初始條件與邊界條件

1 2初始條件與邊界條件 特定條件準(zhǔn)確說明對象的初始狀態(tài)以及邊界上的約束條件 用以說明初始狀態(tài)的條件稱為 初始條件 用以說明邊界上約束情況的條件稱為 邊界條件 描述物理現(xiàn)象 初始條件 弦振動問題 初始條件是指弦在開始振動時刻的位移和速度 如果以f x 和g x 分別表示弦的初位移和初速度 則初始條件可以表達(dá)為 初始條件用以給出具體物理現(xiàn)象的初始狀態(tài) 熱傳導(dǎo)問題 初始條件是指開始傳熱的時刻物體溫度的分布情況 若以f M 表示t 0時物體內(nèi)一點M的溫度 則熱傳導(dǎo)問題的初始條件可以表示為 泊松方程和拉普拉斯方程 描述穩(wěn)恒狀態(tài) 與時間無關(guān) 所以不提初始條件 不同類型的方程 相應(yīng)初值條件的個數(shù)不同 關(guān)于t的n階偏微分方程 要給出n個初始條件 初始條件給出的應(yīng)是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài) 而非系統(tǒng)中個別點的初始狀態(tài) 注意 邊界條件 邊界條件是給出具體物理現(xiàn)象在邊界上所處的物理情況 根據(jù)邊界條件數(shù)學(xué)表達(dá)方式的不同 一般把邊界條件分為三類 設(shè)u是未知函數(shù) S為邊界 則分類如下 第一類邊界條件 直接給出u在邊界S上的值 弦振動問題 如果弦的兩端是固定的 也就是說端點無位移 則其邊界條件為 若弦的兩端不是固定的 而是按照規(guī)律在運動 則其邊界條件為 熱傳導(dǎo)問題 當(dāng)物體與外界接觸的表面溫度f M t 已知時 其邊界條件為 第二類邊界條件 給出u沿S的外法線方向的方向?qū)?shù) 弦振動問題 弦的一端 如x l 可以在垂直x軸的直線上自由的上下滑動 且不受垂直方向的外力 我們稱這種端點為 自由端 在這一端點 邊界上的張力沿垂直于x軸的方向的分量為0 因此在方程的推導(dǎo)中知 即 當(dāng)該點處的張力沿垂直x軸的方向的分量是t的已知函數(shù)時 有 熱傳導(dǎo)問題 如果物體和周圍介質(zhì)處于絕熱狀態(tài) 即在表面上熱量的流速始終為0 則由方程推導(dǎo)過程可知 有邊界條件 第三類邊界條件 給出u以及的線性組合在邊界的值 即 弦振動問題 當(dāng)端點x l被彈性支撐所支承 設(shè)彈性支撐原來位置在u 0 則表示彈性支撐的應(yīng)變 由Hooke定律知 在x l端張力沿位移方向的分量應(yīng)等于 即有 其中非負(fù)常數(shù)k表示彈性體的倔強(qiáng)系數(shù) 熱傳導(dǎo)問題 如果物體內(nèi)部通過邊界S與周圍的介質(zhì)有熱量交換 這時能測量到物體與接觸處的介質(zhì)的溫度 通常情形下 與物體在表面S上的溫度u不相同 根據(jù)熱學(xué)中的牛頓實驗定律 物體從一介質(zhì)流入另一介質(zhì)的熱量與兩個介質(zhì)間的溫度差成正比 即 其中常數(shù)表示兩種介質(zhì)之間的熱交換系數(shù) 在物體內(nèi)部任意取一個無限貼近S的閉曲面 由于在S的內(nèi)側(cè)熱量不能積累 所以在上的熱量流速應(yīng)等于邊界S上的熱量流速 上的熱量流速為 其中k為熱傳導(dǎo)系數(shù) 所以當(dāng)物體與外界有熱交換時 相應(yīng)的邊界條件為 在上面給出的邊界條件中 都是定義在邊界S上 通常也依賴于t 的已知函數(shù) 當(dāng)時 相應(yīng)的邊界條件稱為齊次的 否則稱為非齊次的 注1 注2三種邊界條件可用一個式子表達(dá) 1 3定解問題的提法 初始條件和邊界條件都稱為定解條件 定解問題是指偏微分方程和相應(yīng)定解條件的結(jié)合體 偏微分方程和相應(yīng)初始條件構(gòu)成的定解問題稱為初值問題或者柯西 Cauchy 問題 波方程的Cauchy問題 由偏微分方程和相應(yīng)邊界條件構(gòu)成的定解問題稱為邊值問題 Laplace方程的邊值問題 由偏微分方程和相應(yīng)的初始條件及邊界條件構(gòu)成的定解問題稱為混合問題 熱傳導(dǎo)方程的混合問題 一個定解問題的適定性 Well posedness 包含以下幾個方面 1 解的存在性 即所提的定解問題是否有解 3 解的穩(wěn)定性 即看定解問題的解是否連續(xù)依賴定解條件 也就是說 當(dāng)定解條件有微小變動時 引起解的變動是否足夠小 若是 則稱解是穩(wěn)定的 否則稱解是不穩(wěn)定的 2 解的唯一性 即所提的定解問題是否有唯一的解 解 一般二階線性偏微分方程 n個自變量 兩