4.3向量平行的坐標(biāo)表示

第二章 4平面向量的坐標(biāo) 4 3向量平行的坐標(biāo)表示 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件 2 能根據(jù)平面向量的坐標(biāo) 判斷向量是否共線 3 掌握三點(diǎn)共線的判斷方法 問題導(dǎo)學(xué) 達(dá)標(biāo)檢測 題型探究 內(nèi)容索引 問題導(dǎo)學(xué) 知識點(diǎn)向量平行 思考1上面幾組向量中 a b有什么關(guān)系 答案 1 2 中b 2a 3 中b 3a 4 中b a 已知下列幾組向量 1 a 0 3 b 0 6 2 a 2 3 b 4 6 3 a 1 4 b 3 12 思考2以上幾組向量中 a b共線嗎 答案共線 思考3當(dāng)a b時(shí) a b的坐標(biāo)成比例嗎 答案坐標(biāo)不為0時(shí)成比例 思考4如果兩個(gè)非零向量共線 你能通過其坐標(biāo)判斷它們是同向還是反向嗎 答案能 將b寫成 a的形式 當(dāng) 0時(shí) b與a同向 當(dāng) 0時(shí) b與a反向 梳理設(shè)a b是非零向量 且a x1 y1 b x2 y2 1 當(dāng)a b時(shí) 有 2 當(dāng)a b且b不平行于坐標(biāo)軸 即x2 0 y2 0時(shí) 有 即若兩個(gè)向量 與坐標(biāo)軸不平行 平行 則它們相應(yīng)的坐標(biāo) 若兩個(gè)向量相對應(yīng)的坐標(biāo)成比例 則它們 x1y2 x2y1 0 成比例 平行 思考辨析判斷正誤 1 若向量a x1 y1 b x2 y2 且a b 則 提示當(dāng)y1y2 0時(shí)不成立 2 若向量a x1 y1 b x2 y2 且x1y1 x2y2 0 則a b 3 若向量a x1 y1 b x2 y2 且x1y2 x2y1 0 則a b 答案 提示 題型探究 類型一向量共線的判定與證明 例1 1 下列各組向量中 共線的是A a 2 3 b 4 6 B a 2 3 b 3 2 C a 1 2 b 7 14 D a 3 2 b 6 4 解析A選項(xiàng) 2 6 3 4 24 0 a與b不平行 B選項(xiàng) 2 2 3 3 4 9 5 0 a與b不平行 C選項(xiàng) 1 14 2 7 28 0 a與b不平行 D選項(xiàng) 3 4 2 6 12 12 0 a b 故選D 答案 解析 方法一 2 6 3 4 0且 2 4 0 解答 反思與感悟此類題目應(yīng)充分利用向量共線定理或向量共線坐標(biāo)的條件進(jìn)行判斷 特別是當(dāng)利用向量共線坐標(biāo)的條件進(jìn)行判斷時(shí) 要注意坐標(biāo)之間的搭配 證明 證明設(shè)E x1 y1 F x2 y2 類型二利用向量共線求參數(shù) 例2已知a 1 2 b 3 2 當(dāng)k為何值時(shí) ka b與a 3b平行 解答 解方法一ka b k 1 2 3 2 k 3 2k 2 a 3b 1 2 3 3 2 10 4 當(dāng)ka b與a 3b平行時(shí) 存在唯一實(shí)數(shù) 使ka b a 3b 由 k 3 2k 2 10 4 方法二由方法一知ka b k 3 2k 2 a 3b 10 4 ka b與a 3b平行 引申探究1 若本例條件不變 判斷當(dāng)ka b與a 3b平行時(shí) 它們是同向還是反向 解答 ka b與a 3b反向 2 在本例中已知條件不變 若問題改為 當(dāng)k為何值時(shí) a kb與3a b平行 又如何求k的值 解答 解a kb 1 2 k 3 2 1 3k 2 2k 3a b 3 1 2 3 2 6 4 a kb與3a b平行 1 3k 4 2 2k 6 0 反思與感悟根據(jù)向量共線條件求參數(shù)問題 一般有兩種思路 一是利用向量共線定理a b b 0 列方程組求解 二是利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2 x2y1 0求解 跟蹤訓(xùn)練2設(shè)向量a 1 2 b 2 3 若向量 a b與向量c 4 7 共線 則 解析 a b 1 2 2 3 2 2 3 a b與c共線 2 7 2 3 4 2 0 2 答案 解析 2 類型三三點(diǎn)共線問題 4 k k 12 7 10 k 解得k 2或11 當(dāng)k 2或11時(shí) A B C三點(diǎn)共線 解答 反思與感悟 1 三點(diǎn)共線問題的實(shí)質(zhì)是向量共線問題 兩個(gè)向量共線只需滿足方向相同或相反 兩個(gè)向量共線與兩個(gè)向量平行是一致的 利用向量平行證明三點(diǎn)共線需分兩步完成 證明向量平行 證明兩個(gè)向量有公共點(diǎn) 2 若A B C三點(diǎn)共線 即由這三個(gè)點(diǎn)組成的任意兩個(gè)向量共線 A B C三點(diǎn)共線 證明 達(dá)標(biāo)檢測 1 2 4 5 3 1 已知a 1 2 b 2 y 若a b 則y的值是A 1B 1C 4D 4 答案 解析 a b 1 y 2 2 0 y 4 解析 2 與a 6 8 平行的單位向量為 解析設(shè)與a平行的單位向量為e x y 1 2 4 5 3 答案 解析 3 已知三點(diǎn)A 1 2 B 2 4 C 3 m 共線 則m的值為 1 2 4 5 3 答案 解析 6 即當(dāng)m 6時(shí) A B C三點(diǎn)共線 1 2 4 5 3 4 已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A B C D的坐標(biāo)依次是 3 1 1 2 1 1 3 5 求證 四邊形ABCD是梯形 證明 A 3 1 B 1 2 C 1 1 D 3 5 AB CD 且AB CD 四邊形ABCD是梯形 證明 1 2 4 5 3 解答 解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 x y 1 2 4 5 3 1 2 4 5 3 規(guī)律與方法 1 兩個(gè)向量共線條件的表示方法已知a x1 y1 b x2 y2 1 當(dāng)b 0 a b 2 x1y2 x2y1 0 2 向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用 1 已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)判定兩向量共線 聯(lián)系平面幾何平行 共線知識