高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 8.6 空間向量及其運(yùn)算課件 理 北師大版.ppt

8 6空間向量及其運(yùn)算 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 課時(shí)作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 1 空間向量的有關(guān)概念 知識(shí)梳理 0 1 相等 相同 相反 相等 平行或重合 平面 2 空間向量中的有關(guān)定理 1 共線向量定理空間兩個(gè)向量a與b b 0 共線的充要條件是存在實(shí)數(shù) 使得a b 2 空間向量基本定理如果向量e1 e2 e3是空間三個(gè)不共面的向量 a是空間任一向量 那么存在唯一一組實(shí)數(shù) 1 2 3 使得a 空間中不共面的三個(gè)向量e1 e2 e3叫作這個(gè)空間的一個(gè)基底 e1 2e2 3e3 3 空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 1 數(shù)量積及相關(guān)概念 兩向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a b 在空間任取一點(diǎn)o 作 a b 則 aob叫作向量a b的夾角 記作 其范圍是 若 a b 則稱a與b 記作a b 兩向量的數(shù)量積已知空間兩個(gè)非零向量a b 則叫作向量a b的數(shù)量積 記作 即a b a b 0 a b 互相垂直 a b cos a b a b a b cos a b 2 空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 a b r 交換律 a b 分配律 a b c 4 空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a b b a a b a c a1b1 a2b2 a3b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 0 幾何畫(huà)板展示 幾何畫(huà)板展示 判斷下列結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 空間中任意兩非零向量a b共面 2 在向量的數(shù)量積運(yùn)算中 a b c a b c 3 對(duì)于非零向量b 由a b b c 則a c 4 兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同 1 已知正四面體abcd的棱長(zhǎng)為a 點(diǎn)e f分別是bc ad的中點(diǎn) 則的值為 考點(diǎn)自測(cè) 答案 解析 則 a b c a 且a b c三向量?jī)蓛蓨A角為60 2 2016 大連模擬 向量a 2 3 1 b 2 0 4 c 4 6 2 下列結(jié)論正確的是a a b a cb a b a cc a c a bd 以上都不對(duì) 答案 解析 因?yàn)閏 4 6 2 2 2 3 1 2a 所以a c 又a b 2 2 3 0 1 4 0 所以a b 故選c 3 與向量 3 4 5 共線的單位向量是 答案 解析 因?yàn)榕c向量a共線的單位向量是 又因?yàn)橄蛄?3 4 5 的模為 所以與向量 3 4 5 共線的單位向量是 3 4 5 3 4 5 答案 解析 5 教材改編 正四面體abcd的棱長(zhǎng)為2 e f分別為bc ad中點(diǎn) 則ef的長(zhǎng)為 答案 解析 12 22 12 2 1 2 cos120 0 2 1 cos120 2 題型分類深度剖析 題型一空間向量的線性運(yùn)算 例1 1 如圖所示 在長(zhǎng)方體abcd a1b1c1d1中 o為ac的中點(diǎn) 答案 解析 解答 思維升華 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量來(lái)表示未知向量 一定要結(jié)合圖形 以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵 要正確理解向量加法 減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量 在立體幾何中三角形法則 平行四邊形法則仍然成立 2016 青島模擬 如圖所示 在空間幾何體abcd a1b1c1d1中 各面為平行四邊形 設(shè) a b c m n p分別是aa1 bc c1d1的中點(diǎn) 試用a b c表示以下各向量 解答 因?yàn)閜是c1d1的中點(diǎn) 解答 因?yàn)閙是aa1的中點(diǎn) 題型二共線定理 共面定理的應(yīng)用 例2 2016 天津模擬 如圖 已知e f g h分別是空間四邊形abcd的邊ab bc cd da的中點(diǎn) 1 求證 e f g h四點(diǎn)共面 證明 連接bg 由共面向量定理的推論知e f g h四點(diǎn)共面 2 求證 bd 平面efgh 證明 所以eh bd 又eh 平面efgh bd平面efgh 所以bd 平面efgh 證明 找一點(diǎn)o 并連接om oa ob oc od oe og 所以四邊形efgh是平行四邊形 所以eg fh交于一點(diǎn)m且被m平分 思維升華 1 證明空間三點(diǎn)p a b共線的方法 2 證明空間四點(diǎn)p m a b共面的方法 跟蹤訓(xùn)練2已知a b c三點(diǎn)不共線 對(duì)平面abc外的任一點(diǎn)o 若點(diǎn)m滿足 1 判斷三個(gè)向量是否共面 解答 2 判斷點(diǎn)m是否在平面abc內(nèi) 解答 m a b c四點(diǎn)共面 從而點(diǎn)m在平面abc內(nèi) 題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 例3 2016 濟(jì)南模擬 如圖 已知平行六面體abcd a1b1c1d1中 底面abcd是邊長(zhǎng)為1的正方形 aa1 2 a1ab a1ad 120 1 求線段ac1的長(zhǎng) 解答 則 a b 1 c 2 a b 0 c a c b 2 1 cos120 1 2 求異面直線ac1與a1d所成角的余弦值 解答 設(shè)異面直線ac1與a1d所成的角為 3 求證 aa1 bd 證明 思維升華 1 利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系 也可以利用垂直關(guān)系 通過(guò)向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置 2 利用夾角公式 可以求異面直線所成的角 也可以求二面角 3 可以通過(guò) a 將向量的長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問(wèn)題求解 跟蹤訓(xùn)練3如圖 在平行六面體abcd a1b1c1d1中 以頂點(diǎn)a為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1 且兩兩夾角為60 1 求的長(zhǎng) 解答 則 a b c 1 a b b c c a 60 解答 b2 a2 a c b c 1 典例如圖 已知直三棱柱abc a1b1c1 在底面 abc中 ca cb 1 bca 90 棱aa1 2 m n分別是a1b1 a1a的中點(diǎn) 坐標(biāo)法在立體幾何中的應(yīng)用 思想與方法系列18 利用向量解決立體幾何問(wèn)題時(shí) 首先要將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成向量問(wèn)題 通過(guò)建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解 返回 1 解如圖 建立空間直角坐標(biāo)系 依題意得b 0 1 0 n 1 0 1 2 解依題意得a1 1 0 2 b 0 1 0 c 0 0 0 b1 0 1 2 3 證明依題意得c1 0 0 2 返回 課時(shí)作業(yè) 1 在下列命題中 若向量a b共線 則向量a b所在的直線平行 若向量a b所在的直線為異面直線 則向量a b一定不共面 若三個(gè)向量a b c兩兩共面 則向量a b c共面 已知空間的三個(gè)向量a b c 則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x y z使得p xa yb zc 其中正確命題的個(gè)數(shù)是a 0b 1c 2d 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 a與b共線 a b所在的直線也可能重合 故 不正確 根據(jù)自由向量的意義知 空間任意兩向量a b都共面 故 不正確 三個(gè)向量a b c中任意兩個(gè)一定共面 但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面 故 不正確 只有當(dāng)a b c不共面時(shí) 空間任意一向量p才能表示為p xa yb zc 故 不正確 綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0 故選a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2016 鄭州模擬 已知a 2 1 3 b 1 2 3 c 7 6 若a b c三向量共面 則 等于a 9b 9c 3d 3 答案 解析 由題意知c xa yb 即 7 6 x 2 1 3 y 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 已知a 2 1 3 b 1 2 1 若a a b 則實(shí)數(shù) 的值為 答案 解析 由題意知a a b 0 即a2 a b 0 所以14 7 0 解得 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 如圖 在大小為45 的二面角a ef d中 四邊形abfe cdef都是邊長(zhǎng)為1的正方形 則b d兩點(diǎn)間的距離是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 已知a b是異面直線 a b a c d b ac b bd b且ab 2 cd 1 則異面直線a b所成的角等于a 30 b 45 c 60 d 90 答案 解析 所以異面直線a b所成的角等于60 故選c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 以d為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 則a a 0 0 c1 0 a a n a a 設(shè)m x y z x a y z x a y a z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 所以 cbd為銳角 同理 bcd bdc均為銳角 銳角 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 設(shè)o abc是四面體 g1是 abc的重心 g是og1上的一點(diǎn) 且og 3gg1 若 則x y z的值分別為 答案 如圖所示 取bc的中點(diǎn)e 連接ae 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 2016 合肥模擬 已知a x 4 1 b 2 y 1 c 3 2 z a b b c 則c 答案 解析 3 2 2 解得x 2 y 4 此時(shí)a 2 4 1 b 2 4 1 又因?yàn)閎 c 所以b c 0 即 6 8 z 0 解得z 2 于是c 3 2 2 其中正確的序號(hào)是 10 2016 天津模擬 已知abcd a1b1c1d1為正方體 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 如圖 在平行六面體abcd a1b1c1d1中 點(diǎn)m p q分別為棱ab cd bc的中點(diǎn) 若平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等 則 a1m d1p a1m b1q a1m 平面dcc1d1 a1m 平面d1pqb1 以上正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為 答案 解析 3 a1m d1p 由線面平行的判定定理可知 a1m 平面dcc1d1 a1m 平面d1pqb1 正確 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 如圖所示 已知空間四邊形abcd的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1 點(diǎn)e f g分別是ab ad cd的中點(diǎn) 計(jì)算 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 則 a b c 1 a b b c c a 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 3 eg的長(zhǎng) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 4 異面直線ag與ce所成角的余弦值 13 2016 沈陽(yáng)模擬 如圖 在直三棱柱abc a b c 中 ac bc aa acb 90 d e分別為ab bb 的中點(diǎn) 1 求證 ce a d 證明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1