高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.2 點、線、面之間的位置關系 1.2.3.2 平面與平面垂直課件 新人教B版必修2.ppt

第二課時平面與平面垂直 1 理解平面與平面垂直的定義 2 通過直觀感知 操作確認 歸納出空間中面面垂直的有關判定方法及性質(zhì) 3 掌握平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理 并能利用以上定理解決空間中的垂直問題 1 2 3 1 平面與平面垂直的定義如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直 又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直 就稱這兩個平面互相垂直 1 2 3 2 平面與平面垂直的判定定理如果一個平面過另一個平面的一條垂線 則兩個平面互相垂直 1 2 3 做一做1 1 在正方體abcd a1b1c1d1中 與平面acc1a1垂直的平面是 a 平面aa1b1bb 平面bcc1b1c 平面abcdd 平面aa1d1d解析 因為bd ac 且bd a1a 所以bd 平面acc1a1 又因為bd 平面abcd 所以平面abcd 平面acc1a1 答案 c 1 2 3 做一做1 2 在空間四邊形abcd中 若ab bc ad cd e為對角線ac的中點 下列判斷正確的是 a 平面abd 平面bdcb 平面abc 平面abdc 平面abc 平面adcd 平面abc 平面bed 1 2 3 解析 如圖所示 連接be de bd ab bc ad cd e是ac的中點 be ac de ac 答案 d 1 2 3 3 平面與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直 那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 1 2 3 做一做2 設平面 平面 且 l 直線a 直線b 且a不與l垂直 b不與l垂直 則a與b a 可能垂直 不可能平行b 可能平行 不可能垂直c 可能垂直 也可能平行d 不可能垂直 也不可能平行解析 若a l b l 則a b 但a與b不可能垂直 答案 b 證明線面垂直 面面垂直的主要方法剖析 1 證明線面垂直的方法 利用線面垂直的定義 利用推論 a b a b 利用結論 a a 利用面面垂直的性質(zhì) l a a l a 2 證明面面垂直的方法 利用定義 利用判定定理 若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線 則這兩個平面互相垂直 歸納總結關于垂直問題的論證中要注意線線垂直 線面垂直 面面垂直的相互轉(zhuǎn)化 每一種垂直的判定都是從某一種垂直開始轉(zhuǎn)向另一種垂直 最終達到目的 其轉(zhuǎn)化關系如下圖所示 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例1 下列命題不正確的是 a 若l m l m 則 b 若l m l m 則 c 若 則 d 若l m l m 則 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 解析 借助于長方體模型找出錯誤的選項 如圖 ab b1c1 ab 平面abcd b1c1 平面a1b1c1d1 但是平面abcd 平面a1b1c1d1 所以b項不正確 答案 b 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 反思關于位置關系的判斷題 如果以選擇題的形式出現(xiàn) 通常借助于幾何模型利用排除法來解決 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓練1 對于直線m n和平面 能得出 的一個條件是 a m n m n b m n m n c m n n m d m n m n 答案 c 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 分析 圖形中的垂直關系較少 不妨考慮利用定義法證明 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 證明 取bd的中點為e 連接ae ce 因為cb cd ab ad 所以ae bd ce bd 則有bd 平面aec 又因為ac a 所以ae2 ce2 ac2 所以ae ce 又因為ae ce分別是平面aec與平面abd 平面bcd的交線 所以平面abd 平面bcd 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 反思利用兩個平面互相垂直的定義可以直接判定兩個平面垂直 判定的方法是 1 證明第三個平面與兩個相交平面的交線垂直 2 證明這兩個相交平面與第三個平面的交線垂直 3 根據(jù)定義 這兩個平面互相垂直 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓練2 在正方體abcd a1b1c1d1中 求證 平面abc1d1 平面a1b1cd 證明 如圖 平面abc1d1 平面a1b1cd mn 因為ab 平面bcc1b1 而ab mn 所以mn 平面bcc1b1 又平面abc1d1 平面bcc1b1 bc1 平面a1b1cd 平面bcc1b1 b1c 且bc1 b1c 故平面abc1d1 平面a1b1cd 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例3 如圖 已知pa o所在的平面 ab是 o的直徑 c是 o上任意一點 求證 平面pac 平面pbc 分析 先證明bc是平面pac的垂線 再利用面面垂直的判定定理解決 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 證明 因為ab是 o的直徑 所以ac bc 又因為pa o所在的平面 bc在 o所在的平面內(nèi) 所以pa bc 線面垂直的定義 因為pa ac a 所以bc 平面pac 線面垂直的判定 又因為bc 平面pbc 所以平面pac 平面pbc 面面垂直的判定 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 反思利用面面垂直的判定定理證明面面垂直 關鍵是先證線面垂直 再證線在另一個平面內(nèi) 最終得到面面垂直 具體方法是 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓練3 如圖 四邊形abcd是菱形 pc 平面abcd e是pa的中點 求證 平面bde 平面abcd 證明 連接ac交bd于點o 連接oe 因為o為ac的中點 e為pa的中點 所以eo是 pac的中位線 eo pc 因為pc 平面abcd 所以eo 平面abcd 又因為eo 平面bde 所以平面bde 平面abcd 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例4 如圖 正方形abcd所在平面與平面四邊形abef所在平abcd 分析 由于已知平面abef 平面abcd 它們的交線是ab 因此由面面垂直的性質(zhì)定理 只須證ea ab 為此應該在平面四邊形的長度 利用勾股定理的逆定理證明 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 證明 設af ef a 則be 2a 過a作am be于點m af be am af 又 af ef am ef 四邊形amef是正方形 ae2 ab2 eb2 ae ab 又 平面abcd 平面abef 平面abcd 平面abef ab ae 平面abef ea 平面abcd 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 反思1 當所給的題目中有面面垂直的條件時 一般要注意是否有垂直于兩個平面交線的垂線 如果有 可利用性質(zhì)定理將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直 如果沒有 一般需作輔助線 基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線 這樣把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直 2 應用面面垂直的性質(zhì)定理時 四個條件缺一不可 l a a l 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓練4 如圖 四棱錐p abcd的側(cè)面pad是正三角形 且垂直于底面abcd 底面abcd是矩形 e是pd的中點 求證 平面ace 平面pcd 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 證明 因為 pad為正三角形 e為pd的中點 所以ae pd 又因為平面pad 平面abcd 平面pad與平面abcd交于ad dc ad 所以cd 平面pad 所以cd ae 因為ae 平面pcd cd pd d 所以ae 平面pcd 又因為ae 平面ace 所以平面ace 平面pcd 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 易錯點 不理解面面垂直的性質(zhì)定理而致錯 例5 如圖 s為 abc所在平面外一點 sa 平面abc 平面sab 平面sbc 求證 ab bc 錯解 證明 sa 平面abc 且平面sab 平面sbc bc sa bc sb sa sb s bc 平面sab 又 ab 平面sab ab bc 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 錯因分析 錯解沒有理解面面垂直的性質(zhì) 誤認為兩個平面垂直 則一個平面內(nèi)的所有直線都垂直于它們的交線 顯然不正確 正解 證明 過點a作ae sb 垂足為e 平面sab 平面sbc 且兩個平面相交于sb ae 平面sbc bc ae sa 平面abc sa bc 又sa ae a bc 平面sab ab bc 1 2 3 4 5 1 給出以下四種說法 如果一條直線和一個平面平行 經(jīng)過這條直線的一個平面和這個平面相交 那么這條直線和交線平行 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直 那么這條直線垂直于這個平面 如果兩條直線都平行于一個平面 那么這兩條直線互相平行 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線 那么這兩個平面互相垂直 其中正確的個數(shù)是 a 4b 3c 2d 1解析 根據(jù)空間中線面平行 垂直的有關性質(zhì)與判定定理易知 錯 正確 故選b 答案 b 1 2 3 4 5 2 下列結論中 正確的是 垂直于同一條直線的兩條直線平行 垂直于同一條直線的兩個平面平行 垂直于同一個平面的兩條直線平行 垂直于同一個平面的兩個平面平行 a b c d 答案 c 1 2 3 4 5 3 已知平面 平面 l 則下列命題中錯誤的是 a 如果直線a 那么直線a必垂直于平面 內(nèi)的無數(shù)條直線b 如果直線a 那么直線a不可能與平面 平行c 如果直線a a l 那么直線a 平面 d 平面 內(nèi)一定存在無數(shù)多條直線都垂直于平面 內(nèi)的所有直線答案 b 1 2 3 4 5 4 經(jīng)過平面 外一點和平面 內(nèi)一點與平面 垂直的平面有 解析 當 外一點和 內(nèi)一點的連線垂直于平面 時 有無數(shù)個 否則 只有1個 答案 1個或無數(shù)個 1 2 3 4 5 5 如圖 在四棱錐p abcd中 底面abcd是正方形 o是