上學(xué)期拓?fù)鋵W(xué)考試試卷及答案

1、大學(xué)拓?fù)鋵W(xué)考試試卷參考答案（ A ）、選擇題 （將正確答案填入題后的括號內(nèi) ,每題 3 分，共 15 分）1、 1、已知 Xa,b, c, d,e,下列集族中，（）是 X 上的拓?fù)?.A.TX, a, a,b, a,c,eB.TX,a,b,c, a,b,d, a,b,c,eC.TX,a, a,bD.TX,a,b, c, d, e2、設(shè) X a,b,c,d ，拓?fù)?T X, , a, b,c,d,則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（）A.1B.2C. 3 D. 43、在實數(shù)空間中，整數(shù)集 Z 的內(nèi)部 Z o 是（ ）A. B. Z C.R-Z D. R4、 已知X是一個平庸拓?fù)淇臻g，A是X的子集

2、,則下列結(jié)論中正確的是（）A.若 A,則 AdB.若 A x°,則 Ad XC.若 A=X1,X2,則 AdX A D.若 A X1,X2,則 Ad A5、平庸空間的任一非空真子集為 （）A. 開集 B. 閉集 C. 既開又閉 D. 非開非閉 二、簡答題（每題 3分，共 15分）1、A2空間2、TI空間：3、不連通空間4、序列緊致空間5、正規(guī)空間三、判斷，并給出理由（ 20 分，每題 5 分，判斷 2分，理由 3 分）1、從拓?fù)淇臻g X 到平庸空間 Y 的任何映射都是連續(xù)映射（）2、設(shè)拓?fù)淇臻g X 滿足第二可數(shù)性公理，則 X 滿足第一可數(shù)性公理（ ）3、 設(shè)A為平庸空間X （ X多于

3、一點）的一個單點集，貝U Ad（）4、 Hausdorff 空間中的每一個緊致子集都是閉集（）四、證明題（共 50 分）1、設(shè) X,Y,Z 都是拓?fù)淇臻g. f :X Y , g:Y Z 都是連續(xù)映射， 試證明gof :X Z也是連續(xù)映射。（10分）2、 設(shè)f : XY是從連通空間X到拓?fù)淇臻gY的一個連續(xù)映射.則f （X）是Y的一個連通子集 . （10分）3、 設(shè)X是HauSdOrff空間，f : X X是連續(xù)映射.證明A x Xlf（X） x是X 的閉子集. （10分）4、設(shè) X 為非空集合，令T余可數(shù)A| A X C,其中C為至多可數(shù)集試證：（1） X,T余可數(shù)是一個拓?fù)淇臻g；（5分）（2）

4、若 X 不可數(shù)， X, T余可數(shù) 是連通空間； （5分）（3）X,T余可數(shù)為TI但非T2空間；（5分）（4）X,T余可數(shù) 是Lindel?ff空間（提示：即證X的任一個開覆蓋有至多可數(shù)覆蓋）。（5 分）大學(xué)拓?fù)鋵W(xué)考試試卷參考答案（ A）注：此頁不作答題紙，請將答案寫在答題紙上一、選擇題 （將正確答案填入題后的括號內(nèi) ,每題 3 分，共 15 分）1、C 2、B 3、A 4、A 5、 D二、簡答題（每題 3分，共 15分）1、 A2 空間 答案：一個拓?fù)淇臻g如果有一個可數(shù)基，則稱這個拓?fù)淇臻g是一個滿足第二 可數(shù)性公理的空間，簡稱為 A2 空間.2、Ti空間：答案：設(shè) X 是一個拓?fù)淇臻g，如果 X

5、 中的任意兩個不相同的點中每一個點都 有一個開鄰域不包含另一點，則稱拓?fù)淇臻g X是Ti空間.3、不連通空間答案：設(shè) X 是一個拓?fù)淇臻g，如果 X 中有兩個非空的隔離子集 A,B ,使得 A B X ,則稱X是一個不連通空間.4、序列緊致空間答案：設(shè) X 是一個拓?fù)淇臻g . 如果 X 中的每一個序列都有一個收斂的子序列， 則稱拓?fù)淇臻g X 是一個序列緊致空間 .5、正規(guī)空間：答案：設(shè) X 是一個拓?fù)淇臻g，如果 X 中的任何兩個無交的閉集都各自有一個 開鄰域，它們互不相交，則稱 X 是正規(guī)空間 .三、判斷，并給出理由(20分，每題5分，判斷2分，理由3分)1、從拓?fù)淇臻gX到平庸空間Y的任何映射都是

6、連續(xù)映射()答案:理由：設(shè)f : X Y是任一滿足條件的映射，由于 Y是平庸空間，它中的開集只有Y,易知它們在f下的原象分別是X,均為X中的開集，從而f : X Y連續(xù)2、 設(shè)拓?fù)淇臻gX滿足第二可數(shù)性公理，則 X滿足第一可數(shù)性公理()答案：理由:設(shè)拓?fù)淇臻gX滿足第二可數(shù)性公理，B是它的一個可數(shù)基，對于每一個X X , 易知B X B B| X B是點X處的一個鄰域基，它是 B的一個子族所以是可數(shù) 族，從而X在點X處有可數(shù)鄰域基，故X滿足第一可數(shù)性公理.3、 設(shè)A為平庸空間X ( X多于一點)的一個單點集，貝U Ad()答案：×理由：設(shè)A y,則對于任意X X,x y , X有唯一的一

7、個鄰域X，且有 y X (A X),從而X (A X) ,因此X是A的一個凝聚點，但對于y的唯一 的鄰域X ,有X (Ay) 所以有AdXA .4、HaUSdorff空間中的每一個緊致子集都是閉集.()答案：理由：設(shè)A是HaUSdOrff空間X的一個緊致子集，則對于任何 X X ,若X A ,則 易知X不是A的凝聚點，因此A A ,從而A是一個閉集.四、證明題(共50分)1、證：設(shè)W是Z的任意一個開集，由于g : Y Z是一個連續(xù)映射，從而g 1(W) 是Y的一個開集，由f : X Y是連續(xù)映射，故f 1(g 1(W)是X的一開集，因此(gof) 1(W) f 1(g 1(W)是X的開集，所以

8、gof :XZ是連續(xù)映射.2、證明：如果f(X)是Y的一個不連通子集，則存在 Y的非空隔離子集 代B使得f (X) A B,于是f1(A),f1(B)是X的非空子集，并且：11i1(f 1(A) f 1(B) (f 1(B) f 1(A)(f 1(A) f 1(B) (f 1(B) f 1(A)f 1(A B) (A B)所以f 1(A), f 1(B)是X 的非空隔離子集 此外， III1f (A) f (B) f (A B) f (f (X) X ,這說明X不連通，矛盾.從而 f (X)是Y的一個連通子集.3、證明：對于X AC ,則f (x) X ,從而f(x),x有互不相交的開鄰域U和

9、V， 設(shè)W f 1 (U) V ,則W是X的開鄰域，且X W Ac,故 AC是開集，從而A是 閉集4、證明：(1)10由T余可數(shù)勺定義，2設(shè)A，A T余可數(shù)，(1)A 或A ,貝 1A A A ,A ,則AX 根據(jù)de Morga公式，有AAXG X C2T余可數(shù)此外，X XT余可數(shù)T余可數(shù)G,A X C2,其中C1, C2為至多可數(shù)集XCIC2T余可數(shù)30設(shè)A T余可數(shù)，不失一般性，令A(yù) X C ,其中C為至多可數(shù)集，則AXC X C T余可數(shù)由10 2° 30可知，T余可數(shù)為X上的一個拓?fù)?。注?X CIX C2XC1 C 2對任意p,q X) P q ,則U P= X q與Uq X P分別為P與q的開鄰域, 且 q UP , P Uq ,因此，X, T余可數(shù) 為T1空間。設(shè)UP為P的任何開鄰域，Uq為q的任何開鄰域，則UP = X ClIUq X C2 ,其中Cl，C2均為X的至多可數(shù)子集，并且UPI UqX C1 I X C2X C1UC2所以，X,T余可數(shù)非T2空間。 設(shè)A是