2020屆華南師大附中、實(shí)驗(yàn)中學(xué)、廣雅中學(xué)、深圳中學(xué)高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2020屆廣東省華南師大附中、實(shí)驗(yàn)中學(xué)、廣雅中學(xué)、深圳中學(xué)高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】C【解析】解出集合中的范圍,再求交集即可.【詳解】由有,即,又中即.故故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查二次不等式的求解與集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.2已知，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（ ）A橢圓B雙曲線C拋物線D線段【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合三角不等式可得出點(diǎn)的軌跡.【詳解】的幾何意義為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，即，另一方面，由三角不等式得.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，等號(hào)成立.因此，點(diǎn)的軌跡為線段.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的幾何意義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離之和并結(jié)合三角不等式求解是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.3已知，則的大小關(guān)系是（ ）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)特殊值0和1與指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐一比較大小.【詳解】對(duì)于，所以：故選：A【點(diǎn)睛】此題考查指數(shù)對(duì)數(shù)的大小比較，關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和特殊函數(shù)值的大小關(guān)系，利用不等式的傳遞性解題.4“干支紀(jì)年法”是中國(guó)歷法上自古以來(lái)使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字開(kāi)始，“地支”以“子”字開(kāi)始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配順序?yàn)椋杭鬃?、乙丑、丙寅癸酉，甲戌、乙亥、丙子癸未，甲申、乙酉、丙戌癸巳，共得?0個(gè)組合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無(wú)窮無(wú)盡。2019年是“干支紀(jì)年法”中的己亥年，那么2026年是“干支紀(jì)年法”中的A甲辰年B乙巳年C丙午年D丁未年【答案】C【解析】按照題中規(guī)則依次從年列舉到年，可得出答案?！驹斀狻扛鶕?jù)規(guī)則，年是己亥年，年是庚子年，年是辛丑年，年是壬寅年，年是癸卯年，年是甲辰年，年是乙巳年，年是丙午年，故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查合情推理的應(yīng)用，理解題中“干支紀(jì)年法”的定義，并找出相應(yīng)的規(guī)律，是解本題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力，屬于中等題。5函數(shù)的部分圖象大致是（ ）ABCD【答案】B【解析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性以及函數(shù)值的正負(fù)變化，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)可得答案.【詳解】由，可得，故是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，排除C,D.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，一般利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)分析函數(shù)圖象的特征，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)得到答案.6在普通高中新課程改革中，某地實(shí)施“3+1+2”選課方案該方案中“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門，假設(shè)每門學(xué)科被選中的可能性相等，那么政治和地里至少有一門被選中的概率是（）ABCD【答案】D【解析】本題可從反面思考，兩門至少有一門被選中的反面是兩門都沒(méi)有被選中，兩門都沒(méi)被選中包含1個(gè)基本事件，代入概率的公式，即可得到答案.【詳解】設(shè)兩門至少有一門被選中，則兩門都沒(méi)有選中，包含1個(gè)基本事件，則，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，其中解答中合理應(yīng)用對(duì)立事件和古典概型及其概率的計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7若向量滿足，且，則向量的夾角為（ ）A30B60C120D150【答案】B【解析】由,平方求出,代入向量夾角公式,求出的夾角余弦值,即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)的夾角為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查向量的模長(zhǎng)和向量的夾角計(jì)算,著重考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8某程序框圖如圖所示，其中，若輸出的，則判斷框內(nèi)可以填入的條件為（ ）ABCD【答案】A【解析】因?yàn)?，此程序框圖是對(duì)函數(shù)求和，利用裂項(xiàng)相消法求和，可知，可知2019滿足條件進(jìn)入循環(huán)，2020不滿足條件沒(méi)有進(jìn)入循環(huán)，根據(jù)選項(xiàng)得到正確結(jié)果.【詳解】由，解得，可得n的值為2019時(shí).滿足判斷框內(nèi)的條件，當(dāng)n的值為2020時(shí)，不滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出S的值，故判斷框內(nèi)可以填人的條件為“？”.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)循環(huán)框圖的輸出結(jié)果填寫判斷框的內(nèi)容，關(guān)鍵是分析出滿足輸出結(jié)果時(shí)的值，再根據(jù)選項(xiàng)判斷結(jié)果.9設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于A18B36C45D60【答案】C【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)已知條件，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等差數(shù)列，所以由得，即，而.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.10已知函數(shù)，那么下列命題中假命題是（ ）A是偶函數(shù)B在上恰有一個(gè)零點(diǎn)C是周期函數(shù)D在上是增函數(shù)【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),逐個(gè)判斷各選項(xiàng)的真假【詳解】對(duì)于，函數(shù)，定義域?yàn)椋覞M足，所以為定義域上的偶函數(shù)，正確；對(duì)于，時(shí)，且，在上恰有一個(gè)零點(diǎn)是，正確；對(duì)于C，根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的周期性知，函數(shù)是最小正周期為的周期函數(shù)， 正確；對(duì)于D，時(shí)，且，在上先減后增，D錯(cuò)誤故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的應(yīng)用以及零點(diǎn)的求法11在三棱錐中，則三棱錐外接球的體積是（ ）ABCD【答案】B【解析】三棱錐是正三棱錐，取為外接圓的圓心，連結(jié)，則平面，設(shè)為三棱錐外接球的球心，外接球的半徑為，可求出，然后由可求出半徑，進(jìn)而求出外接球的體積.【詳解】由題意，易知三棱錐是正三棱錐，取為外接圓的圓心，連結(jié)，則平面，設(shè)為三棱錐外接球的球心.因?yàn)?，所?因?yàn)椋?設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，解得，故三棱錐外接球的體積是.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球體積的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.12已知橢圓的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)若，則的方程為（ ）.ABCD【答案】A【解析】根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理列方程可解得，可得橢圓的方程【詳解】解：，又，又，在軸上在中，在中，由余弦定理可得，根據(jù)，可得，解得，所以橢圓的方程為：故選：【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義及余弦定理，屬中檔題二、填空題13曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)【答案】【解析】由題可判斷出點(diǎn)在曲線上，所以通過(guò)求導(dǎo)求出切線的斜率，把斜率和點(diǎn)代入點(diǎn)斜式方程即可【詳解】點(diǎn)（0，1）在曲線上，又由題意，斜率k，所求方程為：，即yx+1故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14某工廠為了解產(chǎn)品的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取了100個(gè)樣本.若樣本數(shù)據(jù)，的方差為16，則數(shù)據(jù)，的方差為_(kāi).【答案】64【解析】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，的方差為，得出對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，的方差為【詳解】樣本數(shù)據(jù)，的方差為16，所以數(shù)據(jù)，的方差為.故答案為：64【點(diǎn)睛】本題考查了方差的性質(zhì)，需熟記性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15設(shè)為雙曲線：的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與圓交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為_(kāi).【答案】【解析】由題意畫(huà)圖，先求出，再由列式求雙曲線的離心率.【詳解】由題意，把代入，得，再由，得，即，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.16在中，角的對(duì)邊分別為，且為銳角，則面積的最大值為_(kāi).【答案】【解析】由，利用正弦定理求得.，再由余弦定理可得，利用基本不等式可得，從而利用三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又，所以，又為銳角，可得.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，即當(dāng)時(shí)，面積的最大值為. 故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題. 對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.三、解答題17在等比數(shù)列中，公比為，.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（）；（）【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式確定，從而求出公比即可求解. （2）利用錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（）因?yàn)楣葹榈牡缺葦?shù)列中，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)成立.此時(shí)公比，所以.（）因?yàn)?，所以?故數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.18如圖，在直三棱柱中，是的中點(diǎn)，.（）求證：平面；（）異面直線和所成角的余弦值為，求幾何體的體積.【答案】（）證明見(jiàn)解析；（）2【解析】（）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，證出，利用線面平行的判定定理即可證出.（）根據(jù)題意可求出，在中，利用余弦定理求出，由結(jié)合三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】（）如圖，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)樵谥比庵?，四邊形是矩形，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（）因?yàn)槔庵侵比庵?，因?yàn)椋?，因?yàn)楫惷嬷本€和所成角的余弦值為.所以，因?yàn)?，所?根據(jù)余弦定理，在中，可得，因?yàn)椋杂晒垂啥ɡ砜傻?，因?yàn)?，所以平面，同理平面，所?所以幾何體的體積為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定定理、三棱錐的體積公式，在證明線面平行時(shí)，需先證線線平行，此題屬于中檔題.19已知某保險(xiǎn)公司的某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)0123保費(fèi)（元）隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的400名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到下表：出險(xiǎn)次數(shù)0123頻數(shù)2808024124該保險(xiǎn)公司這種保險(xiǎn)的賠付規(guī)定如下：出險(xiǎn)序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上賠付金額（元）0將所抽樣本的頻率視為概率.（）求本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值；（）按保險(xiǎn)合同規(guī)定，若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)3次，則可獲得賠付元；若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)6次，則可獲得賠付元；依此類推，求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值；（）續(xù)保人原定約了保險(xiǎn)公司的銷售人員在上午10:3011:30之間上門簽合同，因?yàn)槔m(xù)保人臨時(shí)有事，外出的時(shí)間在上午10:4511:05之間，請(qǐng)問(wèn)續(xù)保人在離開(kāi)前見(jiàn)到銷售人員的概率是多少？【答案】（）；（）；（）【解析】（）根據(jù)題意利用頻率估計(jì)概率，結(jié)合表格數(shù)據(jù)，列出保費(fèi)的分布列，進(jìn)而可求出續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值,（）根據(jù)題意利用頻率估計(jì)概率，結(jié)合表格數(shù)據(jù)，列出賠償金額的分布列，進(jìn)而可求出續(xù)保人所獲賠付金額的平均值.（）設(shè)保險(xiǎn)公司銷售人員到達(dá)的時(shí)間為，續(xù)保人離開(kāi)的時(shí)間為，看成平面上的點(diǎn)，全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，再列出兩人能?jiàn)面滿足的條件，利用幾何概型概率的求法即可求解.【詳解】（）由題意可得：保費(fèi)（元）概率0.70.20.060.030.01本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值為：；（）由題意可得：賠償金額（元）0概率0.70.20.060.030.01本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值：；（）設(shè)保險(xiǎn)公司銷售人員到達(dá)的時(shí)間為，續(xù)保人離開(kāi)的時(shí)間為，看成平面上的點(diǎn)，全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋瑒t區(qū)域的面積.事件表示續(xù)保人在離開(kāi)前見(jiàn)到銷售人員，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，即圖中的陰影部分，其面積.所以，即續(xù)保人在離開(kāi)前見(jiàn)到銷售人員的概率是.【點(diǎn)睛】本題考查了分布列、根據(jù)分布列求均值以及幾何概型的概率求法，綜合性比較強(qiáng)，屬于中檔題.20已知點(diǎn)，在橢圓：上，其中為橢圓的離心率，橢圓的右頂點(diǎn)為.（）求橢圓的方程；（）直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)，求證：.【答案】（）；（）證明見(jiàn)解析【解析】（）將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合，解方程即可求解. （）設(shè)，設(shè)直線：，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理解得，由、三點(diǎn)共線，、三點(diǎn)共線，可得，從而可得.【詳解】（）依題意得：，解得，所以橢圓的方程為.（）由（）得，如圖，設(shè)，把直線：代入橢圓方程，得，所以，因?yàn)椤⑷c(diǎn)共線，得，所以，同理，由、三點(diǎn)共線，得，因?yàn)椋园汛氲?所以.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、直線與橢圓的綜合應(yīng)用、向量垂直的充要條件，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性比較強(qiáng)，屬于中檔題.21已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中.（）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）當(dāng)時(shí)，求的最小值.【答案】（）；（）【解析】（）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意可得程有兩個(gè)不相等的正根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.（2）結(jié)合（）可得，令，不妨設(shè)，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合 ，求出的最小值即可.【詳解】（）依題意得的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的正根，所以，解得，此時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（）因?yàn)?，是方程的兩個(gè)根，所以，因?yàn)?，所以，所?令，則，即在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，所以，即，所以，即，所以，所?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以的最小值為，即的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)，要求有較高的邏輯推理和計(jì)算能力，屬于難題.22在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線：，曲線：.（）求曲線，的直角坐標(biāo)方程；（）已知曲線與軸交于，兩點(diǎn)，為曲線上任一點(diǎn)，求的最小值.【答案】（）：，：；（）【解析】（）根據(jù)代入可化曲線；將利用兩角差的余弦公式展開(kāi)，代入可化得（）求出曲線與軸像交，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)即可求解.【詳解】（）因?yàn)椋郧€的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)?，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.（）因?yàn)榍€與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的互化以及直線與圓的位置關(guān)