北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊各章知識要點(diǎn)總結(jié)

北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊各章知識要點(diǎn)總結(jié)第一章 三角形的證明一、全等三角形判定定理： 1、三組對應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(SSS) 2、有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS) 3、有兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA) 4、有兩角及一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS) 5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）二、等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形有兩邊相等；(定義) 定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 （三線合一）推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形； 三、等腰三角形的判定 1. 有關(guān)的定理及其推論 定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡寫成“等角對等邊”。） 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 2. 反證法：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出 與定義、公理、已證定理或已知條 件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立。這種證明方法稱為反證法 四、直角三角形1、直角三角形的性質(zhì)直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方； 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半； 在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。 2、直角三角形判定如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形；3、互逆命題、互逆定理 在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題. 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為互逆定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理. 五、線段的垂直平分線 角平分線 1、 線段的垂直平分線。 性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等； 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（外心）判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。 2、 角平分線。 性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。（內(nèi)心）判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。 3、 逆命題、互逆命題的概念，及反證法第二章 一元一次不等式和一元一次不等式組一、一般地，用符號“”（或“”）,“”（或“”）連接的式子叫做不等式。1、能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解. 2、不等式的解不唯一，把所有滿足不等式的解集合在一起，構(gòu)成不等式的解集. 3、求不等式解集的過程叫解不等式.4、由幾個(gè)一元一次不等式組所組成的不等式組叫做一元一次不等式組5、不等式組的解集 :一元一次不等式組各個(gè)不等式的解集的公共部分。6、等式基本性質(zhì)1：在等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或整式，所得的結(jié)果仍是等式. 基本性質(zhì)2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不為0)，所得的結(jié)果仍是等式.二、不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，不等號的方向不變. （注：移項(xiàng)要變號，但不等號不變。）性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變.性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.三、解不等式的步驟: 1、去分母; 2、去括號; 3、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng); 4、系數(shù)化為1。 四、解不等式組的步驟:1、解出不等式的解集。 2、在同一數(shù)軸表示不等式的解集。 3、寫出不等式組的解集。 五、列一元一次不等式組解實(shí)際問題的一般步驟：（1） 審題； （2）設(shè)未知數(shù)，找（不等量）關(guān)系式；（3）設(shè)元，(根據(jù)不等量)關(guān)系式列不等式(組) （4）解不等式組；檢驗(yàn)并作答。第三章 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)一、平移定義和規(guī)律 1平移的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。 關(guān)鍵：a. 平移不改變圖形的形狀和大小（也不會(huì)改變圖形的方向，但改變圖形的位置）。 b. 圖形平移三要素：原位置、平移方向、平移距離。 2平移的規(guī)律(性質(zhì))：經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等、對應(yīng)角相等。 注意：平移后，原圖形與平移后的圖形全等。 3簡單的平移作圖： 平移作圖要注意：方向；距離。整個(gè)平移作圖，就是把整個(gè)圖案的每一個(gè)特征點(diǎn)按一定方向和一定的距離平行移動(dòng)。 二、旋轉(zhuǎn)的定義和規(guī)律 1旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形饒一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心；轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。 關(guān)鍵：a. 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小（但會(huì)改變圖形的方向，也改變圖形的位置）。 b. 圖形旋轉(zhuǎn)四要素：原位置、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角。 2旋轉(zhuǎn)的規(guī)律(性質(zhì))： 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。(旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。) 注意：旋轉(zhuǎn)后，原圖形與旋轉(zhuǎn)后的圖形全等。 3簡單的旋轉(zhuǎn)作圖： 旋轉(zhuǎn)作圖要注意：旋轉(zhuǎn)方向；旋轉(zhuǎn)角度。整個(gè)旋轉(zhuǎn)作圖，就是把整個(gè)圖案的每一個(gè)特征點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)中心按一定的旋轉(zhuǎn)方向和一定的旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)移動(dòng)。三、中心對稱1中心對稱的有關(guān)概念：中心對稱、對稱中心、對稱點(diǎn) 把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)對稱，也稱這兩個(gè)圖形成中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心，兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做對稱點(diǎn)。 2中心對稱的基本性質(zhì)： （1）成中心對稱的兩個(gè)圖形具有圖形旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)。 （2）成中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。 3中心對稱圖形的有關(guān)概念：中心對稱圖形、對稱中心 把一個(gè)平面圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形。這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心。 4、中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系 如果將成中心對稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)圖形，那么這個(gè)整體就是中心對稱圖形；反過來，如果把一個(gè)中心對稱圖形沿著過對稱中心的任一條直線分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形成中心對稱。 3圖形的平移、軸對稱（折疊）、中心對稱（旋轉(zhuǎn)）的對比 5、圖案的分析與設(shè)計(jì) 首先找到基本圖案，然后分析其他圖案與它的關(guān)系，即由它作何種運(yùn)動(dòng)變換而形成。 圖案設(shè)計(jì)的基本手段主要有：軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)三種方法。第四章 分解因式一、公式：1、ma+mb+mc=m(a+b+c) 2、 3、 二、把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。 1、把幾個(gè)整式的積化成一個(gè)多項(xiàng)式的形式，是乘法運(yùn)算.2、把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，是因式分解.3、ma+mb+mc=m（a+b+c）4、因式分解與整式乘法是相反方向的變形。三、把多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)的公因式.提公因式法分解因式就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的形式. 找公因式的一般步驟：（1）若各項(xiàng)系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）取相同的字母，字母的指數(shù)取較低的；（3）取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的指數(shù)取較低的.（4）所有這些因式的乘積即為公因式.四、分解因式的一般步驟為:（1）若有“-”先提取“-”，若多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式,則再提取公因式.（2）若多項(xiàng)式各項(xiàng)沒有公因式,則根據(jù)多項(xiàng)式特點(diǎn),選用平方差公式或完全平方公式.（3）每一個(gè)多項(xiàng)式都要分解到不能再分解為止.五、形如或的式子稱為完全平方式. 六、分解因式的方法：1、提公因式法。 2、運(yùn)用公式法。第五章 分式與分式方程1. 分式的定義：如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。1) 分式與整式最本質(zhì)的區(qū)別：分式的字母必須含有字母，即未知數(shù)；分子可含字母可不含字母。2) 分式有意義的條件：分母不為零，即分母中的代數(shù)式的值不能為零。3) 分式的值為零的條件：分子為零且分母不為零2. 分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。用式子表示 其中A、B、C為整式（）注：（1）利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分時(shí)變形是恒等變形，不改變分式值的大小，只改變形式。（2）應(yīng)用基本性質(zhì)時(shí)，要注意C0，以及隱含的B0。（3）注意“都”，分子分母要同時(shí)乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分項(xiàng)，或避免出現(xiàn)分子、分母乘除的不是同一個(gè)整式的錯(cuò)誤。3. 分式的通分和約分：關(guān)鍵先是分解因式1) 分式的約分定義：利用分式的基本性質(zhì)，約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值。2) 最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式3) 分式的通分的定義：利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把幾個(gè)異分母的分式化成分母相同的分式。4) 最簡公分母：取“各個(gè)分母”的“所有因式”的最高次冪的積做公分母，它叫做最簡公分母。4. 分式的符號法則分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個(gè)分式的值不變。用式子表示為注：分子與分母變號時(shí)，是指整個(gè)分子或分母同時(shí)變號，而不是指改變分子或分母中的部分項(xiàng)的符號。5.分式的運(yùn)算：1）分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。 2）分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。 3）分式乘方法則： 分式乘方要把分子、分母分別乘方。 4）分式乘方、乘除混合運(yùn)算：先算乘方，再算乘除，遇到括號，先算括號內(nèi)的，不含括號的，按從左到右的順序運(yùn)算5）分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质?，然后再加減7. 整數(shù)指數(shù)冪. 1） 任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零次冪等于1， 即；2） 任何一個(gè)不等于零的數(shù)的-n次冪（n為正整數(shù)），等于這個(gè)數(shù)的n次冪的倒數(shù)，即 （ 注：分?jǐn)?shù)的負(fù)指數(shù)冪等于這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪。即3） 科學(xué)計(jì)數(shù)法：把一個(gè)數(shù)表示為a10n (1a10,n為整數(shù))的形式，稱為科學(xué)計(jì)數(shù)法。 注：（1）絕對值大于1的數(shù)可以表示為a10n 的形式，n為正整數(shù)； （2）絕對值小于1的數(shù)可以表示為a10-n的形式，n為正整數(shù).（3）表示絕對值大于10的n位整數(shù)時(shí)，其中10的指數(shù)是（4）表示絕對值小于1的正小數(shù)時(shí),其中10的指數(shù)是第一個(gè)非0數(shù)字前面0的個(gè)數(shù)(包括小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)0)4) 正整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)也可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪(m,n是整數(shù))（1）同底數(shù)的冪的乘法：；（2）冪的乘方：;（3）積的乘方：；（4）同底數(shù)的冪的除法：( a0)；（5）商的乘方：；(b0)8. 分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程分式方程。 1) 增根：分式方程的增根必須滿足兩個(gè)條件：（1）增根是最簡公分母為0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。 2）分式方程的解法：(1)能化簡的先化簡(2)方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；(3)解整式方程；(4)驗(yàn)根注：解分式方程時(shí)，方程兩邊同乘以最簡公分母時(shí)，最簡公分母有可能為，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗(yàn)根。分式方程檢驗(yàn)方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解。 3）烈分式方程解實(shí)際問題 （1）步驟：審題設(shè)未知數(shù)列方程解方程檢驗(yàn)寫出答案，檢驗(yàn)時(shí)要注意從方程本身和實(shí)際問題兩個(gè)方面進(jìn)行檢驗(yàn)。（2）應(yīng)用題基本類型； a.行程問題：基本公式：路程=速度時(shí)間而行程問題中又分相遇問題、追及問題b.數(shù)字問題 在數(shù)字問題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法 c.工程問題 基本公式：工作量=工時(shí)工效 d. 順?biāo)嫠畣栴} v順?biāo)?v靜水+v水 v逆水=v靜水-v水E相遇問題 f追及問題相遇路程速度和相遇時(shí)間 追及距離速度差追及時(shí)間相遇時(shí)間相遇路程速度和 追及時(shí)間追及距離速度差速度和相遇路程相遇時(shí)間 速度差追及距離追及時(shí)間g流水問題 h濃度問題順流速度靜水速度水流速度 溶質(zhì)的重量溶劑的重量溶液的重量逆流速度靜水速度水流速度 溶質(zhì)的重量溶液的重量100%濃度靜水速度(順流速度逆流速度)2 溶液的重量濃度溶質(zhì)的重量水流速度(順流速度逆流速度)2 溶質(zhì)的重量濃度溶液的重量m利潤與折扣問題 利潤售出價(jià)成本 利潤率利潤成本100%(售出價(jià)成本1)100% 漲跌金額本金漲跌百分比 折扣實(shí)際售價(jià)原售價(jià)100%(折扣1) 利息本金利率時(shí)間 稅后利息本金利率時(shí)間(120%) 第六章 平行四邊形一、平行四邊形的性質(zhì) 1、定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。 2、平行四邊形的性質(zhì) （1）平行四邊形的對邊平行且相等。 （2）平行四邊形的鄰角互補(bǔ) （3）平行四邊形的對角相等 （4）平行四邊形的對角線互相平分。 二、平行四邊形的判定 1、平行四邊形的判定 （1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 （2）定理1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 （3）定理2：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 （4）定理3：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形2、兩條平行線的距離 兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。 平行線間的距離處處相等。 3、平行四