協(xié)整與誤差修正模型

9 3協(xié)整與誤差修正模型 一 長期均衡關(guān)系與協(xié)整二 協(xié)整檢驗三 誤差修正模型 一 長期均衡關(guān)系與協(xié)整 0 問題的提出 經(jīng)典回歸模型 classicalregressionmodel 是建立在穩(wěn)定數(shù)據(jù)變量基礎(chǔ)上的 對于非穩(wěn)定變量 不能使用經(jīng)典回歸模型 否則會出現(xiàn)虛假回歸等諸多問題 由于許多經(jīng)濟(jì)變量是非穩(wěn)定的 這就給經(jīng)典的回歸分析方法帶來了很大限制 但是 如果變量之間有著長期的穩(wěn)定關(guān)系 即它們之間是協(xié)整的 cointegration 則是可以使用經(jīng)典回歸模型方法建立回歸模型的 例如 中國居民人均消費水平與人均GDP變量的例子中 因果關(guān)系回歸模型要比ARMA模型有更好的預(yù)測功能 其原因在于 從經(jīng)濟(jì)理論上說 人均GDP決定著居民人均消費水平 而且它們之間有著長期的穩(wěn)定關(guān)系 即它們之間是協(xié)整的 cointegration 經(jīng)濟(jì)理論指出 某些經(jīng)濟(jì)變量間確實存在著長期均衡關(guān)系 這種均衡關(guān)系意味著經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)不存在破壞均衡的內(nèi)在機(jī)制 如果變量在某時期受到干擾后偏離其長期均衡點 則均衡機(jī)制將會在下一期進(jìn)行調(diào)整以使其重新回到均衡狀態(tài) 假設(shè)X與Y間的長期 均衡關(guān)系 由式描述 1 長期均衡 式中 t是隨機(jī)擾動項 該均衡關(guān)系意味著 給定X的一個值 Y相應(yīng)的均衡值也隨之確定為 0 1X 在t 1期末 存在下述三種情形之一 1 Y等于它的均衡值 Yt 1 0 1Xt 2 Y小于它的均衡值 Yt 1 0 1Xt 在時期t 假設(shè)X有一個變化量 Xt 如果變量X與Y在時期t與t 1末期仍滿足它們間的長期均衡關(guān)系 則Y的相應(yīng)變化量由式給出 式中 vt t t 1 實際情況往往并非如此 如果t 1期末 發(fā)生了上述第二種情況 即Y的值小于其均衡值 則Y的變化往往會比第一種情形下Y的變化 Yt大一些 反之 如果Y的值大于其均衡值 則Y的變化往往會小于第一種情形下的 Yt 可見 如果Yt 0 1Xt t正確地提示了X與Y間的長期穩(wěn)定的 均衡關(guān)系 則意味著Y對其均衡點的偏離從本質(zhì)上說是 臨時性 的 因此 一個重要的假設(shè)就是 隨機(jī)擾動項 t必須是平穩(wěn)序列 顯然 如果 t有隨機(jī)性趨勢 上升或下降 則會導(dǎo)致Y對其均衡點的任何偏離都會被長期累積下來而不能被消除 式Y(jié)t 0 1Xt t中的隨機(jī)擾動項也被稱為非均衡誤差 disequilibriumerror 它是變量X與Y的一個線性組合 因此 如果Yt 0 1Xt t式所示的X與Y間的長期均衡關(guān)系正確的話 式表述的非均衡誤差應(yīng)是一平穩(wěn)時間序列 并且具有零期望值 即是具有0均值的I 0 序列 從這里已看到 非穩(wěn)定的時間序列 它們的線性組合也可能成為平穩(wěn)的 例如 假設(shè)Yt 0 1Xt t式中的X與Y是I 1 序列 如果該式所表述的它們間的長期均衡關(guān)系成立的話 則意味著由非均衡誤差 式給出的線性組合是I 0 序列 這時我們稱變量X與Y是協(xié)整的 cointegrated 如果序列 X1t X2t Xkt 都是d階單整 存在向量 1 2 k 使得Zt XT I d b 其中 b 0 X X1t X2t Xkt T 則認(rèn)為序列 X1t X2t Xkt 是 d b 階協(xié)整 記為Xt CI d b 為協(xié)整向量 cointegratedvector 協(xié)整 在中國居民人均消費與人均GDP的例中 該兩序列都是2階單整序列 而且可以證明它們有一個線性組合構(gòu)成的新序列為0階單整序列 于是認(rèn)為該兩序列是 2 2 階協(xié)整 由此可見 如果兩個變量都是單整變量 只有當(dāng)它們的單整階數(shù)相同時 才可能協(xié)整 如果它們的單整階數(shù)不相同 就不可能協(xié)整 三個以上的變量 如果具有不同的單整階數(shù) 有可能經(jīng)過線性組合構(gòu)成低階單整變量 例如 如果存在 并且 那么認(rèn)為 d d 階協(xié)整是一類非常重要的協(xié)整關(guān)系 它的經(jīng)濟(jì)意義在于 兩個變量 雖然它們具有各自的長期波動規(guī)律 但是如果它們是 d d 階協(xié)整的 則它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關(guān)系 例如 前面提到的中國CPC和GDPPC 它們各自都是2階單整 并且將會看到 它們是 2 2 階協(xié)整 說明它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關(guān)系 從計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的意義上講 建立如下居民人均消費函數(shù)模型 從協(xié)整的定義可以看出 變量選擇是合理的 隨機(jī)誤差項一定是 白噪聲 即均值為0 方差不變的穩(wěn)定隨機(jī)序列 模型參數(shù)有合理的經(jīng)濟(jì)解釋 這也解釋了盡管這兩時間序列是非穩(wěn)定的 但卻可以用經(jīng)典的回歸分析方法建立回歸模型的原因 從這里 我們已經(jīng)初步認(rèn)識到 檢驗變量之間的協(xié)整關(guān)系 在建立計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中是非常重要的 而且 從變量之間是否具有協(xié)整關(guān)系出發(fā)選擇模型的變量 其數(shù)據(jù)基礎(chǔ)是牢固的 其統(tǒng)計性質(zhì)是優(yōu)良的 二 協(xié)整檢驗 1 兩變量的Engle Granger檢驗 為了檢驗兩變量Yt Xt是否為協(xié)整 Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗法 也稱為EG檢驗 第一步 用OLS方法估計方程Yt 0 1Xt t并計算非均衡誤差 得到 稱為協(xié)整回歸 cointegrating 或靜態(tài)回歸 staticregression 的單整性的檢驗方法仍然是DF檢驗或者ADF檢驗 由于協(xié)整回歸中已含有截距項 則檢驗?zāi)Ｐ椭袩o需再用截距項 如使用模型1 進(jìn)行檢驗時 拒絕零假設(shè)H0 0 意味著誤差項et是平穩(wěn)序列 從而說明X與Y間是協(xié)整的 需要注意是 這里的DF或ADF檢驗是針對協(xié)整回歸計算出的誤差項 而非真正的非均衡誤差 t進(jìn)行的 而OLS法采用了殘差最小平方和原理 因此估計量 是向下偏倚的 這樣將導(dǎo)致拒絕零假設(shè)的機(jī)會比實際情形大 于是對et平穩(wěn)性檢驗的DF與ADF臨界值應(yīng)該比正常的DF與ADF臨界值還要小 MacKinnon 1991 通過模擬試驗給出了協(xié)整檢驗的臨界值 表9 3 1是雙變量情形下不同樣本容量的臨界值 例9 3 1檢驗中國居民人均消費水平CPC與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC的協(xié)整關(guān)系 在前文已知CPC與GDPPC都是I 2 序列 而 2 10中已給出了它們的回歸式 R2 0 9981 通過對該式計算的殘差序列作ADF檢驗 得適當(dāng)檢驗?zāi)Ｐ?4 47 3 93 3 05 LM 1 0 00LM 2 0 00 t 4 47 3 75 ADF0 05 拒絕存在單位根的假設(shè) 殘差項是穩(wěn)定的 因此中國居民人均消費水平與人均GDP是 2 2 階協(xié)整的 說明了該兩變量間存在長期穩(wěn)定的 均衡 關(guān)系 2 多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗 擴(kuò)展的E G檢驗 多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗要比雙變量復(fù)雜一些 主要在于協(xié)整變量間可能存在多種穩(wěn)定的線性組合 假設(shè)有4個I 1 變量Z X Y W 它們有如下的長期均衡關(guān)系 其中 非均衡誤差項 t應(yīng)是I 0 序列 然而 如果Z與W X與Y間分別存在長期均衡關(guān)系 則非均衡誤差項v1t v2t一定是穩(wěn)定序列I 0 于是它們的任意線性組合也是穩(wěn)定的 例如 由于vt象 式中的 t一樣 也是Z X Y W四個變量的線性組合 由此 式也成為該四變量的另一穩(wěn)定線性組合 1 0 1 2 3 是對應(yīng)于 式的協(xié)整向量 1 0 0 1 1 1 是對應(yīng)于 式的協(xié)整向量 一定是I 0 序列 對于多變量的協(xié)整檢驗過程 基本與雙變量情形相同 即需檢驗變量是否具有同階單整性 以及是否存在穩(wěn)定的線性組合 在檢驗是否存在穩(wěn)定的線性組合時 需通過設(shè)置一個變量為被解釋變量 其他變量為解釋變量 進(jìn)行OLS估計并檢驗殘差序列是否平穩(wěn) 如果不平穩(wěn) 則需更換被解釋變量 進(jìn)行同樣的OLS估計及相應(yīng)的殘差項檢驗 當(dāng)所有的變量都被作為被解釋變量檢驗之后 仍不能得到平穩(wěn)的殘差項序列 則認(rèn)為這些變量間不存在 d d 階協(xié)整 檢驗程序 同樣地 檢驗殘差項是否平穩(wěn)的DF與ADF檢驗臨界值要比通常的DF與ADF檢驗臨界值小 而且該臨界值還受到所檢驗的變量個數(shù)的影響 表9 3 2給出了MacKinnon 1991 通過模擬試驗得到的不同變量協(xié)整檢驗的臨界值 2 多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗 JJ檢驗 Johansen于1988年 以及與Juselius于1990年提出了一種用極大或然法進(jìn)行檢驗的方法 通常稱為JJ檢驗 高等計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 清華大學(xué)出版社 2000年9月 P279 282 E views中有JJ檢驗的功能 三 誤差修正模型 前文已經(jīng)提到 對于非穩(wěn)定時間序列 可通過差分的方法將其化為穩(wěn)定序列 然后才可建立經(jīng)典的回歸分析模型 如 建立人均消費水平 Y 與人均可支配收入 X 之間的回歸模型 1 誤差修正模型 式中 vt t t 1 差分 X Y成為平穩(wěn)序列 建立差分回歸模型 如果Y與X具有共同的向上或向下的變化趨勢 1 如果X與Y間存在著長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系Yt 0 1Xt t且誤差項 t不存在序列相關(guān) 則差分式 Yt 1 Xt t中的 t是一個一階移動平均時間序列 因而是序列相關(guān)的 然而 這種做法會引起兩個問題 2 如果采用差分形式進(jìn)行估計 則關(guān)于變量水平值的重要信息將被忽略 這時模型只表達(dá)了X與Y間的短期關(guān)系 而沒有揭示它們間的長期關(guān)系 因為 從長期均衡的觀點看 Y在第t期的變化不僅取決于X本身的變化 還取決于X與Y在t 1期末的狀態(tài) 尤其是X與Y在t 1期的不平衡程度 另外 使用差分變量也往往會得出不能令人滿意回歸方程 例如 使用 Yt 1 Xt t回歸時 很少出現(xiàn)截距項顯著為零的情況 即我們常常會得到如下形式的方程 在X保持不變時 如果模型存在靜態(tài)均衡 staticequilibrium Y也會保持它的長期均衡值不變 但如果使用 式 即使X保持不變 Y也會處于長期上升或下降的過程中 Why 這意味著X與Y間不存在靜態(tài)均衡 這與大多數(shù)具有靜態(tài)均衡的經(jīng)濟(jì)理論假說不相符 可見 簡單差分不一定能解決非平穩(wěn)時間序列所遇到的全部問題 因此 誤差修正模型便應(yīng)運而生 誤差修正模型 ErrorCorrectionModel 簡記為ECM 是一種具有特定形式的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 它的主要形式是由Davidson Hendry Srba和Yeo于1978年提出的 稱為DHSY模型 為了便于理解 我們通過一個具體的模型來介紹它的結(jié)構(gòu) 假設(shè)兩變量X與Y的長期均衡關(guān)系為 Yt 0 1Xt t由于現(xiàn)實經(jīng)濟(jì)中X與Y很少處在均衡點上 因此實際觀測到的只是X與Y間的短期的或非均衡的關(guān)系 假設(shè)具有如下 1 1 階分布滯后形式 該模型顯示出第t期的Y值 不僅與X的變化有關(guān) 而且與t 1期X與Y的狀態(tài)值有關(guān) 由于變量可能是非平穩(wěn)的 因此不能直接運用OLS法 對上述分布滯后模型適當(dāng)變形得 或 式中 如果將 中的參數(shù) 與Yt 0 1Xt t中的相應(yīng)參數(shù)視為相等 則 式中括號內(nèi)的項就是t 1期的非均衡誤差項 式表明 Y的變化決定于X的變化以及前一時期的非均衡程度 同時 式也彌補了簡單差分模型 Yt 1 Xt t的不足 因為該式含有用X Y水平值表示的前期非均衡程度 因此 Y的值已對前期的非均衡程度作出了修正 稱為一階誤差修正模型 first ordererrorcorrectionmodel 式可以寫成 知 一般情況下 1 由關(guān)系式 1 得0 1 可以據(jù)此分析ecm的修正作用 其中 ecm表示誤差修正項 由分布滯后模型 1 若 t 1 時刻Y大于其長期均衡解 0 1X ecm為正 則 ecm 為負(fù) 使得 Yt減少 2 若 t 1 時刻Y小于其長期均衡解 0 1X ecm為負(fù) 則 ecm 為正 使得 Yt增大 體現(xiàn)了長期非均衡誤差對的控制 其主要原因在于變量對數(shù)的差分近似地等于該變量的變化率 而經(jīng)濟(jì)變量的變化率常常是穩(wěn)定序列 因此適合于包含在經(jīng)典回歸方程中 需要注意的是 在實際分析中 變量常以對數(shù)的形式出現(xiàn) 于是 1 長期均衡模型Yt 0 1Xt t中的 1可視為Y關(guān)于X的長期彈性 long runelasticity 2 短期非均衡模型Yt 0 1Xt 2Xt 1 Yt 1 t中的 1可視為Y關(guān)于X的短期彈性 short runelasticity 如具有季度數(shù)據(jù)的變量 可在短期非均衡模型Yt 0 1Xt 2Xt 1 Yt 1 t中引入更多的滯后項 更復(fù)雜的誤差修正模型可依照一階誤差修正模型類似地建立 引入二階滯后的模型為 經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮獾茸冃?可得如下二階誤差修正模型 引入三階滯后項的誤差修正模型與 式相仿 只不過模型中多出差分滯后項 Yt 2 Xt 2 多變量的誤差修正模型也可類似地建立 如三個變量如果存在如下長期均衡關(guān)系 則其一階非均衡關(guān)系可寫成 于是它的一個誤差修正模型為 1 Granger表述定理誤差修正模型有許多明顯的優(yōu)點 如a 一階差分項的使用消除了變量可能存在的趨勢因素 從而避免了虛假回歸問題 b 一階差分項的使用也消除模型可能存在的多重共線性問題 c 誤差修正項的引入保證了變量水平值的信息沒有被忽視 d 由于誤差修正項本身的平穩(wěn)性 使得該模型可以用經(jīng)典的回歸方法進(jìn)行估計 尤其是模型中差分項可以使用通常的t檢驗與F檢驗來進(jìn)行選取 等等 因此 一個重要的問題就是 是否變量間的關(guān)系都可以通過誤差修正模型來表述 2 誤差修正模型的建立 如果變量X與Y是協(xié)整的 則它們間的短期非均衡關(guān)系總能由一個誤差修正模型表述 0 1 式中 t 1是非均衡誤差項或者說成是長期均衡偏差項 是短期調(diào)整參數(shù) 就此問題 Engle與Granger1987年提出了著名的Grange表述定理 Grangerrepresentaiontheorem 對于 1 1 階自回歸分布滯后模型Yt 0 1Xt 2Xt 1 Yt 1 t 如果Yt I 1 Xt I 1 那么 的左邊 Yt I 0 右邊的 Xt I 0 因此 只有Y與X協(xié)整 才能保證右邊也是I 0 首先對變量進(jìn)行協(xié)整分析 以發(fā)現(xiàn)變量之間的協(xié)整關(guān)系 即長期均衡關(guān)系 并以這種關(guān)系構(gòu)成誤差修正項 然后建立短期模型 將誤差修正項看作一個解釋變量 連同其它反映短期波動的解釋變量一起 建立短期模型 即誤差修正模型 注意 由于 Y lagged Y X t 1 t0 1中沒有明確指出Y與X的滯后項數(shù) 因此 可以是多個 同時 由于一階差分項是I 0 變量 因此模型中也允許使用X的非滯后差分項 Xt Granger表述定理可類似地推廣到多個變量的情形中去 因此 建立誤差修正模型 需要 由協(xié)整與誤差修正模型的的關(guān)系 可以得到誤差修正模型建立的E G兩步法 第一步 進(jìn)行協(xié)整回歸 OLS法 檢驗變量間的協(xié)整關(guān)系 估計協(xié)整向量 長期均衡關(guān)系參數(shù) 第二步 若協(xié)整性存在 則以第一步求到的殘差作為非均衡誤差項加入到誤差修正模型中 并用OLS法估計相應(yīng)參數(shù) 需要注意的是 在進(jìn)行變量間的協(xié)整檢驗時 如有必要可在協(xié)整回歸式中加入趨勢項 這時 對殘差項的穩(wěn)定性檢驗就無須再設(shè)趨勢項 另外 第二步中變量差分滯后項的多少 可以殘差項序列是否存在自相關(guān)性來判斷 如果存在自相關(guān) 則應(yīng)加入變量差分的滯后項 2 Engle Granger兩步法 3 直接估計法 也可以采用打開誤差修整模型中非均衡誤差項括號的方法直接用OLS法估計模型 但仍需事先對變量間的協(xié)整關(guān)系進(jìn)行檢驗 如對雙變量誤差修正模型 可打開非均衡誤差項的括號直接估計下式 這時短期彈性與長期彈性可一并獲得 需注意的是 用不同方法建立的誤差修正模型結(jié)果也往往不一樣 經(jīng)濟(jì)理論指出 居民消費支出是其實際收入的函數(shù) 以中國國民核算中的居民消費支出經(jīng)過居民消費價格指數(shù)縮減得到中國居民實際消費支出時間序列 C 以支出法GDP對居民消費價格指數(shù)縮減近似地代表國民收入時間序列 GDP 時間段為1978 2000 表9 3 3 例9 3 2中國居民消費的誤差修正模型 1 對數(shù)據(jù)lnC與lnGDP進(jìn)行單整檢驗 容易驗證lnC與lnGDP是一階單整的 它們適合的檢驗?zāi)Ｐ腿缦?3 81 4 01 2 66 2 26 2 54 LM 1 0 38LM 2 0 67LM 3 2 34LM 4 2 46 首先 建立lnC與lnGDP的回歸模型 2 檢驗lnC與lnGDP的協(xié)整性 并建立長期均衡關(guān)系 0 30 57 48 R2 0 994DW 0 744 發(fā)現(xiàn)有殘關(guān)項有較強的一階自相關(guān)性 考慮加入適當(dāng)?shù)臏箜?得lnC與lnGDP的分布滯后模型 1 63 6 62 4 92 2 17 R2 0 994DW 1 92LM 1 0 00LM 2 2 31 自相關(guān)性消除 因此可初步認(rèn)為是lnC與lnGDP的長期穩(wěn)定關(guān)系 殘差項的穩(wěn)定性檢驗 4 32 R2 0 994DW 2 01LM 1 0 04LM 2 1 34 t 4 32 3 64 AD