（試題 試卷 真題）《5.3.2簡單的軸對稱圖形（二）》習(xí)題

線段的垂直平分線典型習(xí)題【基礎(chǔ)知識精講】一條直線經(jīng)過線段中點(diǎn)且與該線段垂直，則稱該直線為線段的垂直平分線(又稱中垂線).線段的垂直平分線是一條直線，它是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合.關(guān)于這一點(diǎn)需從兩個(gè)方面去說明，1.定理：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等，2.它的逆定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段中垂線上.關(guān)于1的證明，利用了全等三角形，而有關(guān)2的證明則利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì).【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】本節(jié)重點(diǎn)難點(diǎn)在于對“垂直平分線上的點(diǎn)是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合”這句話的兩層含義的理解與掌握上.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要能很好的用中垂線解決問題.例1 已知ABC中，AB，B，的中垂線分別為l1,l2,l3（圖3.14-1）.求證l1,l2,l3三線共點(diǎn).圖3.14-1分析 可考慮先設(shè)l1,l2,交于點(diǎn)O，再設(shè)法證明O在l3上，從而達(dá)到證l1,l2,l3共點(diǎn)的目的.證 設(shè)l1,l2交于O，連OA，OB，OC.l1為AB中垂線OA=OB,同理OB=OC OA=OC O在AC中垂線上.即O在l3上，l1l2l3共點(diǎn).注：該點(diǎn)叫三角形的“外心”，它與三條中線的交點(diǎn)重心，三條高的交點(diǎn)垂心及內(nèi)角平分線交點(diǎn)內(nèi)心稱為“三角形的四心”例2 若三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)在某一邊上，則該三角形一定是( )A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形圖3.14-2分析 如圖3,14-2 P為中垂線交點(diǎn)，且在AB上，連PC，則PA=PB=PC.1=A 2=B. 1+2=A+B=90ACB=90 故選C例3 如圖3.14-3,ABC中A=120 AB=AC,AB的中垂線交AB于D，BC于F.則= .圖3.14-3分析 A=120 AB=AC B=C=30又DE為中垂線AE EA=EB EBA=EAB=30EAC=90 C=30AE=BE=EC =例4 如圖3.14-4，AD為ABC的角平分線，AD的中垂線交AB于E，BC延長線于F，求證CAF=B.圖3.14-4分析 本題從結(jié)論入手較困難，應(yīng)從EF為AD中垂線這一條件入手，得到FA=FD，即ADF為等腰三角形，2+3=4,而4為ABD的外角，4=B+1,再由已知1=2可得結(jié)論3=B.證 EF為AD中垂線AF=DF 2+3=4，又4=1+B 2+3=1+B 1=23=B 即CAF=B.【難題巧解點(diǎn)撥】例1 A BC中，A=90,AB=AC,D、E、F分別在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD為EF中垂線，求證BF=2AD(圖3.14-5).圖3.14-5分析 由已知CD為EF的中垂線，可知CEF為等腰三角形，1=2.D為ACB平分線上一點(diǎn)，可利用角平分線性質(zhì)，作DBC于G. A=90DAAC AD=DG,將線段AD轉(zhuǎn)移到線段DG上，又由于B=45BDG為等腰直角三角形 DG=BG下面只需證明DG=GF，即可.證DG=GF，可考慮證DGFADE.證 連DE，DF，作DGBC于G.DC為EF的中垂線DE=DF,CE=CF.DCEF 1=2.又A=90 DAAC，DGBC DA=DG.又DG=DF RtADERtGDF（HL） GF=AE又AE=AD AD=DG=GF. A=90 AB=AC B=45在BDG中B=45 DGB=90 BDG=45DG=BG DG=BG=GF DG=BF AD=BF.例2 如圖3.14-6，AD為ABC的高，B=2C，BD=5，BC=20，求AB.圖3.14-6分析 本題巧妙地利用中垂線將線段、角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，考慮ADBC,BDDC.(BD=5,DC=15)，在DC上取DE=BD，利用中垂線將求AB長轉(zhuǎn)化為求AE的長，再利用B=1及已知B=2C，將求AE的長巧妙地轉(zhuǎn)移到求EC的長.解 BD=5 BC=20在DC上取DE=BD=5，連AE，ADBE，BD=DE AD為BE中垂線 AB=AEB=1=2+C=2C C=2 AE=EC AB=EC又BD=DE=5 BC=20 EC=10 AB=10【同步達(dá)綱練習(xí)】一、判斷(4分6=24分)( )1.三角形兩邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形一邊上，則該三角形為等邊三角形.( )2.到三角形三頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在三角形內(nèi).( )3.到三角形距離三邊相等的點(diǎn)是三條中垂線的交點(diǎn).( )4.四邊形ABCD中共有一點(diǎn)P，使PA=PB=PC=PD，則A+C=180.( )5.和線段兩端距離相等的點(diǎn)只有線段的中點(diǎn).( )6.和線段兩端相等的點(diǎn)不一定在線段上.二、選擇題(5分6=30分)1.到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的是( )A.三條中線交點(diǎn) B.三條高的交點(diǎn)C.三條角平分線的交點(diǎn) D.三條中垂線的交點(diǎn)2.線段AB外有兩點(diǎn)C，D(在AB同側(cè))使CA=CB，DA=DB，ADB=80, CAD=10,則ACB=( )A.90 B.100 C.110 D.1203.BD為CE的中垂線，A在CB延長線上，C=34,則ABE=( )A.17 B.34 C.68 D.1364.O為ABC三邊中垂線的交點(diǎn)，則O稱為ABC的( )A.外心 B.內(nèi)心 C.垂心 D.重心5.若三角形一邊中垂線過另一邊中點(diǎn)，則該三角形必為( )A鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形圖3.14-76.ABC中，ACB=90, A=30AC的中垂線交AC于E.交AB于D，(圖3.14-7)則圖中60的角共有( )A6個(gè) B.5個(gè) C.4個(gè) D3個(gè)三、填空(5分6=30分)1.ABC中，AB=AC，P為形內(nèi)一點(diǎn)，PB=PC，則P在 的中垂線上，P還在 的平分線上.2.ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂線交AC于D，BCD周長為4cm,則BC= .3.ABC中，AB=AC，A=120,AB中垂線交BC于E，則= .4.正ABC內(nèi)一點(diǎn)O到三邊距離相等，且OA=OB=OC.則BOC= .5. ABC的邊AC、BC的中垂線交于AB上一點(diǎn)O，且OC=BC，則A= .6.若PA=PB，DA=DB，則PD是AB的 .四、解答(8分2=16分)1.ABC中，C=90,AB的中垂線交AB于D，AC于E.且EBC=40,求A及BED的度數(shù).2.已知O為等邊三角形三邊中線交點(diǎn)，求證BO與CO的中垂線必三等分BC.【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】1.AD為ABC的角平分線，DEAC,交AB于E.過E作AD的垂線交BC延長線于F(圖3.14-8),求證（BAC+AFC）=90-B.圖3.14-8 2.如圖3.14-9，ABC中，AB=AC，AEBC,D為直線AE上任一點(diǎn).求證DB+DC2AB.圖3.14-9 參考答案:【同步達(dá)綱練習(xí)】一、 二、D B C A C B三、1.BC,BAC 2.10 3.13 4.120 5.30 6.中垂線四、1. C=180, EBC=40 BEC=50 又AE=BE A=25 DEB=652.提示：設(shè)CB中垂線交BC于D，OC中垂線交BC于E，連OD，OE.OD=BD OE=EC. 再證BOC=120 BOD=COE=30DOE=60 ODE=60 OD=OE=DE得BD=DE=EC.【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】1.AD為角平分線