有價(jià)證券上，以“證券組合投資”的方式來降低風(fēng)險(xiǎn)。1.3 研究的主要內(nèi)容 證券投資是一種復(fù)雜而又充滿風(fēng)險(xiǎn)的金融活動(dòng)，它既可以給投資者帶來豐厚的收益，也可能使投資者遭受巨大的損失，因而越來越多的投資者利用投資組合以及多元化投資來分散風(fēng)險(xiǎn)，然而風(fēng)險(xiǎn)依賴于效用，不同偏好的投資者可能具有不同的衡量標(biāo)準(zhǔn)，其效用函數(shù)不同，擁有不同的風(fēng)險(xiǎn)測度，但是迄今為止，并沒有一種令人滿意的風(fēng)險(xiǎn)度量標(biāo)準(zhǔn)。馬科維茨的證券投資組合模型中用方差來度量風(fēng)險(xiǎn)，但是據(jù)研究，只有在證券收益率服從正態(tài)分布條件下，方差才是風(fēng)險(xiǎn)的有效測度，這表明投資者對風(fēng)險(xiǎn)、收益的理解不對稱，更談不上均勻分布在均值左右。而統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)也表明收益率并不一定服從正態(tài)分布，因而選擇何種度量風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)，對投資組合的證券及比例的選擇尤為重要。第二章 馬科維茨組合投資模型基本概念和理論2.1 馬科維茨的基本理論 馬科維茨以理性投資者及其基本行為特征為基本假設(shè)，論述了建立有效資產(chǎn)組合邊界（即在一定風(fēng)險(xiǎn)水平上收益最高的資產(chǎn)組合的集合）的思想和方法。 馬科維茨考慮的問題是單期投資問題，投資者擁有一筆資金，從現(xiàn)在起投資于一特定長的時(shí)間（稱為持有期），在期初投資者需要作出決定購買哪種證券及其數(shù)量，并持有到期末。分別以一定資金比例購買的一組證券稱為一個(gè)證券組合，因而投資者的決策就是要從一系列的可能的證券組合中選擇一個(gè)最優(yōu)的證券組合，這樣的一個(gè)決策問題被馬科維茨稱為證券組合選擇問題。為了解決這個(gè)問題，馬科維茨對投資者的決策方法和行為特征做了如下假設(shè)：（1）、每一種投資都可以由一種預(yù)期收益的可能分布來代表；（2）、投資者都利用預(yù)期收益的波動(dòng)來估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)；（3）、投資者僅以預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)為依據(jù)決策，在同一風(fēng)險(xiǎn)水平上，投資者偏好收益較高的資產(chǎn)或資產(chǎn)組合，在同一收益水平上，投資者偏好風(fēng)險(xiǎn)較小的資產(chǎn)或資產(chǎn)組合；（4）、投資者在一定時(shí)期內(nèi)總是追求收益最大化。2.2 理性投資者的行為特征和決策方法 從理論上說，具有獨(dú)立經(jīng)濟(jì)利益的投資者的理性經(jīng)濟(jì)行為有兩個(gè)規(guī)律特征，其一為追求收益最大化，其二為厭惡風(fēng)險(xiǎn)，二者的綜合反映為追求效用最大化?！靶в谩痹谖⒂^經(jīng)濟(jì)學(xué)中指人們從消費(fèi)商品和服務(wù)中得到滿足。在金融市場上，交易主體追求的是利益最大化。無奈，高收益總是伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)，對風(fēng)險(xiǎn)的承受力直接制約著人們對收益預(yù)期的定位。通常，人們只能在可接受的風(fēng)險(xiǎn)范圍內(nèi)尋求相對高的收益，或者只有當(dāng)收益足夠高時(shí)，才會去冒較大的風(fēng)險(xiǎn)。所以，投資活動(dòng)的效用就是投資者權(quán)衡選擇風(fēng)險(xiǎn)與收益后獲得的滿足。（1）、追求收益最大化的規(guī)律特征 這一特征表現(xiàn)在，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)水平相當(dāng)時(shí)，理性投資者都偏好預(yù)期收益較高的交易。在可能的范圍內(nèi)，投資者總是選擇收益率最高的資產(chǎn)投資；但另一方面，與之相對立的市場資金需求者為了自身利益最大化的要求選擇成本最低的融資方式，資金供求上方對立的經(jīng)濟(jì)利益、一致的利益沖動(dòng)制約著市場均衡價(jià)格的形成。（2）、厭惡風(fēng)險(xiǎn)的規(guī)律特征 這一特征表現(xiàn)在，當(dāng)預(yù)期收益相當(dāng)時(shí)，理性投資者總是偏好風(fēng)險(xiǎn)較小的交易。人們對風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度是不同的，有的強(qiáng)，有的弱，有的對風(fēng)險(xiǎn)持中立態(tài)度，有的甚至偏好風(fēng)險(xiǎn)，這一特征直接決定著價(jià)格的結(jié)構(gòu)。對于厭惡風(fēng)險(xiǎn)的人，要使之接受交易中的風(fēng)險(xiǎn)，就必須在價(jià)格上給予足夠的補(bǔ)償，有風(fēng)險(xiǎn)交易的收益從結(jié)構(gòu)上看應(yīng)該是無風(fēng)險(xiǎn)交易的收益加上一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償額。風(fēng)險(xiǎn)越大，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償額也就越高。（3）、追求效用最大化 追求效用最大化就是要選擇能帶來最大滿足的風(fēng)險(xiǎn)與收益的資產(chǎn)組合。效用由無差異曲線表示，可供選擇的最佳風(fēng)險(xiǎn)與收益的組合的集合由有效邊界表示，效用曲線與有效邊界的切點(diǎn)就是提供最大效用的資產(chǎn)組合。 、風(fēng)險(xiǎn)厭惡的資金供應(yīng)者的無差異曲線。金融市場的無差異曲線表示在一定的風(fēng)險(xiǎn)和收益水平下，資金供應(yīng)者對不同資產(chǎn)組合的滿足程度是無區(qū)別的，即同等效用水平曲線。圖1是一組風(fēng)險(xiǎn)厭惡的資金供應(yīng)者的無差異曲線。不同水平的曲線代表著效用的大小，水平越高，效用越大，這里曲線C顯然代表著最大效用。而曲線的凸向則反映著資金供應(yīng)者對風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，由于X軸是風(fēng)險(xiǎn)變量，Y軸是預(yù)期收益變量，因此，曲線右凸反映風(fēng)險(xiǎn)厭惡偏好。風(fēng)險(xiǎn)厭惡者要求風(fēng)險(xiǎn)與收益成正比，曲線越陡，風(fēng)險(xiǎn)增加對收益補(bǔ)償要求越高，對風(fēng)險(xiǎn)的厭惡越強(qiáng)烈；曲線斜度越小，風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越弱。風(fēng)險(xiǎn)中性的無差異曲線為水平線，風(fēng)險(xiǎn)偏好的無差異曲線為左凸曲線。E(r)0 CB D圖1 風(fēng)險(xiǎn)厭惡投資者的無差異曲線、資產(chǎn)組合的有效邊界。在資產(chǎn)組合理論中，假設(shè)資產(chǎn)互不相關(guān)，三個(gè)以上風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行組合時(shí)，各種不同風(fēng)險(xiǎn)與收益水平的資產(chǎn)組合分布在一個(gè)雙曲線，或者如傘形的區(qū)間內(nèi)，見圖2。E（r）MVP0 圖2 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的分布傘形區(qū)間邊緣上的資產(chǎn)或資產(chǎn)組合都是在同等收益水平上風(fēng)險(xiǎn)最小的資產(chǎn)組合的集合，因此傘形區(qū)域邊緣被稱為最小方差資產(chǎn)組合的集合。傘線端點(diǎn)處的資產(chǎn)組合又是所有最小方差資產(chǎn)組合集合中方差最小的一個(gè)，被稱為最小方差資產(chǎn)組合（MVP）。這一端點(diǎn)將傘形區(qū)間分為上下兩部分，上部分邊緣上的各種資產(chǎn)和資產(chǎn)組合，不僅滿足同等收益水平下風(fēng)險(xiǎn)最小的條件，還滿足同等風(fēng)險(xiǎn)水平上收益最高的條件，是理性投資者的理想選擇。因此，傘形（雙曲線）區(qū)間的上半部分邊緣被稱為資產(chǎn)組合的有效邊界（或有效資產(chǎn)組合的集合）。由于有效邊界的收益和風(fēng)險(xiǎn)是對稱的，因此，理想投資者到底選擇有效邊界上的哪一點(diǎn)，取決于投資厭惡程度的強(qiáng)弱。風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較強(qiáng)的，可選擇靠近端點(diǎn)的資產(chǎn)組合；風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較弱的，可選擇高風(fēng)險(xiǎn)高收益資產(chǎn)組合。我們借助“效用最大化”這一概念來描述投資者最佳資產(chǎn)組合的選擇過程。、效用最大化。把上面兩個(gè)圖疊起來，由于有效邊界相切無差異曲線是有效邊界所能遇到的效用最高的無差異曲線，因此，二者的切點(diǎn)F便是能夠給投資者帶來最大效用的有效資產(chǎn)組合最佳資產(chǎn)組合。見圖3。FC B AE（r） 0 圖3 最佳資產(chǎn)組合的確定2.3 資產(chǎn)的收益和風(fēng)險(xiǎn)特征 在購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之前，投資者首先應(yīng)該對資產(chǎn)未來收益做一個(gè)估計(jì)，估計(jì)值與實(shí)際值總是會有偏差的，這種偏差會有多大，也應(yīng)心中有數(shù)。我們把收益估計(jì)的偏差作為衡量資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。風(fēng)險(xiǎn)和收益的估計(jì)要用到一些概率論的基本知識。（1）、預(yù)期收益 資產(chǎn)的未來收益是一個(gè)不確定的因素，在不同的經(jīng)濟(jì)狀況下，我們會對資產(chǎn)的未來收益做出不同的估計(jì)。每一種經(jīng)濟(jì)狀況及在該種狀況下資產(chǎn)的收益率的出現(xiàn)，都有自己可能發(fā)生的概率，把所有可能出現(xiàn)的資產(chǎn)收益率按其可能發(fā)生的概率進(jìn)行加權(quán)平均計(jì)算，我們便對這一資產(chǎn)未來可能出現(xiàn)的資產(chǎn)收益率有了一個(gè)綜合的估計(jì)，這便是預(yù)期收益率的含義所在。也就是說，預(yù)期收益率并不代表將來可能獲得的收益，而只是反映了我們對一切可能的有關(guān)信息進(jìn)行合理分析后對資產(chǎn)獲利能力的一種估計(jì)。 數(shù)學(xué)期望為我們估計(jì)未來收益提供了一個(gè)科學(xué)的工具。根據(jù)不同的經(jīng)濟(jì)狀況，我們會對資產(chǎn)未來收益做出不同的估計(jì)，每一估計(jì)的出現(xiàn)都有自己的概率，二者的加權(quán)平均就是數(shù)學(xué)期望，公式為：，式中，為第i種收益預(yù)期，為發(fā)生的概率，為預(yù)期收益率。（2）、風(fēng)險(xiǎn)方差 方差反映的是隨機(jī)變量對數(shù)學(xué)期望的離散程度，由于我們把投資的風(fēng)險(xiǎn)定義為實(shí)際收益偏離預(yù)期收益的潛在可能性，因此，我們可以借預(yù)期收益的方差作為衡量風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)。公式為： 和 。 方差的平方根為標(biāo)準(zhǔn)離差。方差（標(biāo)準(zhǔn)離差）越大，隨機(jī)變量與數(shù)學(xué)期望的偏離越大，風(fēng)險(xiǎn)也就越大。 從經(jīng)濟(jì)角度考慮，離差有正也有負(fù)，正的離差對投資者是有利的，只有負(fù)的離差才是我們要計(jì)算的風(fēng)險(xiǎn)，因此，有人提出過半方差的標(biāo)準(zhǔn)，但因隨機(jī)變量的分布是有系統(tǒng)的，正負(fù)相當(dāng)，故沒有必要太精細(xì)，而且在大量運(yùn)算中，要把負(fù)的離差都挑出來也很不容易。（3）、樣本平均值和樣本方差 在實(shí)際生活中，隨機(jī)變量發(fā)生的概率往往是不可知的，股票收益率尤其如此，這就需要利用樣本來估計(jì)未來收益風(fēng)險(xiǎn)，計(jì)算樣本平均值和樣本方差。在計(jì)算資產(chǎn)未來收益的樣本平均值和樣本方差時(shí)，我們是以以前的收益為樣本的，并假設(shè)資產(chǎn)收益的分布概率是不變的。 樣本平均值和樣本方差給了我們評價(jià)資產(chǎn)的一個(gè)基本的可用方法，但在比較資產(chǎn)時(shí)要注意，風(fēng)險(xiǎn)不同的資產(chǎn)的收益率是不可以直接進(jìn)行比較的。2.4 馬科維茨的均值方差模型 設(shè)一個(gè)證券投資組合具有n種證券，其收益率分別為，投資者面臨的一個(gè)重要的問題就是如何對每種證券分配一個(gè)適當(dāng)?shù)臋?quán)重，從而使投資者能夠達(dá)到收益較高而同時(shí)風(fēng)險(xiǎn)較低的投資目標(biāo)。期望值向量反映了各種證券的期望收益率，方差反映了第i種證券的風(fēng)險(xiǎn)，協(xié)方差反映了第i種證券與第j種證券的相關(guān)系數(shù)，則組合證券的期望收益率為 ，組合證券的風(fēng)險(xiǎn)（即方差）為： ，用模型表示如下： S t 公式中用方差來表示投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，用均值表示投資者的期望收益。表示的意義是：在收益達(dá)到一定水平以及其他的約束條件下使投資組合的風(fēng)險(xiǎn)最小。馬科維茨投資組合思想被投資者廣泛接受，但他的定量模型是建立在一系列嚴(yán)格的假設(shè)條件基礎(chǔ)之上的，主要包括：、證券市場是有效的，證券的價(jià)格反映了證券的內(nèi)在價(jià)值，每個(gè)投資者都掌握了充分的信息，了解每種證券的期望收益率及標(biāo)準(zhǔn)差，不存在交易費(fèi)用和稅收，投資者都是價(jià)格接受者，證券是無限可分的，必要的話可以購買部分股權(quán)；、證券投資者的目標(biāo)是：在給定的風(fēng)險(xiǎn)水平上受益最大，或在給定的收益水平上風(fēng)險(xiǎn)最低，就是說，投資者都是厭惡風(fēng)險(xiǎn)的；、投資者將基于收益的均值和標(biāo)準(zhǔn)差或方差來選擇最優(yōu)投資組合，如果要他們選擇風(fēng)險(xiǎn)（方差）較高的方案，他們都要求有額外的收益作為補(bǔ)償；、投資者追求每期財(cái)富期望效用的極大化，投資者具有單周期視野，所有是非負(fù)的，即不允許買空與賣空。第三章 股票中的數(shù)學(xué)模型及優(yōu)化3.1 模型的假設(shè)與符號說明（1）、符號說明 n ：為證券的投資個(gè)數(shù)；：為選定的n種證券預(yù)期收益率的期望值向量；：為證券組合投資收益率的方差；：為n種證券投資比例系數(shù)的向量；：表示n種證券收益率的協(xié)方差矩陣；：為證券組合投資的預(yù)期收值；：這是n維單位列向量；A ：一定的風(fēng)險(xiǎn)水平。（2）、模型假設(shè)： 、我們對風(fēng)險(xiǎn)評價(jià)的兩個(gè)指標(biāo)是投資收益率均值R和收益率的方差。 、投資者都遵守主宰的原則，即在同一的風(fēng)險(xiǎn)水平下，希望得到的收益越高越好；而在獲得一定收益的水平下，希望風(fēng)險(xiǎn)越小越好。 、未考慮投資比率系數(shù)為負(fù)的問題，由于負(fù)的投資比例意味著賣空相應(yīng)的證券，而賣空行為在某些場合尤其是我國現(xiàn)在很難實(shí)現(xiàn)的，因此考慮不允許賣空的情況。 、證券市場是有效的，即市場中每種證券風(fēng)險(xiǎn)和收益的變動(dòng)及其產(chǎn)生的因素都是人所共知的。3.2 模型的建立（1）、約束收益，使風(fēng)險(xiǎn)最小的問題 我們考慮的問題是在得到一定的回報(bào)的前提下使得風(fēng)險(xiǎn)最小化，因此我們建立的模型的目標(biāo)函數(shù)是使得風(fēng)險(xiǎn)最小，約束條件是得到一定的收益。模型如下： （2）、約束風(fēng)險(xiǎn)，使收益最大的問題 我們考慮的問題是在一定的風(fēng)險(xiǎn)水平下使得收益最大化，因此我們建立的模型的目標(biāo)函數(shù)是使得受益最大，約束條件是在一定的風(fēng)險(xiǎn)水平A下。模型如下： （3）、風(fēng)險(xiǎn)與收益的比值最小問題 我們在考慮投資問題時(shí)要么是固定收益使風(fēng)險(xiǎn)最小，要么是固定風(fēng)險(xiǎn)使收益最大，能不能兩者都考慮呢？由于我們要求的是使風(fēng)險(xiǎn)最小而收益最大，因此可以考慮構(gòu)建一個(gè)新函數(shù) ，求這個(gè)函數(shù)的最小值。模型如下： 3.3 模型的求解及優(yōu)化（1）、由于模型（1）的目標(biāo)函數(shù)是個(gè)二次函數(shù)，約束條件是線性的，因此是一個(gè)二次規(guī)劃問題，對它的求解有很多種方法，在這里我們用拉格朗日方法求解。首先我們構(gòu)造拉格朗日函數(shù)： 然后根據(jù)矩陣代數(shù)理論分別對求偏導(dǎo)得： 令 =0，=0，=0 可以求出： （2）、由于模型（2）的約束條件是非線性的，因此它是一個(gè)非線性規(guī)劃問題，它的解法一般都是用迭代算法。在實(shí)際應(yīng)用中，我們一般是在Matlab中編寫程序來實(shí)現(xiàn)。（3）、模型（3）的目標(biāo)函數(shù)是非線性的，但約束條件是線性的，可以用構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的方法去做。但對于實(shí)際的問題，我們可以通過在Matlab編一個(gè)程序，很容易算出最優(yōu)的解。第四章 股票的預(yù)測與程序設(shè)計(jì)假設(shè)市場上有5種證券（或股票）可供投資，并知道其上一年的月收益率如下（%）：9.210.09.89.710.710.39.99.810.110.29.910.47.47.27.47.67.37.07.37.27.47.37.17.410.011.012.012.813.213.013.513.812.514.015.015.27.87.98.08.47.68.38.28.18.17.78.07.99.017.412.017.013.013.612.814.813.213.813.013.5我們可以得出5種股票的月平均收益率：。把數(shù)據(jù)帶入模型（1）求解，其中。在Matlab6.5軟件中編程求解如下：syms w1 w2 w3 w4 w5;w0=0.4;0.1;0.1;0.1;0.3;w=w1;w2;w3;w4;w5;e=0.147 -0.017 0.311 -0.025 0.22;-0.017 0.025 -0.052 0.001 -0.003;0.311 -0.052 2.278 0.023 0.595;-0.025 0.001 0.023 0.056 0.183;0.22 -0.003 0.595 0.183 4.794;objfun=w*e*w;r=10;7.3;13;8;14;r0=10;A=;b=;Aeq=10 7.3 13 8 14;1 1 1 1 1;beq=10;1;lb=0 0 0 0 0;w=fmincon(objfun,w0,A,b,Aeq,beq,lb)程序執(zhí)行后得到結(jié)果如下：w = 0.0000 0.0000 0.1290 0.64520.2258然后，再把數(shù)據(jù)帶入模型（3）求解，在Matlab6.5軟件中編程求解如下：syms w1 w2 w3 w4 w5;w0=0.2;0.2;0.2;0.2;0.2;e=0.147 -0.017 0.311 -0.025 0.22;-0.017 0.025 -0.052 0.001 -0.003;0.311 -0.052 2.278 0.023 0.595;-0.025 0.001 0.023 0.056 0.183;0.22 -0.003 0.595 0.183 4.794;objfun=(w*e*w)/( w*r);r=10;7.3;13;8;14;A=;b=;Aeq=1 1 1 1 1;beq=1;lb=0 0 0 0 0;w=fmincon(objfun,w0,A,b,Aeq,beq,lb)程序執(zhí)行后得到的結(jié)果是：w= 0.0000 0.0000 0.2250 0.63130.1437第五章 模型的結(jié)論 總之，證券投資者在進(jìn)行投資決策的時(shí)候最關(guān)心的是組合證券的收益和風(fēng)險(xiǎn)，所以，在借鑒和應(yīng)用現(xiàn)代投資組合理論的過程中，必須要有一個(gè)合適的模型來正確度量投資者的收益和風(fēng)險(xiǎn)，用馬科維茨的均值方差模型，從證券投資組合理論的風(fēng)險(xiǎn)度量方面著手，以盡可能分散投資風(fēng)險(xiǎn)為原則，雖然在證券市場上非理性者總是占大多數(shù)，但這涉及到每個(gè)人的主觀經(jīng)濟(jì)行為，不是純粹的數(shù)學(xué)工具所能解決的。通過建立了三個(gè)投資優(yōu)化模型，使對證券投資組合模型的應(yīng)用和研究更客觀合理，相信隨著投資理論的發(fā)展和數(shù)學(xué)分析方法的進(jìn)一步運(yùn)用，市場有效性及投資者理性都能被更好的定量描述，從而使馬科維茨證券組合投資模型具有更好的實(shí)用性。如果某個(gè)投資者為了獲得很高的收益而能夠承擔(dān)很大的風(fēng)險(xiǎn)，那么就適合于模型（1）。有些投資者不愿意冒很大的風(fēng)險(xiǎn)，即使收益少一些的話，他也能接受，那么就適合于模型（2）。另外的投資者即能獲得可觀的收益，又能把風(fēng)險(xiǎn)控制的很小，那么就適合于模型（3）。第六章 對馬科維茨理論的評價(jià)與啟示 以上我們對馬科維茨的投資組合理論做了一個(gè)概括性的介紹和分析，并在實(shí)際應(yīng)用方面做了一些探討。馬科維茨投資組合選擇理論的核心內(nèi)容是以收益率的均值和方差分別反映投資組合的盈利性和風(fēng)險(xiǎn)性，進(jìn)而描述理性投資行為的非滿足性和風(fēng)險(xiǎn)回避兩個(gè)基本特征。馬科維茨投資理論的產(chǎn)生，推動(dòng)了金融市場理論的發(fā)展和創(chuàng)新，馬科維茨、夏普和米勒一道，獲得了1990年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。6.1 對馬科維茨理論的評價(jià)（1）、金融經(jīng)濟(jì)學(xué)家傳統(tǒng)上把期望收益的最大化看作投資組合的目標(biāo)，而實(shí)際中的分散投資行為常常與此相矛盾，但分散的投資行為卻與均值方差的目標(biāo)函數(shù)相一致，且在實(shí)際的資本市場中，切實(shí)可行，易于操作。（2）、馬科維茨提出了單一資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)取決于它與其它證券資產(chǎn)的相關(guān)性的論點(diǎn)，揭示了分散風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)鍵在于選擇相關(guān)程度低的資產(chǎn)構(gòu)成資產(chǎn)組合，馬科維茨組合理論的意義是在不犧牲收益的前提下最大限度的分散風(fēng)險(xiǎn)，從而改變了關(guān)于資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的傳統(tǒng)概念，也正是在此基礎(chǔ)上夏普才提出了著名的系數(shù)。（3）、馬科維茨提出了“有效資產(chǎn)組合集”的概念，并運(yùn)用圖解法科學(xué)地確定了最優(yōu)投資比例關(guān)系，并證明了在預(yù)期收益率、方差和協(xié)方差一定的條件下，可以通過二次規(guī)劃的方法解出最優(yōu)的比例。 馬科維茨盡管系統(tǒng)的構(gòu)造了一套選擇組合的方法，并被資本市場廣泛接受和使用，但是實(shí)際應(yīng)用中與現(xiàn)實(shí)的情況出入較大，主要因?yàn)轳R科維茨在研究組合問題時(shí)，排除了消費(fèi)對投資的影響，假定期初的投資額是一個(gè)固定的數(shù)值，因此不能適用于動(dòng)態(tài)多階段的情況，其次用方差作為風(fēng)險(xiǎn)的衡量尺度只適用于對稱分布的資產(chǎn)收益，不具備一般性，也不完全符合實(shí)際。目前國內(nèi)外的研究都表明，證券投資收益大部分不能滿足對稱分布，無疑將影響最優(yōu)組合的精確性和正確性，最后馬科維茨并不能確定具體投資者的最優(yōu)組合，投資者還需依據(jù)其風(fēng)險(xiǎn)偏好函數(shù)從有效集中選擇最優(yōu)組合。6.2 馬科維茨理論的啟示 如何解決馬科維茨理論在應(yīng)用中存在的問題，使該理論成功的運(yùn)用于實(shí)際，需做到以下幾點(diǎn)：（1）、進(jìn)一步加強(qiáng)風(fēng)險(xiǎn)研究，對資產(chǎn)收益率的風(fēng)險(xiǎn)含義和它的決定機(jī)制有更深刻的認(rèn)識，對風(fēng)險(xiǎn)的各種因子進(jìn)行分析，充分利用權(quán)威部門的預(yù)測結(jié)果，結(jié)合對宏觀經(jīng)濟(jì)形勢和行業(yè)前景的預(yù)測對資產(chǎn)收益率及風(fēng)險(xiǎn)做出更準(zhǔn)確的預(yù)測。（2）、改進(jìn)資產(chǎn)收益率的預(yù)測方法，以提高其預(yù)測準(zhǔn)確度。目前在財(cái)務(wù)管理中，僅用回歸分析技術(shù)來預(yù)測公司的期望收益率，由于回歸分析只適用于因變量按某一幅度穩(wěn)定增長或降低的情形，這與公司期望收益率的決定機(jī)制不相吻合。要利用Ligstic模型、Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，研制預(yù)測產(chǎn)品收益率的模型。（3）、我國目前的資本市場尚不成熟，絕對禁止證券賣空，因此無賣空約束下的組合行為對我國證券市場有特殊的意義，可以證明無賣空以來有效地限制了投資者的風(fēng)險(xiǎn)，抑制了投機(jī)行為。參考文獻(xiàn)1 劉紅忠 著，投資學(xué)M。北京：高等教育出版社，2003。2 威廉.夏普 著，趙軍 譯，投資學(xué)M。北京：中國人民大學(xué)出版社，1998。3 羅伯特.斯特朗 著，黃卉等 譯，投資組合管理（第三版）M。北京：清華大學(xué)出版社，2005。4 高敬振 著，數(shù)學(xué)建模M。山東：山東師范大學(xué)，2008。5 哈爾.范里安 著，費(fèi)方域等 譯，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)：現(xiàn)代觀點(diǎn)M。上海：上海人民出版社，2007。6 格里高利.曼昆 著，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)（第五版）M。北京：中國人民大學(xué)出版社，2005。7 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