2019年初中數(shù)學(xué)突破中考壓軸題幾何模型之正方形的半角模型教案(有答案)

1.掌握正方形的定義，弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關(guān)系。2.掌握正方形的性質(zhì)定理1和性質(zhì)定理2。3.正確運用正方形的性質(zhì)解題。4.通過四邊形的從屬關(guān)系滲透集合思想。5.通過理解四種四邊形內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證觀點。正方形的性質(zhì)因為正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有這些圖形性質(zhì)的綜合，因此正方形有以下性質(zhì)（由學(xué)生 和老師一起總結(jié)）。正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊相等。正方形性質(zhì)定理2：正方形的兩條對角線相等并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。說明：定理2包括了平行四邊形，矩形，菱形對角線的性質(zhì)，一個題設(shè)同時有四個結(jié)論，這是該定理的特點，在應(yīng)用時需要哪個結(jié)論就用哪個結(jié)論，并非把結(jié)論寫全。小結(jié)： （1）正方形與矩形，菱形，平行四邊形的關(guān)系如上圖（2）正方形的性質(zhì)：正方形對邊平行。正方形四邊相等。正方形四個角都是直角。正方形對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。例1如圖，折疊正方形紙片，先折出折痕，再折疊使邊與對角線重合，得折痕，使，求【解析】：作GMBD，垂足為M 由題意可知ADG=GDM， 則ADGMDG DM=DA=2 AC=GM 又易知：GM=BM 而BM=BD-DM=2-2=2（-1）， AG=BM=2（-1）例2 如圖，為正方形內(nèi)一點，并且點到邊的距離也等于，求正方形的面積？【解析】：過作于交于 設(shè)，則， 由 可得： 故 例3. 如圖，、分別為正方形的邊、上的一點，垂足為，則有，為什么？【解析】：要說明EF=BE+DF，只需說明BE=EM，DF=FM即可，而連結(jié)AE、AF只要能說明ABEAME，ADFAMF即可 理由：連結(jié)AE、AF 由AB=AM，ABBC，AMEF，AE公用， ABEAME BE=ME 同理可得，ADFAMF DF=MFEF=ME+MF=BE+DF例4如下圖、分別在正方形的邊、上，且，試說明?！窘馕觥浚簩DF旋轉(zhuǎn)到ABC，則ADFABGAF=AG，ADF=BAG，DF=BGEAF=45且四邊形是正方形，ADFBAE=45GABBAE=45即GAE=45AEFAEG（SAS）EF=EG=EBBG=EBDF例5. 如圖，在正方形的、邊上取、兩點，使，于. 求證： 【解析】：欲證 AG=AB，就圖形直觀來看，應(yīng)證RtABE與RtAGE全等，但條件不夠. EAF=45怎么用呢？顯然12=45，若把它們拼在一起，問題就解決了. 【證明】：把 AFD繞A點旋轉(zhuǎn)90至AHB. EAF=45，12=45. 2=3，13=45. 又由旋轉(zhuǎn)所得 AH=AF，AE=AE. AEFAEH. 例6.(1) 如圖1,在正方形中,點,分別在邊,上,交于點,.求證：.圖2(2) 如圖2,在正方形中,點,分別在邊,上,交于點,.求的長.1. 已知點,分別在矩形的邊,上，,交于點,. 直接寫出下列兩題的答案：如圖3,矩形由個全等的正方形組成,求的長； 如圖4,矩形由個全等的正方形組成,求的長(用的代數(shù)式表示).圖4圖3圖1【解析】(1) 證明：如圖1， 四邊形ABCD為正方形， AB=BC,ABC=BCD=90， EAB+AEB=90. EOB=AOF90, FBC+AEB=90， EAB=FBC， 圖2ONM ABEBCF ， BE=CF (2) 解：如圖2,過點A作AM/GH交BC于M，過點B作BN/EF交CD于N,AM與BN交于點O/，則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形， EF=BN,GH=AM， FOH90, AM/GH，EF/BN, NO/A=90,故由(1)得, ABMBCN， AM=BN， GH=EF=4 (3) 8 4n 【雙基訓(xùn)練】1. 如圖6，點在線段上，四邊形與都是正方形，其邊長分別為和，則的面積為_ (6) (7)2你可以依次剪6張正方形紙片，拼成如圖7所示圖形如果你所拼得的圖形中正方形的面積為1，且正方形與正方形的面積相等，那么正方形的面積為_3.如圖9，已知正方形的面積為35平方厘米，、分別為邊、上的點、相交于，并且的面積為14平方厘米，的面積為5平方厘米，那么四邊形的面積是_4. 如圖，、三點在同一條直線上，。分別以、為邊作正方形和正方形，連接，。求證：。5.如圖 ，是正方形是上的一點，于 ，于 （1）求證：； ADEFCGB（2）求證：【縱向應(yīng)用】6. 在正方形中，求證：7. 在正方形中，,求證： 8. 如圖13，點為正方形對角線上一點, , AD 求證：BCF 13E G9.已知：點、分別正方形中和的中點，連接和相交于點,于點.一、 求證： ；二、 如果,求的長；三、 求證： 【練習(xí)題答案】16cm2 23634cm2（面積法）4.證明：FN=EC。證明：在正方形ABEF和正方形BCMN中，AB=BE=EF，BC=BN，F(xiàn)EN=EBC=90AB=2BCEN=BC FENEBC FN=EC。 5.略6.提示：注意到基本圖形中的AE=AF.1. 兩次應(yīng)用內(nèi)角平分線定理和CE=CF可證2. 過點O作OGDE和CO=CG,CF=CE可證. 3， 過點O作OHBE, OF= OH=7.提示：一條線段的一半或2倍這兩者的位置關(guān)系有哪兩種8.提示：延長AE交GF于點M，DC,使CH=DG,連接HF,證四邊形對角互補,法2：延長FE，AE證全等三角形9.（1)略（2）（3）作CMDG,證DM=AG=0.5DG（1）定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。（2）特征：邊：兩組對邊分別平行；四條邊都相等； 內(nèi)角：四個角都是90； 對角線：對角線互相垂直；對角線相等且互相平分；每條對角線平分一組對角。（3）主要識別方法： 1：對角線相等的菱形是正方形 2：對角線互相垂直的矩形是正方形 3：四邊相等，有一個角是直角的四邊形是正方形 4：一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形 5：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形。不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形。正方形的中點四邊形是正方形。例1. 已知：如圖，是正方形內(nèi)點， 求證：是正三角形APCDB【證明】：如下圖做DGC使與ADP全等，可得PDG為等邊，從而可得DGCAPDCGP,得出PC=AD=DC,和DCG=PCG150所以DCP=300 ，從而得出PBC是正三角形PCGFBQADE例2. 如圖，分別以的和為一邊，在的外側(cè)作正方形和正方形，點是的中點求證：點到邊的距離等于的一半【證明】：過E,C,F點分別作AB所在直線的高EG，CI，F(xiàn)H?？傻肞Q=。由EGAAIC，可得EG=AI，由BFHCBI，可得FH=BI。從而可得PQ= = ，從而得證。例4. 如圖，四邊形為正方形，與相交于求證：【證明】：順時針旋轉(zhuǎn)ADE，到ABG，連接CG. 由于ABG=ADE=900+450=1350 從而可得B，G，D在一條直線上，可得AGBCGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得AGC為等邊三角形。 AGB=300，既得EAC=300，從而可得A EC=750。 又EFC=DFA=450+300=750.AFDECB 可證：CE=CF。例6. 設(shè)是正方形一邊上的任一點，平分求證：【證明】：作FGCD，F(xiàn)EBE，可以得出GFEC為正方形。 令A(yù)B=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tanBAP=tanEPF=，可得YZ=XY-X2+XZ， 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出ABPPEF ， 得到PAPF ，得證 。DFEPCBADACBPD例7. 已知：是邊長為1的正方形內(nèi)的一點，求的最小值【證明】：順時針旋轉(zhuǎn)BPC 600 ，可得PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AF。既得AF= = = = = = 。例8. 為正方形內(nèi)的一點，并且，求正方形的邊長【證明】順時針旋轉(zhuǎn)ABP 900 ，可得如下圖： 既得正方形邊長L = = 。ACBPD【雙基訓(xùn)練】1.如圖，四邊形是正方形，對角線、相交于，四邊形是菱形，若正方形的邊長為6，則菱形的面積為_2.如圖，是正方形，為上一點，四邊形恰是一個菱形，則=_【縱向應(yīng)用】3.如圖，四邊形是邊長為的正方形，點，分別是邊，的中點，且交正方形外角的平分線于點 （1）證明：；（2）證明：；（3）求的面積【橫向拓展】4.如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對角線（不含點）上任意一點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、. 求證：； 當(dāng)點在何處時，的值最?。划?dāng)點在何處時，的值最小，并說明理由； 當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r，求正方形的邊長.EA DB CNM【練習(xí)題答案】1362【解析】連結(jié)BD交AC于點O，作EMAC于點M 設(shè)正方形邊長為a，則AC=BD=AE=a 又ACBF，BOAC，EMAC， BO=EM=BD=a 在RtAEM中，AE=a，EM=a CAE=30 則EAB=153.（1）證明：AEF=90o， FEC+AEB=90o在RtABE中，AEB+BAE=90o，BAE=FEC；（2）證明：G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的中點，AG=GB=BE=EC，且AGE=180o45o=135o又CF是DCH的平分線， ECF=90o+45o=135o在AGE和ECF中， AGEECF； （3）解：由AGEECF，得AE=EF又AEF=90o，AEF是等腰直角三角形由AB=a，BE=a，知AE=a，SAEF=a24.【解析】：ABE是等邊三角形，F(xiàn)EA DB CNMBABE，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）. 5分當(dāng)M點落在BD的中點時，AMCM的值最小. 如圖，連接CE，當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AMBMCM的值最小. 理