高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 4.4 生活中的優(yōu)化問題舉例課件 湘教版選修22.ppt

4 4生活中的優(yōu)化問題舉例 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大 用料最省 效率最高等問題 這些問題通常稱為 通過前面的學(xué)習(xí) 我們知道是求函數(shù)最大 小 值的有力工具 運(yùn)用 可以解決一些生活中的 解決實(shí)際應(yīng)用問題時(shí) 要把問題中所涉及的幾個(gè)變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系 這需通過分析 聯(lián)想 抽象和轉(zhuǎn)化完成 函數(shù)的最值要由極值和端點(diǎn)的函數(shù)值確定 當(dāng)定義域是開區(qū)間 函數(shù)在開區(qū)間上有惟一的極值 則它就是函數(shù)的最值 自學(xué)導(dǎo)引 1 2 優(yōu)化問題 導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù) 優(yōu)化問題 數(shù)學(xué)建模 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值問題時(shí)應(yīng)注意什么 提示 1 在求實(shí)際問題的最大 小 值時(shí) 一定要注意考慮實(shí)際問題的意義 不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去 2 在實(shí)際問題中 有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f x 0的情形 如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大 小 值 那么不與端點(diǎn)值比較 也可以知道這就是最大 小 值 3 在解決實(shí)際優(yōu)化問題中 不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式給予表示 還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間 自主探究 有一長為16m的籬笆 要圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地 則此矩形場(chǎng)地的最大面積為 a 32m2b 18m2c 16m2d 14m2解析設(shè)矩形長為xm 則寬為 8 x m 矩形面積s x 8 x 0 x 8 令s 8 2x 0 得x 4m 此時(shí)smax 42 16 m2 當(dāng)然也可用配方法或基本不等式法求最值 答案c 預(yù)習(xí)測(cè)評(píng) 1 以長為10的線段ab為直徑作半圓 則它的內(nèi)接矩形的面積的最大值為 a 10b 15c 25d 50解析法一 如圖 設(shè) nob 則矩形面積為s 5sin 2 5cos 25sin2 故smax 25 2 答案c 如右圖所示 某工廠需要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng) 一邊可以利用原有的墻壁 其他三邊需要砌新的墻壁 當(dāng)砌壁所用的材料最省時(shí) 堆料場(chǎng)的長和寬分別為 3 答案32米 16米 用總長為6m的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架 如果所制作容器的底面的相鄰兩邊長之比為3 4 那么容器容積最大時(shí) 高為 m 4 答案0 5 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的一般方法 1 細(xì)致分析實(shí)際問題中各個(gè)量之間的關(guān)系 正確設(shè)定所求最值的變量y與自變量x 找出變量y與x的關(guān)系 即列出函數(shù)關(guān)系y f x 再根據(jù)實(shí)際問題確定函數(shù)y f x 的定義域 這樣就把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題 2 求f x 解方程f x 0 求出定義域內(nèi)所有的實(shí)數(shù)根 3 比較函數(shù)在各個(gè)根和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定函數(shù)的最大值或最小值 要點(diǎn)闡釋 注意 求實(shí)際問題的最值時(shí) 一定要考慮問題的實(shí)際意義 不符合實(shí)際意義的理論值要舍去 在實(shí)際問題中 若在函數(shù)的定義域內(nèi) 使f x 0成立的值只有一個(gè) 且函數(shù)在這一點(diǎn)處取得極大 小 值 則不與端點(diǎn)值比較 也可以知道這就是最大 或小 值 在邊長為60cm的正方形鐵片的四角上切去邊長相等的正方形 再把它的邊沿虛線折起 做成一個(gè)無蓋的方底箱子 箱底的邊長是多少時(shí) 箱子的容積最大 最大容積是多少 典例剖析 題型一容積 或面積 最大問題 例1 答 當(dāng)箱底邊長為40cm時(shí) 箱子容積最大 最大容積是16000cm3 點(diǎn)評(píng)在實(shí)際問題中 有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f x 0 如果函數(shù)在該點(diǎn)取得極大 小 值 極值就是函數(shù)的最大 小 值 做一個(gè)無蓋的圓柱形水桶 若要使其體積是27 且用料最省 則圓柱的底面半徑為 1 答案3 題型二時(shí)間 費(fèi)用最省問題 點(diǎn)評(píng)利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題 要注意構(gòu)造函數(shù) 但與解決一般的函數(shù)問題有區(qū)別 即注意利用導(dǎo)數(shù)所求出的函數(shù)最值點(diǎn)是否符合現(xiàn)實(shí)問題的要求 一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比 已知在速度為10km h時(shí) 燃料費(fèi)是每小時(shí)6元 而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元 問此輪船以 km h的速度航行時(shí) 能使行駛每千米的費(fèi)用總和最小 2 答案20 某商品每件成本9元 售價(jià)30元 每星期賣出432件 如果降低價(jià)格 銷售量可以增加 且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x 單位 元 0 x 30 的平方成正比 已知商品單價(jià)降低2元時(shí) 一星期多賣出24件 1 將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù) 2 如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大 解 1 設(shè)商品降價(jià)x元 則多賣的商品數(shù)為kx2 若記商品在一個(gè)星期的獲利為f x 元 則依題意有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 又由已知條件24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9072 x 0 30 題型三利潤最大問題 例3 點(diǎn)評(píng)利潤 收益 銷售額 成本 在有關(guān)利潤 收益 的問題中 注意應(yīng)用此公式列函數(shù)式 所以每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)利潤達(dá)到最大 最大利潤為315萬元 點(diǎn)評(píng)關(guān)于利潤最大問題 利潤等于收入減去成本 而收入等于產(chǎn)量乘價(jià)格 由此可得出利潤與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式 再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤 甲 乙兩地相距s千米 汽車從甲地勻速行駛到乙地 速度不得超過c千米 時(shí) 已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本 以元為單位 由可變部分和固定部分組成 可變部分與速度v 千米 時(shí) 的平方成正比 比例系數(shù)為b 固定部分為a元 1 把全程運(yùn)輸成本y 元 表示為速度v 千米 時(shí) 的函數(shù) 并指出這個(gè)函數(shù)的定義域 2 為了使全程運(yùn)輸成本最小 汽車應(yīng)以多大速度行駛 誤區(qū)警示