3.1.2數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例.doc

庖丁巧解牛知識(shí)巧學(xué) 一、數(shù)學(xué)歸納法的定義證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題,可用下列方法來證明它們的正確性:(1)驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1)時(shí)命題成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，kn0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.資完成這兩步，就可以斷定這個(gè)命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法. 從數(shù)學(xué)歸納法的定義我們可以看出，它強(qiáng)調(diào)的就是兩個(gè)基本步驟.數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，是問題的兩個(gè)方面，一個(gè)是命題成立的基礎(chǔ)，一個(gè)是命題之間可遞推的依據(jù)，二者缺一不可.缺步驟（2），則證明就是“一葉障目，以一代全”不能保證命題對(duì)所有的自然數(shù)n都成立；而缺步驟（1），則證明就成了“空中樓閣”，也難以保證命題對(duì)所有自然數(shù)n都成立.我們通常稱第（1）步為奠基步驟. 記憶要訣 總結(jié)以上的分析，歸納如下：“奠基步驟不能少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.”如果同學(xué)們能正確地理解了數(shù)學(xué)歸納法證明的要義，才能輕松自如地運(yùn)用它，而不致誤用.誤區(qū)警示 數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，是問題的兩個(gè)方面，一個(gè)是命題成立的基礎(chǔ)，一個(gè)是命題之間可遞推的依據(jù)，二者缺一不可. 疑問：既然第（2）步已經(jīng)證明了任兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)對(duì)應(yīng)的命題的遞推關(guān)系，那么第（1）步是否是多余的？請(qǐng)看如下例子：對(duì)于欲證的命題：1+2+3+n=n(n+1)+1.第二步證明為:若n=k時(shí)命題成立，即1+2+3+k=k(k+1)+1,則當(dāng)n=k+1時(shí)，1+2+3+k+(k+1)=k(k+1)+1+(k+1)=(k+1)(k+2)+1,即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.但我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n=1時(shí)，左式=1，右式=2，顯然命題不成立.辨析比較 歸納法與數(shù)學(xué)歸納方法 我們?cè)谘芯繂栴}時(shí)，還常常用到如下的一種思維方法，即從特殊到一般的思維方法，舉例如下：1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42, ,我們由此發(fā)現(xiàn)并得出如下結(jié)論：1+2+3+（n-1）+n+(n-1)+3+2+1=n2(nN). 這就是考察具有1+2+3+(n-1)+n+(n-1)+3+2+1特征的某幾個(gè)式子的數(shù)值后，發(fā)現(xiàn)了蘊(yùn)含其中的共性之后而得到的一個(gè)結(jié)論.這種思維方法（或推理方法）我們稱之為歸納法.由歸納法得到的結(jié)論未必正確，接下來的問題就是確認(rèn)由歸納法得到的結(jié)論的正確性.確認(rèn)的方法是什么呢？或許結(jié)論不正確，那么可尋找一反例推翻該結(jié)論；或許結(jié)論是正確的，那么我們需對(duì)此予以嚴(yán)格的證明.如何證明？ 注意到1+2+3+（n-1）+n+（n-1）+3+2+1=n2（nN），實(shí)際上是n=1，2，3，的無窮多個(gè)等式的概括寫法，因此要證明上述等式，就需要對(duì)n=1，2，3，的無窮多個(gè)等式逐一證明.事實(shí)上，這是做不到的.因此需要一種用以證明這種結(jié)論的一般證明方法，這種證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法. 從上述可知，歸納法和數(shù)學(xué)歸納法是有區(qū)別的.歸納法只是我們從特殊到一般的思維方法，它歸納的結(jié)論未必正確，而數(shù)學(xué)歸納法是一種變態(tài)的演繹法，是證明與自然數(shù)有關(guān)的某些命題的方法.二、數(shù)學(xué)歸納法的特點(diǎn) 1.無窮性：數(shù)學(xué)歸納法所證明的與自然數(shù)有關(guān)的命題，實(shí)際上就是關(guān)于自然數(shù)的無窮性命題，命題的無窮性是我們用演繹法無法證明的，所以數(shù)學(xué)歸納法恰恰就是有效地利用遞推關(guān)系證明了命題無窮性的正確. 2.有窮性：與自然數(shù)有關(guān)的命題具有無窮性，但是數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟是有窮的，僅僅只有兩個(gè)步驟，但這兩個(gè)步驟是缺一不可的.數(shù)學(xué)歸納法是在可靠的基礎(chǔ)上利用命題本身具有傳遞性,運(yùn)用“有限”的手段來解決“無限”的問題.三、數(shù)學(xué)歸納法的核心 在驗(yàn)證命題n=n0正確的基礎(chǔ)上,證明命題具有傳遞性,而第二步實(shí)際上是以一次邏輯的推理代替了無限的驗(yàn)證過程.所以說數(shù)學(xué)歸納法是一種合理、切實(shí)可行的科學(xué)證題方法，實(shí)現(xiàn)了有限到無限的飛躍. 深化升華 如何理解第二步驟？能否正確理解它關(guān)系到我們能否正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題.同學(xué)們知道無窮多塊多米諾骨牌倒下的兩個(gè)必要條件：(1)起始的第一塊骨牌倒下；(2)如果任意相鄰的兩塊骨牌中前一塊倒下導(dǎo)致后一塊倒下.那么我們就可保證在啟動(dòng)第一塊骨牌后，所有的骨牌都會(huì)倒下.上述數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，是否很像多米諾骨牌的兩個(gè)必要條件.資 數(shù)學(xué)歸納法的第（2）步要做的是證明一種遞推關(guān)系，即由n=k（kN，kn0）時(shí)命題成立去證明n=k+1時(shí)命題成立，而“n=k時(shí)命題成立”是作為導(dǎo)出“n=k+1時(shí)命題成立”的前提，因此采用了“假設(shè)當(dāng)n=k（n0）時(shí)命題成立”的形式.切勿理解為n=k時(shí)，命題是果真成立，它只不過是為了導(dǎo)出n=k+1時(shí)命題成立的一個(gè)假設(shè)罷了，也正因?yàn)槿绱耍谕谱Cn=k+1時(shí)的命題時(shí)，需用到n=k時(shí)所假設(shè)的命題.（我們通常把這一假設(shè)稱為“歸納假設(shè)”）典題熱題知識(shí)點(diǎn)一： 數(shù)學(xué)歸納法的定義例1 求證：12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1).思路分析：本題就是考查對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解，兩個(gè)步驟一個(gè)是命題成立的基礎(chǔ)，一個(gè)是命題之間可遞推的依據(jù)，二者缺一不可.證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左式=12=1，右式=1(1+1)(21+1)=1,左式=右式.當(dāng)n=1時(shí)，命題成立（奠基步驟）.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(1)時(shí)，命題成立，即12+22+32+k2=k(k+1)(2k+1).（歸納假設(shè)）則當(dāng)n=k+1時(shí)，右式=12+22+32+k2+(k+1)=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=(k+1)k(2k+1)+6(k+1)=(k+1)(k+2)(2k+3)=右式.當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.由（1）（2）可知，對(duì)于一切自然數(shù)n，命題都成立.（結(jié)論）方法歸納 用數(shù)學(xué)歸納法證題要注意下面幾點(diǎn)：(1)證題的兩個(gè)步驟缺一不可，要認(rèn)真完成第一步的驗(yàn)證過程；(2)成敗的關(guān)鍵取決于第二步對(duì)n=k+1的證明：突破對(duì)“歸納假設(shè)”的運(yùn)用；用好命題的條件；(3)正確選擇與命題有關(guān)的知識(shí)及變換技巧.知識(shí)點(diǎn)二： 數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明下述整除問題：求證：11n+2+122n+1(nN*)被133整除.思路分析：數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)數(shù)或式的整除問題時(shí)，要充分利用整除的性質(zhì)，若干個(gè)數(shù)（或整式）都能被某一個(gè)數(shù)（或整式）整除，則其和、差、積也能被這個(gè)數(shù)（或整式）整除.證明：()當(dāng)n=1時(shí)，113+123=1 331+1 728=3 059=13323能被133整除，當(dāng)n=1時(shí)命題正確；()假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題正確，即11k+2+122k+1能被133整除，當(dāng)n=k+1時(shí)，11k+3+122k+3=11(11k+2+122k+1)+122k+3-11122k+1=11(11k+2+122k+1)+122k+1(122-11)=11(11k+2+122k+1)+122k+1133.能被133整除，即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也正確.由()()知命題對(duì)nN*都正確.方法歸納 （1）證明整除性問題時(shí)，常用到以下整除的性質(zhì)：若a|b，且a|c，則a|(bc);若a|b，則a|bc，“a|b”表示a能整除b或b能被a整除.（2）在由n=k時(shí)命題成立，證明n=k+1，命題也成立時(shí)，要注意設(shè)法化去增加的項(xiàng)，通常要用到拆項(xiàng)、結(jié)合、添項(xiàng)、減項(xiàng)、分解、化簡(jiǎn)等技巧.知識(shí)點(diǎn)三： 數(shù)學(xué)歸納法證明幾何計(jì)數(shù)問題例3 已知n個(gè)圓中每?jī)蓚€(gè)圓相交于兩點(diǎn)，且無三圓過同一點(diǎn)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：這n個(gè)圓將平面劃分成n2-n+2塊區(qū)域.思路分析：用數(shù)學(xué)歸納法解幾何問題.證明：（）當(dāng)n=1時(shí),1個(gè)圓將平面分成2部分，而2=12-1+2，當(dāng)n=1時(shí)命題正確.()假設(shè)n=k時(shí)命題正確，即滿足條件的k個(gè)圓將平面劃分成k2-k+2部分，當(dāng)n=k+1時(shí)，平面上增加了第k+1個(gè)圓，它與原來的k個(gè)圓的每一個(gè)圓都相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，共2k個(gè)交點(diǎn).而這2k個(gè)點(diǎn)將第k+1個(gè)圓分成2k段弧，每段弧將原來的一塊區(qū)域隔成了兩塊區(qū)域，區(qū)域的塊數(shù)增加了2k塊，k+1個(gè)圓將平面劃分成的塊數(shù)為(k2-k+2)+2k=k2+k+2=(k+1)2-(k+1)+2，n=k+1時(shí)命題也正確，根據(jù)()()知命題對(duì)nN*都正確.誤區(qū)警示 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題是教材中一種題型，但由于這種題型的證明主要是文字推理為主，所以語言一定精確，要能準(zhǔn)確地描述第二步的假設(shè)，合理清晰地推導(dǎo)出結(jié)論.知識(shí)點(diǎn)四： 數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題例4 用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果an是一個(gè)等差數(shù)列，那么an=a1+(n-1)d對(duì)一切nN*都成立.思路分析：我們知道等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式都是通過遞推得出結(jié)論的，無法用演繹法證明它們的無窮性，數(shù)學(xué)歸納法以一次邏輯的推理代替了無限的驗(yàn)證過程.證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左=a1，右=a1+(1-1)d=a1，所以等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN)時(shí)等式成立，即ak=a1+(k-1)d.那么ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+(k+1)-1d.當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立，由(1)(2)知對(duì)任何nN*等式成立.方法歸納 因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)，所以在關(guān)于這類問題的證明上，如果我們無法確定其他比較簡(jiǎn)便的證明方法，那么數(shù)學(xué)歸納法是證明它們的一種有效方法.知識(shí)點(diǎn)五： 數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問題例5 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）1(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=n2(n-1)(n+1).（2）=n2n-1.思路分析：(1)恒等式是我們用數(shù)學(xué)歸納法證明的常見題型，關(guān)鍵就是第二步n=k+1時(shí)的提取公式、分解因式等技巧的合理使用.(2)這是一個(gè)有關(guān)組合數(shù)的問題，它的明顯特征是每個(gè)組合數(shù)的系數(shù)與組合數(shù)的上標(biāo)相同，同時(shí)它又是一個(gè)自然數(shù)命題，這就決定了它的證明方法的多樣性.證明：(1)（）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1(12-12)=0，右邊=1202=0，左邊=右邊，n=1時(shí)等式成立.()假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)=k2(k-1)(k+1)，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1(k+1)2-12+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k+1)2-(k+1)2=1(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)+1(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1)=k2(k-1)(k+1)+(2k+1)=k(k+1)(k-1)+2(2k+1)=k(k+1)(k2+3k+2)=(k+1)2k(k+2)=右邊，即n=k+1時(shí)等式成立，根據(jù)()與()，等式對(duì)nN*都正確.(2)方法1：()當(dāng)n=1時(shí)，左邊=C11=1=20=右邊，等式成立.()假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即=k2-1，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=2k+2k2k-1=（k+1）2k=右邊.等式也成立.由()()知等式對(duì)nN*都成立.方法2：f(n)=0,f(n)=+(n-1)+0,由+得：2f（n）=n(+2+3+n)=n2n,f(n)=n2n-1.方法歸納 （1）在第（）步的證明中，必須清楚n=k時(shí)，n=k+1時(shí)所列等式的左右兩邊分別如何表達(dá)，并能正確使用歸納假設(shè)，尤其是代數(shù)變形能力（如因式分解、通分、拆項(xiàng)、湊項(xiàng)）的運(yùn)用要熟練.（2）證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，數(shù)學(xué)歸納法并不是唯一的證明方法，第2小題就很好地說明了這個(gè)問題，所以我們應(yīng)該優(yōu)先考慮常用的通法，現(xiàn)成的公式、定理等來證明，迅速作出抉擇是否用數(shù)學(xué)歸納法證明，以達(dá)到“化繁為簡(jiǎn)”的目的.問題探究交流討論探究 問題 數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)命題的有效手段，是不是所有的自然數(shù)命題都能用數(shù)學(xué)歸納法證明呢？我們一起來嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明這樣一個(gè)命題：（nN+）.探究過程:這是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的不等式命題，同學(xué)們已經(jīng)能熟練的運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，同學(xué)們會(huì)很自然的想到用數(shù)學(xué)歸納法來證明，那么大家不妨嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟來嘗試一下. 同學(xué)甲：（1）n=1時(shí)，左邊=，右邊=，則左邊右邊，不等式成立. 同學(xué)乙：（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即+.當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=.n=k+1時(shí)，不等式也成立.根據(jù)（1）（2），原不等式對(duì)nN+都成立.老師：上面的證明正確嗎？如果不正確，問題出在哪里？同學(xué)丙：上面的證明不正確，可能是代數(shù)變形的方法不對(duì)吧.老師：甲、乙兩位同學(xué)是嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟來證明的，這本身并沒有問題，真正的錯(cuò)誤原因是+0,且前n項(xiàng)和Sn=(an+)，求a1,a2,a3,a4,猜想an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.探究過程:我們通過計(jì)算數(shù)列an的前4項(xiàng)，去主動(dòng)發(fā)現(xiàn)它們所具備的規(guī)律（在形式上與自然數(shù)的關(guān)系），大膽猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明我們猜想的正確性. 同學(xué)甲：通過計(jì)算，解得a1=1;a2=-1;a3=-;a4=-. 同學(xué)乙：由以上所求得的結(jié)果之形式，不難猜想an=. 同學(xué)丙：下面證明這個(gè)猜想：()當(dāng)n=1時(shí)，a1=1=，猜想正確.（）假設(shè)n=k時(shí)，猜想正確，即ak=.則n=k+1時(shí)，Sk+1=Sk+ak+1=(a