二次函數(shù)之距離最小(思維)

二次函數(shù)之最短路徑問題例1.(廣東)已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1（1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點O（0，0）時，求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖，當(dāng)m=2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標(biāo)；若P點不存在，請說明理由例2.（甘肅蘭州）如圖，RtABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點，A、B兩點的坐標(biāo)分別為(-3，0)、(0，4)，拋物線yx2bxc經(jīng)過點B，且頂點在直線x上(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若把ABO沿x軸向右平移得到DCE，點A、B、O的對應(yīng)點分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；(3)在(2)的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得PBD的周長最小，求出P點的坐標(biāo)；例3.如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D （1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式； （2）設(shè)點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值； （3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EFBD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由； （4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求APC的面積的最大值例4.（湖南郴州）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖一，點P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個動點，當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點P的坐標(biāo)；（3）如圖二，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，M為拋物線的頂點，那么在直線DE上是否存在一點G，使CMG的周長最?。咳舸嬖冢埱蟪鳇cG的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由例5.（遼寧）如圖16，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過三點（1）求過三點拋物線的解析式并求出頂點的坐標(biāo)；（2）在拋物線上是否存在點，使為直角三角形，若存在，直接寫出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）試探究在直線上是否存在一點，使得的周長最小，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由AOxyBFC圖16AOxyBFC圖16例6.(山西)綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點（1）求直線AC的解析式及B、D兩點的坐標(biāo)；（2）點P是x軸上一個動點，過P作直線lAC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）請在直線AC上找一點M，使BDM的周長最小，求出M點的坐標(biāo)例7.如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標(biāo)分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點設(shè)點P是AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）（1）試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；（2）當(dāng)點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式；（3）設(shè)點E是（2）中所確定拋物線的頂點，當(dāng)點P運動到何處時，PDE的周長最?。壳蟪龃藭r點P的坐標(biāo)和PDE的周長；（4）設(shè)點N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點P，使CPN=90？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)例8.（德州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在點P，使得ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時，求出點P的坐標(biāo)練習(xí):(煙臺)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與M相交于A、B、C、D四點，其中A、B兩點的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，2），點D在x軸上且AD為M的直徑點E是M與y軸的另一個交點，過劣弧上的點F作FHAD于點H，且FH=1.5（1）求點D的坐標(biāo)及該拋物線的表達式；（2）若點P是x軸上的一個動點，試求出PEF的周長最小時點P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使QCM是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由例10.已知拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點A（1，3）和點B（2，1）。（1）求此拋物線解析式； （2）點C、D分別是x軸和y軸上的動點，求四邊形ABCD周長的最小值，并寫出C.D兩點的坐標(biāo)；（3）在拋物線AB段上存在一點E，使ABE的面積最大，求E點的坐標(biāo)；請直接寫出以A.B和E為頂點的平行四邊形的第四個頂點P的坐標(biāo)。例11.如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的頂點為C（l，4），交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，其中點B的坐標(biāo)為（3，0）（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，過點A的直線與拋物線交于點 E，交y軸于點F，其中點E的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為直線 PQ上的一動點，則x軸上是否存在一點H，使D、G，H、F四點所圍成的四邊形周長最??？若存在，求出這個最小值及點G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，在拋物線上是否存在一點T，過點T作x軸的垂線，垂足為點M，過點M作MNBD，交線段AD于點N，連接MD，使DNMBMD？若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由例12.已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A（m2，0）和B（2m1，0）（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，頂點為P，對稱軸為l：x1（1）求拋物線解析式（2）直線ykx2(k0)與拋物線相交于兩點M（x1，y1），N(x2，y2)（x1x2），當(dāng)|x1-x2|最小時，求拋物線與直線的交點M和N的坐標(biāo)（3）首尾順次連接點O，B，P，C構(gòu)成多邊形的周長為L若線段OB在x軸上移動，求L最小值時點O，B移動后的坐標(biāo)及L的最小值例9.（衢州）如圖，已知點A（-4，8）和點B（2，n）在拋物線y=ax2上（1）求a的值及點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標(biāo)；（2）平移拋物線y=ax2，記平移后點A的對應(yīng)點為A，點B的對應(yīng)點為B，點C（-2，0）和點D（-4，0）是x軸上的兩個定點當(dāng)拋物線向左平移到某個位置時，AC+CB最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；當(dāng)拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形ABCD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由例13.(重慶)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），交軸于點W，頂點為C，拋物線的對稱軸與軸的交點為D。（1）求直線BC的解析式。（2）點E（m，0），F(xiàn)（m+2，0）為x軸上兩點，其中，分別垂直于x軸，交拋物線與點，交BC于點M，N，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，在y軸上找一點R，使得值最大，請求出R點的坐標(biāo)及的最大值。例14.（自貢）如圖，拋物線l交x軸于點A（3，0）、B（1，0），交y軸于點C（0，3）將拋物線l沿y軸翻折得拋物線l1（1）求l1的解析式；（2）在l1的對稱軸上找出點P，使點P到點A的對稱點A1及C兩點的距離差最大，并說出理由；例15.如圖，已知直線y=1/2x+1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線y=1/2x2+bx+c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標(biāo)為（1，0）（1）求該拋物線的解析式；（2）動點P在x軸上移動，當(dāng)PAE是直角三角形時，求點P的坐標(biāo)P；（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AM-MC|的值最大，求出點M的坐標(biāo)例16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD=90，BC與y軸相交于點M，且M是BC的中點，A、B、D三點的坐標(biāo)分別是A（），B（），D（3，0）連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON若拋物線經(jīng)過點D、M、N（1）求拋物線的解析式（2）拋物線上是否存在點P，使得PA=PC，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為E，點Q是拋物線的對稱軸上的一個動點，當(dāng)點Q在什么位置時有|QE-QC|最大？并求出最大值檢測1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（2，0）、B（4，0）兩點，直線yx+2交y軸于點C，且過點D（8，m）（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上找一點P，使CP+DP的值最小，求出點P的坐標(biāo)；（3）將拋物線y=x2+bx+c左右平移，記平移后點A的對應(yīng)點為A，點B的對應(yīng)點為B，當(dāng)四邊形ABDC的周長最小時，求拋物線的解析式及此時四邊形ABDC周長的最小值（4）設(shè)拋物線的頂點為Q，過點C作x軸的平行線L，點M在直線L上，且MNx軸，垂足為N，若DM+MN+NQ最小，直接寫出此時點M,N的坐標(biāo)。2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，頂點為C（1）求此二次函數(shù)解析式；（2）點D為點C關(guān)于x軸的對稱點，過點A作