《信號分析與處理》備課教案(第三章)(1).doc

信號分析與處理教案 第三章：傅里葉變換上一章回顧 上一章“單輸入單輸出系統(tǒng)的時域分析”，其實質(zhì)是在時域中進行系統(tǒng)分析的任務(wù)，也就是說解決在給定的時域輸入信號激勵作用下，系統(tǒng)在時域中將產(chǎn)生什么樣響應(yīng)的問題。之所以稱為時域分析，是由于在系統(tǒng)分析的過程中，所涉及的函數(shù)變量均為時間t，故這一方法稱之為“時域分析法”。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎(chǔ)。上一章所講授的主要內(nèi)容，可以概括為如下幾個方面：1、時域分析的基本概念 系統(tǒng)時域響應(yīng)的概念和四種主要響應(yīng)形式。2、離散系統(tǒng)的時域分析 差分和差分方程的含義和建立；差分方程的經(jīng)典解法，以及各種響應(yīng)的具體求解。3、單位沖擊響應(yīng)與單位樣值響應(yīng) 單位沖擊響應(yīng)和單位樣值響應(yīng)的概念和實質(zhì)；通過微分方程或差分方程的具體求解方法。4、卷積積分 卷積積分的基本概念和意義；采用定義法和圖解法進行求解的方法和步驟；卷積積分的重要性質(zhì)。5、卷積和 卷積和的基本概念和意義；通過定義、性質(zhì)以及圖解法和不進位乘法熟練進行求解的方法和步驟。上次課“思考題”：1“卷積積分”與“卷積和”的相似之處與區(qū)別是什么？2不進位乘法求“卷積和”需要注意的地方是什么？從本次課開始，我們將進入信號與系統(tǒng)的“變換域分析” 變換域一般指：頻域、S域和Z域；也就是通過各種數(shù)學變換，將時域的信號與系統(tǒng)變換到頻域、S域和Z域中進行分析和觀察，這樣不僅能夠簡化信號與系統(tǒng)在時域分析中的復雜計算，更主要的是：可以使我們觀察到，信號與系統(tǒng)在時域分析中所無法看到的一些奇妙的現(xiàn)象和特性，從而使我們可以多角度地對信號與系統(tǒng)有更深刻的認識和更全面的把握。 本章所講授的“傅立葉”變換，就是信號與系統(tǒng)在“頻域”中的分析原理、方法和特性。第三章：傅里葉變換3.1.概述 時域分析的要點是，以沖激信號或單位信號為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)或單位函數(shù)；且， 對于連續(xù)時間系統(tǒng) 對于離散時間系統(tǒng) 鑒于離散時間系統(tǒng)的“傅立葉變換”，屬于“數(shù)字信號處理”課程的內(nèi)容，因此在本章下面的分析中，所指的信號和系統(tǒng)均為連續(xù)時間信號和連續(xù)時間系統(tǒng)。 本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號為基本信號，論證任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。由于這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率，故稱為頻域分析。 在高等數(shù)學的級數(shù)分解中已經(jīng)表明，任意一個周期信號，只要滿足狄里赫利條件，都可以分解為傅里葉級數(shù)，分解后的各次諧波的幅度和相位構(gòu)成了周期信號的幅頻特性和相頻特性，并把幅頻特性稱為幅度譜，相頻特性稱為相位譜。而對非周期信號，如果引入頻譜密度的概念，從而也對非周期信號作傅里葉變換，也可以得到非周期信號的頻譜。從頻譜的觀點來分析信號與系統(tǒng)也稱為頻域分析法。由于頻域分析法有許多突出的優(yōu)點，因此它已稱為信號與系統(tǒng)分析的重要手段之一。 下面首先引出周期信號的傅里葉級數(shù)，然后在傅立葉級數(shù)的基礎(chǔ)上導出連續(xù)非周期信號的傅立葉變換。一、傅里葉級數(shù)的三角形式 對于給定周期信號，可以通過公式方便地得到其傅立葉級數(shù)的系數(shù)，它包含了各頻率正弦分量的幅值及相位，這些系數(shù)與頻率的關(guān)系，就是該周期信號的頻譜，也稱為頻譜特性。一般地，周期信號的傅立葉級數(shù)有三角形式和復指數(shù)形式兩種，因此其系數(shù)也有實系數(shù)和復系數(shù)兩種表示形式。其中，這里，、和稱為三角形式傅立葉級數(shù)的系數(shù)?？梢姡堑呐己瘮?shù)，是的奇函數(shù)。這里， 將上式“同頻率項”合并，可寫為： 式（1）該式即為三角形式的傅立葉級數(shù)表達式。 也即， 式（2） 可見，是的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)。二、波形的對稱性與諧波特性例：周期矩形信號如圖所示，若重復頻率=5 ，脈寬為20，幅度=10 V，求傅立葉級數(shù)展開的直流分量大小，以及基波、二次諧波和三次諧波的有效值。解：因為為偶函數(shù)，所以，故只有直流分量和余弦分量，并有，利用公式求解如下：直流分量： 所以直流分量為次諧波系數(shù)：其有效值為：將代入上式，得基波有效值為： 同理，當和時，得二次和三次諧波的有效值分別為： 三、傅里葉級數(shù)的復指數(shù)形式 三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用復指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)?？紤]上面式（1），進而可從歐拉公式推出： 考慮到是的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)，則：令復數(shù)則稱為指數(shù)形式傅立葉級數(shù)的復系數(shù)，也簡稱傅立葉系數(shù)，因此由上式可以得到： 式（3） 該式即為復指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)表達式。此式表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。其中是頻率為的分量的系數(shù)，為直流分量。 結(jié)合式（2），并且有下式成立：將三角形式傅立葉級數(shù)系數(shù)和帶入上式，可得： 式（4） 從而建立了與的關(guān)系，即進入了頻域。3.2.非周期信號的傅里葉變換3.2.1 周期信號的頻譜及其特點一、信號頻譜的概念 從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將和的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為幅值頻譜圖和相位頻譜圖。因為n0（對于三角形式展開），所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫和的關(guān)系，稱為雙邊譜。例：周期信號試求該信號的基波周期T，基波角頻率，并畫出它的單邊頻譜圖。解：首先應(yīng)用三角公式改寫的表達式，即 對照三角形式的傅立葉級數(shù)表達式： 顯然1是該信號的直流分量。， 因為，基波周期總是信號諧波周期的最小公倍數(shù)，原因可參看第一章關(guān)于“兩個周期信號的和函數(shù)周期性”判斷標準。又因為：，所以：二、周期信號頻譜的特點舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示，則由上面式（4）可直接求其頻譜系數(shù)為：考慮到：為抽樣函數(shù)（見教材P4頁），則有：式（5）則有：，由于對于函數(shù)而言，過零點的自變量取值為： ，（即為除0之外的整數(shù)）則對而言，其過零點的取值必為： ， ，以為橫坐標，為縱坐標，可得頻譜圖如下圖所示。因為，對應(yīng)上圖可看到：,對應(yīng)的是周期脈沖信號分解的直流分量；,對應(yīng)的是周期脈沖信號分解的基波分量；,對應(yīng)的是周期信號分解的二次諧波分量；,對應(yīng)的是周期信號分解的三次諧波分量；而在,時,因為： 對應(yīng)的恰是曲線的過零點，因此可以說周期信號分解的四次諧波分量為零；或的分解信號不包括四次諧波分量； 在的取值繼續(xù)升高時，情況類同。特點：(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性，譜線位置是基頻的整數(shù)倍；(2)在頻譜圖上，譜線是以基頻為間隔等距離分布的；(3)一般具有收斂性，隨著增大總趨勢減小，直至衰減為零。下面我們看一下譜線結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系 設(shè)前述的周期矩形脈沖寬度仍為，幅度仍為1，周期為，則由式（5）有： 由圖中可見譜線結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系，當脈寬維持不變，增大（即不斷增大），則相應(yīng)頻譜圖上的譜線間隔（即）變小，相應(yīng)的頻譜包絡(luò)線的幅度也變小。 不難推論，當周期無限增長，即時，此時的周期矩形脈沖信號就成為非周期信號（非周期矩形脈沖），同時譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。但從圖上也可以看出，此時各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，即，因此這樣也就無法再用傅立葉級數(shù)來描述非周期信號的頻域特性。 上圖中，還畫出了三種不同情況時周期信號的的圖形，由圖中可見的包絡(luò)線為： = 可見，這一包絡(luò)線（或）與的變化無關(guān)。也就是說，隨著，雖然圖形的譜線間隔越來越密，并趨近于零，導致周期信號的離散頻譜過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜，但圖形的幅度始終維持不變。 因此，可以考慮用來描述非周期信號的頻域特性。3.2.2 非周期信號的傅里葉變換 非周期信號f(t)可看成是信號周期T時的周期信號。 前已指出當周期T趨近于無窮大時，譜線間隔趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。但同時各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過這些無窮小量之間仍有差別。 由于與的變化無關(guān)，為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令 （單位頻率上的頻譜）則稱為頻譜密度函數(shù)。 由式（4）： 由式（3）：稱為的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。稱為的傅里葉反變換或原函數(shù)。 也可簡記為:3.2.3 常用非周期函數(shù)的傅里葉變換(頻譜)1. 2. 可見：單位沖激函數(shù)的頻譜在整個頻域內(nèi)等于一個常數(shù)，即在整個頻域中頻譜是均勻分布的，該譜亦稱為“均勻譜”或“白色譜”。注意：常用典型信號的傅立葉變換與相應(yīng)頻譜圖，具體見教材P89頁、表3.2，其中標號為1、2、3、7、8、9、10、12、13的信號與對應(yīng)頻譜，應(yīng)熟練掌握并予以記憶。總結(jié)： 本次課程講授內(nèi)容的理論性較強，公式推導較多，目的在于把握從“時域”到“變換域”的特點和意義。時域分析清晰明了，為什么要進行變換域分析？形象化的描述就是：換一個角度看世界！原來生活很精彩，世界真奇妙！ 對于傅立葉變換，詳細分析與推導的宗旨，就是要從理論上把握它的來龍去脈，實現(xiàn)“不僅知其然，而且知其所以然”。在領(lǐng)悟了分析推導過程的基礎(chǔ)上，凝練的關(guān)鍵要點實質(zhì)上也就如下幾點：（1）頻域分析與頻譜的基本概念；（2）任意的周期信號，可以用傅立葉級數(shù)進行展開，具有兩種形式；三角形式: 復指數(shù)形式: 周期信號的頻譜是“離散譜”（3）非周期信號，采用“傅立葉變換對”可進行傅立葉變換； 非周期信號的頻譜是“連續(xù)譜”（4）常用或典型非周期信號的傅