定積分的應(yīng)用課件

內(nèi)容提要1 元素法 2 平面圖形的面積 3 立體的體積 教學(xué)要求1 熟練掌握應(yīng)用微元法去解決積分中的實(shí)際應(yīng)用題 2 熟悉各種平面面積的積分表達(dá)方法 3 熟練掌握應(yīng)用微元法求體積的方法 4 能用定積分表達(dá)某些物理量 定積分的應(yīng)用 回顧 用定積分求曲邊梯形面積的問題 及直線 所圍成的曲邊梯形的面積 其求解步驟如下 一 定積分的微元法 第一步 分割 將區(qū)間 任意分成 個(gè)小區(qū)間 由此曲邊梯形就相應(yīng)地分成 個(gè)小曲邊梯形 第二步 近似 形面積之和 即 所求的曲邊梯形面積A為每個(gè)小曲邊梯 為底 的小矩形面積 近似代替小曲邊梯形面積 第三步 求和 第四步 取極限 總結(jié) 上述四步中 由第一步知 有關(guān) 部分量的和 可加性 分成許多小區(qū)間 的面積A這個(gè)量就相應(yīng)地分成許多部分量 如果把區(qū)間 具有 這種性質(zhì)稱為所求量A對(duì)區(qū)間 則所求 而A是所有 所求面積A這個(gè)量與 就是定積分的被積表達(dá)式 上述第二步中的近似表達(dá)式 可確定定積分的被積表達(dá)式 方法是 于是有 再將區(qū)間 則 可寫為 稱 為面積A的微元 于是 即 記為 一般地 當(dāng)所求量F符合下列條件 以上方法稱為 這就給出了定積分的被積表達(dá)式 于是 微元法 微元法解決實(shí)際問題的一般步驟如下 1 根據(jù)問題的具體情況 選取一個(gè)變量 例如取 為積分變量 并確定它的變化區(qū)間 以上步驟要熟練掌握 如 平面圖形的面積 引力和平均值 液體的壓力 變力做功 平面曲線的弧長(zhǎng) 體積 注意微元法解決實(shí)際問題的使用對(duì)象 具有可加性的量 等等 二 平面圖形的面積 1 如果 則 S S 即 一 在直角坐標(biāo)系下的面積問題 如圖 則 用微元法 用微元法 所圍成的圖形 例1計(jì)算由拋物線 的面積A 解 用微元法 確定積分區(qū)間 解 方法一 選擇x作積分變量 從而得到積分區(qū)間 區(qū)間上任取一小區(qū) 間 dA 面積微元 確定積分區(qū)間 面積微元 方法二 選擇y作積分變量 解得y 0 y 1 從而得到積分區(qū)間 區(qū)間上任取一小區(qū) 間 1 y y dy dA 解 求兩曲線的交點(diǎn) 選為積分變量 選x作積分變量時(shí) 需求 兩塊面積 作面積微元dA dA 成的圖形的面積 解 由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積 注意 如果曲邊梯形的曲邊 的方程為參數(shù)方程 曲邊梯形的面積 由上例可知 解 由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積 注意 面積微元 曲邊扇形的面積 二 在極坐標(biāo)系下的面積問題 所圍成的圖形 稱為曲邊扇形 解 用微元法 解 解 所圍平面圖形的面積A 例2求心形線 解 由對(duì)稱性知總面積 4倍第一象限部分面積 求雙紐線 所圍平面圖形的面積 2 在極坐標(biāo)系下的面積問題 三 體積 旋轉(zhuǎn)體 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 一 旋轉(zhuǎn)體的體積 由一個(gè)平面圖形繞這個(gè)平面內(nèi)一條 直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸 取橫坐標(biāo)x為積分變量 一般地 由連續(xù)曲線 直線 的立體 它的變化區(qū)間為 相應(yīng)于 上任一小區(qū) 小曲邊梯形 繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片 近似地等于以f x 為底面半徑 dx為高的圓柱體的 體積 即體積微元為 于是 在閉區(qū)間 a b 上作定積分 得所求旋轉(zhuǎn)體 體積為 的體積 例 1 圓錐體的體積 解 直線的方程為 利用旋轉(zhuǎn)體體積公式 知 例2計(jì)算橢圓 繞x軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)體 的體積 解 這個(gè)旋轉(zhuǎn)體可以看成 以半個(gè)橢圓 繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體 取積分變量為x 利用旋轉(zhuǎn)體體積公式 知 所求的體積為 求星形線 繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積 解 由旋轉(zhuǎn)體的體積公式 知 直線 繞y軸旋轉(zhuǎn) 體積為 熟記 一周而成的立體 旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的 體積 圖形 解 二 平行截面面積為已知的立體的體積 設(shè)一立體位于過點(diǎn)x a x b且垂直于x軸的兩平面之間 從而 用垂直于x軸的任一平面截此立體所得的截面積A x 是x的已知函數(shù) 取x為積分變量 在區(qū)間 a b 上任取一小區(qū)間 過其端點(diǎn)作垂直x軸的平面 作體積微元 x x dx 以A x 為底 dx為高作柱體 用微元法 解 取坐標(biāo)系如圖 底半圓方程為 截面面積 立體體積 而垂直于底面上一條固 定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積 解 設(shè)截面面積為 取坐標(biāo)系如圖 底圓方程 解 設(shè)截面面積為 恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算 小結(jié) 1 在直角坐標(biāo)系下的面積問題 注意 2 旋轉(zhuǎn)體的體積 3 平