2018_19屆高中數(shù)學(xué)第2章平面向量2.3.1平面向量基本定理學(xué)案蘇教版.docx

2.3.1平面向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解平面向量的正交分解及向量的一組基底的含義.2.在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會(huì)用這組基底來(lái)表示其他向量.3.會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一平面向量基本定理思考1如果e1，e2是兩個(gè)不共線的確定向量，那么與e1，e2在同一平面內(nèi)的任一向量a能否用e1，e2表示？依據(jù)是什么？答案能依據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則思考2如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？答案不一定，當(dāng)a與e1共線時(shí)可以表示，否則不能表示梳理(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底知識(shí)點(diǎn)二向量的正交分解思考一個(gè)放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G，可分解為使物體沿斜面下滑的力F1和使物體垂直作用于斜面的力F2.類比力的分解，平面內(nèi)任一向量能否用互相垂直的兩向量表示？答案能，互相垂直的兩向量可以作為一組基底梳理正交分解的含義一個(gè)平面向量用一組基底e1，e2表示成a1e12e2的形式，我們稱它為向量a的分解當(dāng)e1，e2所在直線互相垂直時(shí)，這種分解也稱為向量a的正交分解1平面內(nèi)任意兩個(gè)向量都可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基底()提示只有不共線的兩個(gè)向量才可以作為基底2零向量可以作為基向量()提示由于0和任意向量共線，故不可作為基向量3平面向量基本定理中基底的選取是唯一的()提示基底的選取不是唯一的，不共線的兩個(gè)向量都可作為基底類型一對(duì)基底概念的理解例1如果e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是_(填序號(hào))e1e2(，R)可以表示平面內(nèi)的所有向量；對(duì)于平面內(nèi)任一向量a，使ae1e2的實(shí)數(shù)對(duì)(，)有無(wú)窮多個(gè)；若向量1e11e2與2e12e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得1e11e2(2e12e2)；若存在實(shí)數(shù)，使得e1e20，則0.答案解析由平面向量基本定理可知，是正確的；對(duì)于，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的；對(duì)于，當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零，即12120時(shí)，這樣的有無(wú)數(shù)個(gè)反思與感悟考查兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否非零且不共線此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一線性表示出來(lái)跟蹤訓(xùn)練1e1，e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列各組向量中，不能作為一組基底的序號(hào)是_e1e2，e13e2；3e12e2，4e26e1；e12e2，e22e1；e2，e1e2；2e1e2，e1e2.答案解析由題意，知e1，e2不共線，易知中，4e26e12(3e12e2)，即3e12e2與4e26e1共線，不能作基底中，2e1e22，2e1e2與e1e2共線，不能作基底類型二用基底表示向量例2如圖所示，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC邊上的中點(diǎn)，若a，b，試以a，b為基底表示，.解四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是BC，DC邊上的中點(diǎn)，2，2，b，a.babab，ba.引申探究若本例中其他條件不變，設(shè)a，b，試以a，b為基底表示，.解取CF的中點(diǎn)G，連結(jié)EG.E，G分別為BC，CF的中點(diǎn)，b，ab.又，ab.又，bab.反思與感悟?qū)⒉还簿€的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種：一種是利用向量的線性運(yùn)算及法則對(duì)所求向量不斷轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止；另一種是列向量方程組，利用基底表示向量的唯一性求解跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在AOB中，a，b，M，N分別是邊OA，OB上的點(diǎn)，且a，b，設(shè)與相交于點(diǎn)P，用基底a，b表示.解，.設(shè)m，n，則mm()am(1m)amb，nn()bn(1n)bna.a，b不共線，即ab.類型三平面向量基本定理的應(yīng)用例3在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，若，求的值解方法一(基向量法)由，得()()，則0，得0，得0.又因?yàn)椋还簿€，所以由平面向量基本定理得解得所以.方法二(待定系數(shù)法)如圖所示，連結(jié)MN并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，由已知易得ABAT，所以，即.因?yàn)門，M，N三點(diǎn)共線，所以1，所以.反思與感悟當(dāng)直接利用基底表示向量比較困難時(shí)，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量(一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得跟蹤訓(xùn)練3已知向量e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，且ae1e2，b3e12e2，c2e13e2，若cab(，R)，試求，的值解將ae1e2與b3e12e2代入cab，得c(e1e2)(3e12e2)(3)e1(2)e2.因?yàn)閏2e13e2，且向量e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，根據(jù)平面向量基本定理中的唯一性可得方程組解得1已知a，b，C為線段AO上距A較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，D為線段CB上距C較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則_.(用a，b表示)答案ab2已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，則x_，y_.答案1512解析向量e1，e2不共線，解得3如圖所示，在正方形ABCD中，設(shè)a，b，c，則當(dāng)以a，b為基底時(shí)，可表示為_(kāi)，當(dāng)以a，c為基底時(shí)，可表示為_(kāi)答案ab2ac解析由平行四邊形法則可知，ab，以a，c為基底時(shí)將平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，再由三角形法則和平行四邊形法則即可得到4設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC，若12(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_(kāi)答案解析()，又與不共線，1，2，12.1向量的正交分解是把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)2對(duì)基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個(gè)主要特征：基底是兩個(gè)不共線向量；基底的選擇是不唯一的平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底3準(zhǔn)確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問(wèn)題時(shí)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕?，將?wèn)題中涉及的向量向基底化歸，使問(wèn)題得以解決一、填空題1已知e1，e2是兩個(gè)不共線向量，ak2e1e2與b2e13e2共線，則實(shí)數(shù)k_.答案2或2設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，且ae12e2，be1e2，則e1e2_a_b.答案解析由方程組解得所以e1e2ab.3設(shè)點(diǎn)O是ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列向量組中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是_與；與；與；與.答案解析尋找不共線的向量組即可，在ABCD中，與不共線，與不共線，而，故可作為基底4已知e1，e2不共線，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)答案(，4)(4，)解析若能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線ae12e2，b2e1e2，由akb，即得4.5設(shè)向量e1和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，則實(shí)數(shù)y的值為_(kāi)答案4解析因?yàn)?xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，所以(3x4y7)e1(10y2x)e20，又因?yàn)閑1和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以解得6已知非零向量，不共線，且2xy，若(R)，則x，y滿足的關(guān)系是_答案xy207若D點(diǎn)在三角形ABC的邊BC上，且4rs，則3rs的值為_(kāi)答案解析4rs，()rs，r，s.3rs.8設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向量，a3e14e2，b2e15e2，若實(shí)數(shù)，滿足ab5e1e2，則，的值分別為_(kāi)答案1，1解析由題設(shè)ab(3e14e2)(2e15e2)(32)e1(45)e2.又ab5e1e2，由平面向量基本定理，知解得1，1.9在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.若a，b，則_.答案ab解析如圖，設(shè)，則ba，故ab.()ab，由平面向量基本定理，得ab.10.如圖，在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若，其中，R，則_.答案解析設(shè)a，b，則ab，ab，又ab，()，即，.二、解答題11判斷下列命題的正誤，并說(shuō)明理由：(1)若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，則ac，bd；(2)若e1和e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么該平面內(nèi)的任一向量可以用e1e2，e1e2表示出來(lái)解(1)錯(cuò)，當(dāng)e1與e2共線時(shí)，結(jié)論不一定成立(2)正確，假設(shè)e1e2與e1e2共線，則存在實(shí)數(shù)，使e1e2(e1e2)，即(1)e1(1)e2.因?yàn)?與1不同時(shí)為0，所以e1與e2共線，這與e1，e2不共線矛盾所以e1e2與e1e2不共線，即它們可以作為基底，該平面內(nèi)的任一向量可以用e1e2，e1e2表示出來(lái)12.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，.其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|1，|2，若(，R)，求的值解如圖，以O(shè)A，OB所在射線為鄰邊，OC為對(duì)角線作平行四邊形ODCE，則.在RtOCD中，|2，COD30，OCD90，|4，|2，故4，2，即4，2，6.13在梯形ABCD中，M，N分別是DA，BC的中點(diǎn)，且k.設(shè)e1，e2，以e1，e2為基底表示向量，.解方法一如圖所示，e2，且k，kke2.又0，e1(k1)e2.又0，且，e2.方法二如圖所示，過(guò)C作CEDA，交AB于點(diǎn)E，交MN于點(diǎn)F.同方法一可得ke2.則()e1(k1)e2，()e2.方法三如圖所示，連結(jié)MB，MC.同方法一可得ke2，e1(k1)e2.由()，得()()e2.三、探究與拓展14A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D，若(R，R)，則的取值范圍是_答案(1，)解析設(shè)k(0k1.15設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)