17.2.勾股定理的逆定理 1 2 ppt課件

人教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè) 第十七勾股定理ppt 寒蔥溝鎮(zhèn)中學(xué)孫元成2015 3 19 17 2 1勾股定理的逆定理 1 本課在學(xué)習(xí)勾股定理的基礎(chǔ)上 研究當(dāng)三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方時(shí) 這個(gè)三角形是否為直角三角形 在研究過程中 介紹了逆命題 逆定理的概念 課件說明 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 理解勾股定理的逆定理 經(jīng)歷 觀察 測(cè)量 猜想 論證 的定理探究的過程 體會(huì) 構(gòu)造法 證明數(shù)學(xué)命題的基本思想 2 了解逆命題的概念 知道原命題為真命題 它的逆命題不一定為真命題 學(xué)習(xí)重點(diǎn) 探索并證明勾股定理的逆定理 課件說明 勾股定理如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a b 斜邊長(zhǎng)為c 那么a2 b2 c2 題設(shè) 條件 直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a b 斜邊長(zhǎng)為c 結(jié)論 a2 b2 c2 問題1回憶勾股定理的內(nèi)容 形 數(shù) 回憶舊知再次梳理 溫故知新 勾股定理 如果直角三角形的兩直角邊為a b 斜邊長(zhǎng)為c 那么a2 b2 c2 反過來(lái) 如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a b c滿足a2 b2 c2 那么這個(gè)三角形的形狀怎樣 思考 逆向思考提出問題 思考如果三角形的三邊長(zhǎng)a b c滿足a2 b2 c2 那么這個(gè)三角形是否是直角三角形 逆向思考提出問題 據(jù)說 古埃及人曾用下面的方法畫直角 把一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié) 然后以3個(gè)結(jié)間距 4個(gè)結(jié)間距 5個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng) 用木樁釘成一個(gè)三角形 其中一個(gè)角便是直角 你認(rèn)為結(jié)論正確嗎 實(shí)驗(yàn)操作 1 畫一畫 下列各組數(shù)中的兩數(shù)平方和等于第三數(shù)的平方 分別以這些數(shù)為邊長(zhǎng)畫出三角形 單位 cm 它們是直角三角形嗎 2 5 6 6 5 6 8 10 2 量一量 用量角器分別測(cè)量上述各三角形的最大角的度數(shù) 3 想一想 請(qǐng)判斷這些三角形的形狀 并提出猜想 精確驗(yàn)證提出猜想 已知 如圖 ABC的三邊長(zhǎng)a b c 滿足a2 b2 c2 求證 ABC是直角三角形 三角形全等 邏輯推理證明結(jié)論 a C 900 A B 2 a2 b2 a2 b2 c2 A B 2 c2 A B c 邊長(zhǎng)取正值 ABC A B C SSS C C 全等三角形對(duì)應(yīng)角相等 C 900 已知 在 ABC中 AB cBC aCA b且a2 b2 c2 求證 ABC是直角三角形 證明 畫一個(gè) A B C 使 C 900 B C a C A b 在 ABC和 A B C 中 ABC是直角三角形 直角三角形的定義 勾股定理的逆命題證明 作用 判定一個(gè)三角形三邊滿足什么條件時(shí)為直角三角形 演繹推理形成定理 定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)a b c滿足a2 b2 c2 那么這個(gè)三角形是直角三角形 例1判斷由線段a b c組成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 17 c 8 2 a 13 b 15 c 14 3 a b 4 c 5 直接運(yùn)用鞏固知識(shí) 分析 根據(jù)勾股定理及其逆定理判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形 只要看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等于最大邊長(zhǎng)的平方 解 1 152 82 225 64 289 172 289 152 82 172 以15 8 17為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形 例1判斷由線段a b c組成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 17 c 8 2 a 13 b 15 c 14 3 a b 4 c 5 直接運(yùn)用鞏固知識(shí) 像15 17 8這樣 能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù) 稱為勾股數(shù) 分析 根據(jù)勾股定理及其逆定理判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形 只要看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等于最大邊長(zhǎng)的平方 勾股定理的逆定理 定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)a b c滿足a2 b2 c2 那么這個(gè)三角形是直角三角形 兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反 像這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題 如果把其中一個(gè)命題叫做原命題 那么另一個(gè)命題叫做它的逆命題 階段小結(jié)適時(shí)梳理 勾股定理的逆命題 勾股定理 如果直角三角形兩直角邊分別為a b 斜邊為c 那么a2 b2 c2 直接運(yùn)用鞏固知識(shí) 說出下列命題的逆命題 這些命題的逆命題是真命題嗎 1 兩條直線平行 內(nèi)錯(cuò)角相等 逆命題 內(nèi)錯(cuò)角相等 兩直線平行 真命題 2 對(duì)頂角相等 逆命題 相等的角是對(duì)頂角 假命題 3 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等 逆命題 到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上 真命題 隨堂練習(xí) 1 將下列長(zhǎng)度的三木棒首尾順次連接 能組成直角三角形的是 A 1 2 3 B 4 6 8 C 5 5 4 D 15 12 9 2 如果線段a b c能組成直角三角形 則它們的比可能是 A 3 4 7 B 5 12 13 C 1 2 4 D 1 3 5 D B 三角形的三邊分別是a b c 且滿足 a b 2 c2 2ab 則此三角形是 A 直角三角形 B 是銳角三角形 是鈍角三角形 D 是等腰直角三角形 A 4 一個(gè)零件的形狀如下圖所示 按規(guī)定這個(gè)零件中 A和 DBC都應(yīng)為直角 工人師傅量出了這個(gè)零件各邊尺寸 那么這個(gè)零件符合要求嗎 此時(shí)四邊形ABCD的面積是多少 5 已知a b c為 ABC的三邊 且滿足a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 試判斷 ABC的形狀 6 ABC三邊a b c為邊向外作正方形 正三角形 以三邊為直徑作半圓 若S1 S2 S3成立 則 是直角三角形嗎 A C a b c S1 S2 S3 B A B C a b c S1 S2 S3 活動(dòng)2 范例講解 例7 判斷由線段a b c組成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 8 c 17 2 a m2 n2 b m2 n2 c 2mn m n m n是正整數(shù) 解 1 a2 225 b2 64 c2 289又 225 64 289 a2 b2 c2即 三角形是直角三角形 2 a2 m2 n2 2 m4 2m2n2 n4 b2 m2 n2 2 m4 2m2n2 n4 c2 2mn 2 4m2n2又 m4 2m2n2 n4 4m2n2 m4 2m2n2 n4 a2 c2 b2即 三角形是直角三角形 知識(shí)運(yùn)用 8如圖 在正方形ABCD中 E是BC的中點(diǎn) F是CD上一點(diǎn) 且CF CD 猜想 AEF的形狀 并證明你的結(jié)論 解 AEF是直角三角形 理由 設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是a 則 9 臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害 它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心 在周圍數(shù)十千米的范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴 有極強(qiáng)的破壞力 如圖所示 據(jù)氣象部門報(bào)道 距沿海城市A的正南方向220千米B處有一個(gè)臺(tái)風(fēng)中心 其中心最大風(fēng)力12級(jí) 距離臺(tái)風(fēng)中心20千米 風(fēng)力會(huì)減弱一級(jí) 該臺(tái)風(fēng)正以15km h的速度沿北偏東30 方向往C處移動(dòng) 且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變 若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過四級(jí) 則稱受到臺(tái)風(fēng)影響 1 該城市是否會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的影響 請(qǐng)說明理由 2 若受到影響 那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間為多長(zhǎng) 3 該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí) 思考題 10 已知a b c為 ABC的三邊 且滿足a2c2 b2c2 a4 b4 試判斷 ABC的形狀 解 a2c2 b2c2 a4 b4 1 c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 2 c2 a2 b2 3 ABC是直角三角形問 1 上述解題過程 從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤 請(qǐng)寫出該步的代號(hào) 2 錯(cuò)誤原因是 3 本題正確的結(jié)論是 3 a2 b2可能是0 直角三角形或等腰三角形 11 如圖 在 ABC中 AB 13 BC 10 BC邊上的中線AD 12 求證 AB AC 證明 AD是BC邊上的中線 BD CD 1 2BC 5 在 ABD中 AB 13 BD 5 AD 12 BD2 AD2 52 122 169 AB2 ABD是直角三角形 ACD也是直角三角形 根據(jù)勾股定理得到 AB AC 13 判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法 角 有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形 邊 如果三角形的三邊長(zhǎng)a b c滿足a2 b2 c2 那么這個(gè)三角形是直角三角形 1 2勾股定理的逆定理 2 互逆命題 兩個(gè)命題中 如果它們的題設(shè) 結(jié)論正好相反 那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題 如果把其中一個(gè)叫做原命題 那么另一個(gè)叫做它的逆命題 互逆定理 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的 那么它也是一個(gè)定理 稱這兩個(gè)定理叫做互逆定理 其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆定理 知識(shí)回顧 1 兩條直線平行 內(nèi)錯(cuò)角相等 2 如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等 那么它們的平方相等 3 如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等 那么它們的絕對(duì)值相等 4 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 說出下列命題的逆命題 這些命題的逆命題成立嗎 逆命題 內(nèi)錯(cuò)角相等 兩條直線平行 成立 逆命題 如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等 那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等 不成立 逆命題 如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等 那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等 不成立 逆命題 對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形 不成立 感悟 原命題成立時(shí) 逆命題有時(shí)成立 有時(shí)不成立 一個(gè)命題是真命題 它的逆命題卻不一定是真命題 勾股定理 直角三角形的兩直角邊為a b 斜邊為c 則有a2 b2 c2勾股定理的逆定理 若三角形的三邊a b c滿足a2 b2 c2 則這個(gè)三角形是直角三角形 較大邊c所對(duì)的角是直角 知識(shí)回顧 例1判斷由a b c組成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 8 c 17 2 a 13 b 15 c 14 分析 由勾股定理的逆定理 判斷三角形是不是直角三角形 只要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方 解 152 82 225 64 289172 289 152 82 172 這個(gè)三角形是直角三角形 下面以a b c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形 如果是那么哪一個(gè)角是直角 1 a 25b 20c 15 2 a 13b 14c 15 4 a b c 3 4 5 是 是 不是 是 A 900 B 900 C 900 3 a 1b 2c 像25 20 15 能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù) 稱為勾股數(shù) B A 銳角三角形B 直角三角形C 鈍角三角形D 等邊三角形 1 2 已知 如圖 四邊形ABCD中 B 900 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四邊形ABCD的面積 S四邊形ABCD 36 1 長(zhǎng)度分別為3 4 5 12 13的五根木棒能搭成 首尾連接 直角三角形的個(gè)數(shù)為 A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè) B A 復(fù)習(xí)與鞏固 3 三角形的三邊長(zhǎng)a b c滿足 a b 2 c2 2ab 則這個(gè)三角形是 A等邊三角形B鈍角三角形C直角三角形D銳角三角形 C 1 已知三角形的三邊長(zhǎng)為9 12 15 則這個(gè)三角形的最大角是 度 2 ABC的三邊長(zhǎng)為9 40 41 則 ABC的面積為 90 180 3 三角形的三邊長(zhǎng)為8 15 17 那么最短邊上的高為 4 若 ABC中 AB 5 BC 12 AC 13 則AC邊上的高長(zhǎng)為 15 60 13 5 在Rt ABC中 斜邊AB 1 則AB2 BC2 CA2 6 在Rt ABC中 C 90 CD是高 AB 1 則2CD2 AD2 BD2 7 等腰三角形ABC中 若AB AC 10 BC 6 則 ABC的面積為 8 三角形的三邊長(zhǎng)a b c滿足a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 此三角形為 三角形 9 如果一個(gè)三角形的三邊為a b c滿足a2 c2 b2 那么這個(gè)三角形是 三角形 其中b邊是 邊 b邊所對(duì)的角是 角 直角 斜 直 10工人師傅想要檢測(cè)一扇小門兩邊AB CD是否垂直于底邊BC 但他只帶了一把卷尺 你能替工人師傅想辦法完成任務(wù)嗎 12 如圖 有一塊地 已知 AD 4m CD 3m ADC 90 AB 13m BC 12m 求這塊地的面積 24平方米 例1 某港口位于東西方向的海岸線上 遠(yuǎn)航 號(hào) 海天 號(hào)輪船同時(shí)離開港口 各自沿一固定方向航行 遠(yuǎn)航 號(hào)每小時(shí)航行16海里 海天 號(hào)每小時(shí)航行12海里 它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里 如果知道 遠(yuǎn)航 號(hào)沿東北方向航行 能知道 海天 號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎 例2 如圖 點(diǎn)A是一個(gè)半徑為400m的圓形森林公園的中心 在森林公園附近有B C兩個(gè)村莊 現(xiàn)要在B C兩村莊之間修一條長(zhǎng)為1000m的筆直公路將兩村連通 經(jīng)測(cè)得AB 600m AC 800m 問此公路是否會(huì)穿過該森林公園 請(qǐng)通過計(jì)算說明 400 1000 D 應(yīng)用拓展 1 如圖 邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中 F是DC的中點(diǎn) 且CE BC 則AF EF 試說明理由 解 連接AE ABCD是正方形 邊長(zhǎng)是4 F是DC的中點(diǎn) EC 1 4B