【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)】第7練

專題3函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第7練抓重點(diǎn) 函數(shù)性質(zhì)與分段函數(shù) 題型分析 高考展望 函數(shù)單調(diào)性 奇偶性 周期性是高考必考內(nèi)容 以分段函數(shù)為載體是?？碱}型 主要以選擇題或填空題的形式考查 難度為中檔偏上 二輪復(fù)習(xí)中 應(yīng)該重點(diǎn)訓(xùn)練函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用能力 收集函數(shù)應(yīng)用的不同題型 分析比較異同點(diǎn) 排查與其他知識(shí)的交匯點(diǎn) 找到此類問題的解決策略 通過訓(xùn)練提高解題能力 常考題型精析 高考題型精練 題型一函數(shù)單調(diào)性 奇偶性的應(yīng)用 題型二函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的應(yīng)用 題型三分段函數(shù) ?？碱}型精析 題型一函數(shù)單調(diào)性 奇偶性的應(yīng)用 2 若f x 和g x 都是增函數(shù) 則f x g x 也是增函數(shù) f x 是減函數(shù) 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)同增異減的法則判斷 3 定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù) 4 奇偶性相同的兩函數(shù)的積為偶函數(shù) 奇偶性相反的兩函數(shù)的積為奇函數(shù) 例1 1 2014 湖北 已知函數(shù)f x 是定義在R上的奇函數(shù) 當(dāng)x 0時(shí) f x x a2 x 2a2 3a2 若 x R f x 1 f x 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 解析因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí) f x x a2 x 2a2 3a2 所以當(dāng)0 x a2時(shí) f x a2 x 2a2 x 3a2 x 當(dāng)a2 x 2a2時(shí) f x x a2 2a2 x 3a2 a2 當(dāng)x 2a2時(shí) f x x a2 x 2a2 3a2 x 3a2 因此 根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱作出函數(shù)f x 在R上的大致圖象如圖 觀察圖象可知 要使 x R f x 1 f x 則需滿足2a2 4a2 1 答案B 2 2014 課標(biāo)全國 已知偶函數(shù)f x 在 0 上單調(diào)遞減 f 2 0 若f x 1 0 則x的取值范圍是 解析 f x 是偶函數(shù) 圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 又f 2 0 且f x 在 0 單調(diào)遞減 則f x 的大致圖象如圖所示 由f x 1 0 得 2 x 1 2 即 1 x 3 1 3 點(diǎn)評(píng) 1 奇偶性 具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上其圖象 函數(shù)值 解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切 研究問題時(shí)可轉(zhuǎn)化到只研究部分 一半 區(qū)間上 這是簡化問題的一種途徑 尤其注意偶函數(shù)f x 的性質(zhì) f x f x 2 單調(diào)性 可以比較大小 求函數(shù)最值 解不等式 證明方程根的唯一性 變式訓(xùn)練1 1 2015 天津 已知定義在R上的函數(shù)f x 2 x m 1 m為實(shí)數(shù) 為偶函數(shù) 記a f log0 53 b f log25 c f 2m 則a b c的大小關(guān)系為 A a b cB c a bC a c bD c b a解析由函數(shù)f x 2 x m 1為偶函數(shù) 得m 0 f x 2 x 1 當(dāng)x 0時(shí) f x 為增函數(shù) log0 53 log23 log25 log23 0 b f log25 a f log0 53 c f 2m f 0 故選B 答案B 2 2015 北京 下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 A y x2sinxB y x2cosxC y lnx D y 2 x解析由f x f x 且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 可知A為奇函數(shù) B為偶函數(shù) C定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D為非奇非偶函數(shù) B 題型二函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的應(yīng)用 重要結(jié)論 1 若對(duì)于定義域內(nèi)的任意x 都有f a x f a x 則f x 關(guān)于x a對(duì)稱 2 若對(duì)于任意x都有f x T f x 則f x 的周期為T 例2 1 已知函數(shù)f x 是 上的奇函數(shù) 且f x 的圖象關(guān)于直線x 1對(duì)稱 當(dāng)x 1 0 時(shí) f x x 則f 2015 f 2016 解析由f x 是 上的奇函數(shù)且f x 的圖象關(guān)于直線x 1對(duì)稱 知f x 的周期為4 f 2015 f 3 f 1 1 f 2016 f 4 f 0 0 f 2015 f 2016 1 0 1 1 2 定義在R上的函數(shù)f x 滿足f x 6 f x 當(dāng) 3 x 1時(shí) f x x 2 2 當(dāng) 1 x 3時(shí) f x x 則f 1 f 2 f 3 f 2016 解析由f x 6 f x 可知 函數(shù)f x 的一個(gè)周期為6 所以f 3 f 3 1 f 2 f 4 0 f 1 f 5 1 f 0 f 6 0 f 1 1 f 2 2 所以在一個(gè)周期內(nèi)有f 1 f 2 f 6 1 2 1 0 1 0 1 所以f 1 f 2 f 2016 f 1 f 2 f 6 336 336 答案336 點(diǎn)評(píng)利用函數(shù)的周期性 對(duì)稱性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)解析式 圖象和性質(zhì) 把不在已知區(qū)間上的問題 轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解 變式訓(xùn)練2已知定義在R上的偶函數(shù)滿足 f x 4 f x f 2 且當(dāng)x 0 2 時(shí) y f x 單調(diào)遞減 給出以下四個(gè)命題 f 2 0 x 4為函數(shù)y f x 圖象的一條對(duì)稱軸 函數(shù)y f x 在 8 10 上單調(diào)遞增 若方程f x m在 6 2 上的兩根為x1 x2 則x1 x2 8 則所有正確命題的序號(hào)為 解析令x 2 得f 2 f 2 f 2 f 2 0 又函數(shù)f x 是偶函數(shù) 故f 2 0 正確 根據(jù) 可得f x 4 f x 可得函數(shù)f x 的周期是4 由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 故x 4也是函數(shù)y f x 圖象的一條對(duì)稱軸 正確 根據(jù)函數(shù)的周期性可知 函數(shù)f x 在 8 10 上單調(diào)遞減 不正確 由于函數(shù)f x 的圖象關(guān)于直線x 4對(duì)稱 故如果方程f x m在區(qū)間 6 2 上的兩根為x1 x2 則 4 即x1 x2 8 正確 故正確命題的序號(hào)為 答案 題型三分段函數(shù) 1 求實(shí)數(shù)m的值 解 函數(shù)f x 是奇函數(shù) f x f x 當(dāng)x 0時(shí) x 0 有 x 2 mx x2 2x 即x2 mx x2 2x m 2 2 若函數(shù)f x 在區(qū)間 1 a 2 上單調(diào)遞增 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 當(dāng)x 0時(shí) f x x2 2x x 1 2 1 當(dāng)x 1 時(shí) f x 單調(diào)遞減 當(dāng)x 0 1 時(shí) f x 單調(diào)遞增 當(dāng)x 0時(shí) f x x2 2x x 1 2 1 當(dāng)x 1 時(shí) f x 單調(diào)遞減 當(dāng)x 1 0 時(shí) f x 單調(diào)遞增 綜上知 函數(shù)f x 在 1 1 上單調(diào)遞增 又函數(shù)f x 在區(qū)間 1 a 2 上單調(diào)遞增 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是 1 3 點(diǎn)評(píng) 1 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)在其定義域的不同子集上 因?qū)?yīng)關(guān)系的不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示的 分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集 其值域等于各段函數(shù)的值域的并集 分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成 但它表示的是一個(gè)函數(shù) 2 在求分段函數(shù)f x 解析式時(shí) 一定要首先判斷x屬于定義域的哪個(gè)子集 然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式 變式訓(xùn)練3 2014 浙江 設(shè)函數(shù)f x 若f f a 2 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析f x 的圖象如圖 由圖象知 滿足f f a 2時(shí) 得f a 2 而滿足f a 2時(shí) 得a 高考題型精練 1 2015 安徽 下列函數(shù)中 既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是 A y lnxB y x2 1C y sinxD y cosx 解析對(duì)數(shù)函數(shù)y lnx是非奇非偶函數(shù) y x2 1為偶函數(shù)但沒有零點(diǎn) y sinx是奇函數(shù) y cosx是偶函數(shù)且有零點(diǎn) 故選D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由題意得f 1 2 1 2 f f 1 f 2 a 22 4a 1 答案A 5 下列函數(shù)f x 中 滿足 x1 x2 0 且x1 x2 x1 x2 f x1 f x2 0 的是 A f x xB f x x3C f x lnxD f x 2x 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 x1 x2 0 且x1 x2 x1 x2 f x1 f x2 0 等價(jià)于在 0 上f x 為減函數(shù) 易判斷f x x符合 A 6 函數(shù)y f x 1 的圖象關(guān)于直線x 1對(duì)稱 當(dāng)x 0 時(shí) f x xf x b cB b a cC c a bD a c b 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析因?yàn)楹瘮?shù)y f x 1 的圖象關(guān)于直線x 1對(duì)稱 所以y f x 關(guān)于y軸對(duì)稱 所以函數(shù)y xf x 為奇函數(shù) 因?yàn)?xf x f x xf x 所以當(dāng)x 0 時(shí) xf x f x xf x 0 函數(shù)y xf x 單調(diào)遞減 從而當(dāng)x 0 時(shí) 函數(shù)y xf x 單調(diào)遞減 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以b a c 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由x2 由x g x 得x x2 2 1 x 2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 當(dāng)x2 當(dāng)x 2時(shí) f x 8 當(dāng)x 1 2 時(shí) 函數(shù)的值域?yàn)?2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D 8 對(duì)實(shí)數(shù)a和b 定義運(yùn)算 a b 設(shè)函數(shù)f x x2 2 x x2 x R 若函數(shù)y f x c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn) 則實(shí)數(shù)c的取值范圍是 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f x 的圖象如圖所示 由圖象可知B正確 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 f x 是以4為周期的奇函數(shù) 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 當(dāng)0 x 1時(shí) f x x 1 x 當(dāng)1 x 2時(shí) f x sin x 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又 f x 是奇函數(shù) 10 對(duì)于任意實(shí)數(shù)a b 定義min a b 設(shè)函數(shù)f x x 3 g x log2x 則函數(shù)h x min f x g x 的最大值是 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 當(dāng)02時(shí) h x 3 x是減函數(shù) h x 在x 2時(shí)取得最大值h 2 1 1 11 已知函數(shù)f x 其中 x 表示不超過x的最大整數(shù) 若直線y k x 1 k 0 與函數(shù)y f x 的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn) 則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 解析根據(jù) x 表示的意義可知 當(dāng)0 x 1時(shí) f x x 當(dāng)1 x 2時(shí) f x x 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 當(dāng)2 x 3時(shí) f x x 2 以此類推 當(dāng)k x k 1時(shí) f x x k k Z 當(dāng) 1 x 0時(shí) f x x 1 作出函數(shù)f x 的圖象如圖 直線y k x 1 過點(diǎn) 1 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) 3 1 時(shí)恰有三個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) 2 1 時(shí)恰好有兩個(gè)交點(diǎn) 在這兩條直線之間時(shí)有三個(gè)交點(diǎn) 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 已知函數(shù)y f x x R 有下列4個(gè)命題 若f 1 2x f 1 2x 則f x 的圖象關(guān)于直線x 1對(duì)稱 y f x 2 與y f 2 x 的圖象關(guān)于直線x 2對(duì)稱 若f x 為偶函數(shù) 且f 2 x f x 則f x 的圖象關(guān)于直線x 2對(duì)稱 若f x 為奇函數(shù) 且f x f x 2 則f x 的圖象關(guān)于直線x 1對(duì)稱 其中正確命題的序號(hào)為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 1 故函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于直線x 1對(duì)稱 故 正確 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 對(duì)于 令t x 2 則問題等價(jià)于y f t 與y f t 圖象的對(duì)稱問題 顯然這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線t 0對(duì)稱 即函數(shù)y f x 2 與y f 2 x