函數(shù)與方程的思想方法在高考解題的應(yīng)用.doc

函數(shù)與方程的思想方法在高考解題中的應(yīng)用第七小組 李季、徐娜、王思雨、 魏曉姍、李炳玉、雷思然 數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)。高考通過對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，能夠最有效地檢測(cè)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握程度，能夠最有效地反映出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容的銜接、綜合和滲透的能力?？荚嚧缶V對(duì)數(shù)學(xué)考查的要求是“數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系，包括各部分知識(shí)的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，要善于從本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，進(jìn)而通過分類、梳理、綜合，構(gòu)建數(shù)學(xué)試卷的框架結(jié)構(gòu)” 。而數(shù)學(xué)思想方法起著重要橋梁連接和支稱作用，“對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時(shí)必須要與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，通過數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，反映考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度”。 所謂函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、集合對(duì)應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)。運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決，函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是要善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)去觀察分析處理問題。所謂方程的思想就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程（組），或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析轉(zhuǎn)化問題使問題獲得解決，方程思想是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是利用方程或方程觀點(diǎn)觀察處理問題。函數(shù)思想與方程思想是密不可分的，可以相互轉(zhuǎn)化的。函數(shù)和方程的思想是最重要和最常用的數(shù)學(xué)思想，它貫穿于整個(gè)高中教學(xué)中，中學(xué)數(shù)學(xué)中的初等函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列以及解析幾何都可以歸結(jié)為函數(shù)，尤其是導(dǎo)數(shù)的引入為函數(shù)的研究增添了新的工具因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重函數(shù)與方程的思想是相當(dāng)重要的在高考中，函數(shù)與方程的思想也是作為思想方法的重點(diǎn)來考查的，使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的基本運(yùn)算，而在解答題中，則從更深的層次，在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力相綜合的角度進(jìn)行深入考查。本文通過以下例題說明這種思想方法在解高考題中的應(yīng)用：題型一 利用函數(shù)與方程的性質(zhì)解題例1（2008安徽卷，理,11）若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足，則有（ ）ABCD分析：要比較函數(shù)值的大小，就要由已知條件求得函數(shù)解析式，本題中的都未知，只有一個(gè)等式，就需要我們?cè)偻诰蛞粋€(gè)等式，由函數(shù)的奇偶性容易想到用替換，從而得到兩個(gè)方程組成方程組解出。解：因?yàn)椋锰鎿Q得： 因?yàn)楹瘮?shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，所以，又解得：，而單調(diào)遞增且，大于等于0，而，故選。答案：評(píng)注：本題中利用函數(shù)的性質(zhì)再得一方程，通過解方程組求得函數(shù)的解析式，再回歸到函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，是函數(shù)與方程的較好得結(jié)合。題型二 構(gòu)造函數(shù)或方程解題例2. (2008天津卷，理，16）設(shè)，若僅有一個(gè)常數(shù)c使得對(duì)于任意的，都有滿足方程，這時(shí)，的取值的集合為 。分析:題目給出的方程中含有等多個(gè)字母，而條件中是對(duì)任意的都有，這使我們聯(lián)想到函數(shù)的定義域、值域，所以必須把方程改寫為關(guān)于的函數(shù)，再進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)。解：由已知，得（其中），函數(shù)為反比例函數(shù)，在（）上為單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，又因?yàn)閷?duì)于任意的，都有，所以，因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)常數(shù)符合題意，所以，解得，所以的取值的集合為。答案：評(píng)注:本題看似方程問題，實(shí)質(zhì)是函數(shù)問題，通過分析、轉(zhuǎn)化為函數(shù)，并運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為不等式組解出。本題中自覺地、巧妙地運(yùn)用函數(shù)的思想來指導(dǎo)解答問題。題型三 函數(shù)與方程、不等式的轉(zhuǎn)化例3（2008廣東卷，理14)已知，若關(guān)于的方程有實(shí)根，則的取值范圍是 分析：求參數(shù)的范圍，可以先將分離出來，表示為的函數(shù)，求出函數(shù)的值域，進(jìn)而得到參數(shù)的范圍解：方程即,利用絕對(duì)值的幾何意義,得，可得實(shí)數(shù)的取值范圍為評(píng)注：本題將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的值域得到的不等式，求得參數(shù)的范圍。例4（福建德化一中2008，理）若關(guān)于x的方程的兩根滿足，則k的取值范圍是（ ） A BC D分析：本題是研究二次方程的實(shí)根分布問題，可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，由二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)為函數(shù)值表示的不等式組解出。解：設(shè)函數(shù)，關(guān)于x的方程的兩根滿足，即，故選擇。答案：評(píng)注：對(duì)于二次方程的實(shí)根分布問題，要轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，由二次函數(shù)的圖象和各端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值以及二次項(xiàng)系數(shù)和對(duì)稱軸解答。題型四 函數(shù)與方程在立體幾何中的應(yīng)用例5（2008北京卷，理，8）如圖，動(dòng)點(diǎn)在正方體的對(duì)角線上過點(diǎn)作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于設(shè)，CDNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO則函數(shù)的圖象大致是（ ）分析：本題是立體幾何與函數(shù)的交匯題，可以先觀察題目并進(jìn)行空間想象加以判斷，再由的特殊性與平面垂直，可以把向平面內(nèi)作正投影，保持其長度不變，從而把空間問題轉(zhuǎn)為平面問題，在平面內(nèi)研究函數(shù)關(guān)系即可順利完成。ABCD解：設(shè)正方體的棱長為，由圖形的對(duì)稱性知點(diǎn)始終是的中點(diǎn)，而且隨著點(diǎn)從點(diǎn)向的中點(diǎn)滑動(dòng)，值逐漸增大到最大，再由中點(diǎn)向點(diǎn)滑動(dòng)，而逐漸變小，排除，把向平面內(nèi)正投影得，則=，由于，所以當(dāng)時(shí)，為一次函數(shù)，故選答案：評(píng)注：本題為函數(shù)的變化趨勢(shì)問題，通過觀察進(jìn)行理性地分析，再從數(shù)值上加以運(yùn)算。題型五 函數(shù)與方程在解析幾何中的應(yīng)用例6（2008山東淄博）若、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值； （）設(shè)過定點(diǎn)，的直線與橢圓交于兩不同的點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.分析：（）中可以設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出，得到函數(shù)求最值。（）中研究直線與橢圓的交點(diǎn)，需要解方程組，由韋達(dá)定理解答即可。解：（）解法一：由橢圓方程知 所以，設(shè) 則 又 ，故當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值 當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值 解法二：易知，所以，設(shè)則（以下同解法一）（）顯然當(dāng)直線的斜率不存在即時(shí)，不滿足題設(shè)條件可設(shè)的方程為，設(shè)，聯(lián)立 得 即 ，由即 解得 又為銳角 綜、可知的取值范圍是 評(píng)注：解析幾何中點(diǎn)的坐標(biāo)，線的方程都與函數(shù)、方程是相通的，可以利用函數(shù)與方程的思想解答問題。在解方程組時(shí)要注意保證方程組有兩不同的解，求得參數(shù)的取值范圍。例7（2008廣東卷，理18）設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為如圖4所示，過點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）分析：本題中的拋物線可以看作為二次函數(shù)，拋物線在點(diǎn)的切線的斜率就是該點(diǎn)處的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由此可以寫出此切線方程，從而得到橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出橢圓和拋物線的方程，（2）為探索結(jié)論問題，為直角三角形自然要考慮誰是直角，所以需要分類討論，并轉(zhuǎn)為方程確定其解的個(gè)數(shù)。解AyxOBGFF1圖4：（1）由得，當(dāng)?shù)?，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)G的切線方程為即，令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè)，同理 以為直角的只有一個(gè)。若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和， 。關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個(gè)，因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。評(píng)注：本題較好地把圓錐曲線問題和函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)結(jié)合起來解答問題，一般地，對(duì)于已經(jīng)曲線的某一點(diǎn)處的切線，就要轉(zhuǎn)為函數(shù)求導(dǎo)，從而求出其切線。另外，還要注意方程的解的個(gè)數(shù)的探討。例8（2008湖南，理20）若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，則稱弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”。已知當(dāng)x2時(shí)，點(diǎn)P（x,0）存在無窮多條“相關(guān)弦”。給定x02.（I）證明：點(diǎn)P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；(II) 試問：點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，請(qǐng)說明理由.分析：本題（1）研究中點(diǎn)弦問題，可以用點(diǎn)差法，求得中點(diǎn)的坐標(biāo)從而證明；（2）可用中點(diǎn)的坐標(biāo)表示出弦長，得到關(guān)于中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的函數(shù)，再求出函數(shù)的值域。解: （I）設(shè)AB為點(diǎn)P（x0,0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,則y21=4x1, y22=4x2,兩式相減得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因?yàn)閤1x2,所以y1+y20.設(shè)直線AB的斜率是k，弦AB的中點(diǎn)是M（xm, ym）,則k=.從而AB的垂直平分線l的方程為 又點(diǎn)P（x0,0）在直線上，所以 而于是故點(diǎn)P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是x0-2.()由()知，弦AB所在直線的方程是，代入中，整理得 （）則是方程（）的兩個(gè)實(shí)根，且設(shè)點(diǎn)P的“相關(guān)弦”AB的弦長為l，則 因?yàn)?3,則2(x0-3) (0, 4x0-8),所以當(dāng)t=2(x0-3),即=2(x0-3)時(shí),l有最大值2(x0-1).若2x03,則2(x0-3)0,g(t)在區(qū)間（0，4 x0-8）上是減函數(shù)，所以0l23時(shí)，點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中存在最大值，且最大值為2（x0-1）；當(dāng)2 x03時(shí)，點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中不存在最大值.評(píng)注：本題中需要解方程組求弦長，弦長用弦的中點(diǎn)坐標(biāo)表示出來，可用配方法求得函數(shù)的值域。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中滲透著函數(shù)與方程的思想，在解決解析幾何問題時(shí)常常運(yùn)用函數(shù)與方程的思想來解答。題型六 函數(shù)與方程在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用例9（2008湖南卷，理21）已知函數(shù).(I) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（）若不等式對(duì)任意的都成立（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.求的最大值.分析：由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等式對(duì)任意的都成立可等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式進(jìn)而分離出來，不等式恒成立轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值問題，可構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值。解: （）函數(shù)的定義域是，設(shè)則令則當(dāng)時(shí)， 在（-1，0）上為增函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，在上為減函數(shù).所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以，函數(shù)g(x)在上為減函數(shù).于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)x0時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，在（-1，0）上為增函數(shù).當(dāng)x0時(shí)，在上為減函數(shù).故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為.（）不等式等價(jià)于不等式由知， 設(shè)則由（）知，即所以于是G(x)在上為減函數(shù).故函數(shù)G（x）在上的最小值為所以a的最大值為評(píng)注：第（1）問是為第二問鋪墊的，在解答問題（2）時(shí)，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)研究最值，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而研究最值是解決函數(shù)最值問題的常用方法。理科的題目常常是超越方程或不等式，要利用導(dǎo)數(shù)解答問題。而文科的題基本上是含有參數(shù)的三次函數(shù)，如下一例題例10（2008北京卷，文17）已知函數(shù)，且是奇函數(shù)（）求，的值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析：本題從函數(shù)的性質(zhì)入手，利用奇函數(shù)的定義，確定函數(shù)的解析式，再由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。解：（）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，對(duì)任意的，即又所以所以解得（）由（）得所以當(dāng)時(shí)，由得變化時(shí)，的變化情況如下表：00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增評(píng)注：為奇函數(shù)是對(duì)任意的，都成立來說的，也就是恒等式，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，從而確定系數(shù)。在研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時(shí)往往要對(duì)參數(shù)在分界值處進(jìn)行分類討論。題型七 函數(shù)與方程在數(shù)列中的應(yīng)用例11（2008陜西卷，理22）已知數(shù)列的首項(xiàng)，（）求的通項(xiàng)公式；（）證明：對(duì)任意的，；（）證明：分析：（1）由遞推關(guān)系求通項(xiàng)，可以進(jìn)行變形，構(gòu)造一個(gè)特殊數(shù)列求出；（2）不等式的左邊只含有，右邊含有和，可以看作是關(guān)于的函數(shù)，可證此函數(shù)的最大值。解法一：（），又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，（）由（）知，原不等式成立（）由（）知，對(duì)任意的，有取，則原不等式成立解法二：（）同解法一（）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值原不等式成立（）同解法一評(píng)注：本題為利用函數(shù)與方程的思想解答數(shù)列問題，在求右邊函數(shù)的最值時(shí)，可以用配方法，也可以用導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性求其最值。題型八 函數(shù)與方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用例12.(2009山東卷理) 兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0.065.（1）將y表示成x的函數(shù)；（11）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最?。咳舸嬖?，求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說明理由。解法一:（1）如圖,由題意知ACBC,其中當(dāng)時(shí)，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函數(shù)為（2）,令得,所以,即,當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)時(shí), 即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時(shí), 函數(shù)有最小值.解法二: （1）同上.（2）設(shè),則,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取”=”.下面證明函數(shù)在(0,160