2007年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析.doc

2007年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析1.【分析】本題為等價(jià)無窮小的判定，利用定義或等價(jià)無窮小代換即可.【詳解】當(dāng)時(shí)， 故用排除法可得正確選項(xiàng)為（B）. 事實(shí)上， 或.所以應(yīng)選（B）【評注】本題為關(guān)于無窮小量比較的基本題型，利用等價(jià)無窮小代換可簡化計(jì)算. 類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例1.54】 【例1.55】.2.【分析】本題考查可導(dǎo)的極限定義及連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系. 由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)去進(jìn)行判斷，然后選擇正確選項(xiàng).【詳解】取，則，但在不可導(dǎo)，故選（D）. 事實(shí)上， 在(A),(B)兩項(xiàng)中，因?yàn)榉帜傅臉O限為0，所以分子的極限也必須為0，則可推得.在（C）中，存在，則，所以(C)項(xiàng)正確，故選(D)【評注】對于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項(xiàng)為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效. 類似例題見文登強(qiáng)化班筆記高等數(shù)學(xué)第2講【例2】，文登07考研模擬試題數(shù)學(xué)二第一套（2）.3.【分析】本題實(shí)質(zhì)上是求分段函數(shù)的定積分.【詳解】利用定積分的幾何意義，可得 ， . 所以 ，故選（C）.【評注】本題屬基本題型. 本題利用定積分的幾何意義比較簡便. 類似例題見文登強(qiáng)化班筆記高等數(shù)學(xué)第5講【例17】和【例18】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例3.38】【例3.40】.4.【分析】本題更換二次積分的積分次序，先根據(jù)二次積分確定積分區(qū)域，然后寫出新的二次積分.【詳解】由題設(shè)可知，則， 故應(yīng)選（B）.【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 畫圖更易看出. 類似例題見文登強(qiáng)化班筆記高等數(shù)學(xué)第10講【例5】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例7.5】，【例7.6】.5.【分析】本題考查需求彈性的概念.【詳解】選（D）. 商品需求彈性的絕對值等于 ， 故選（D）.【評注】需掌握微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用中的邊際，彈性等概念.相關(guān)公式及例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例11.2】.6.【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷.【詳解】， 所以 是曲線的水平漸近線； ，所以是曲線的垂直漸近線； ， ，所以是曲線的斜漸近線. 故選（D）.【評注】本題為基本題型，應(yīng)熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當(dāng)曲線存在水平漸近線時(shí)，斜漸近線不存在. 本題要注意當(dāng)時(shí)的極限不同. 類似例題見文登強(qiáng)化班筆記高等數(shù)學(xué)第6講第4節(jié)【例12】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例5.30】，【例5.31】.7.【分析】本題考查由線性無關(guān)的向量組構(gòu)造的另一向量組的線性相關(guān)性. 一般令，若，則線性相關(guān)；若，則線性無關(guān). 但考慮到本題備選項(xiàng)的特征，可通過簡單的線性運(yùn)算得到正確選項(xiàng).【詳解】由可知應(yīng)選（A）.或者因?yàn)椋?所以線性相關(guān)，故選（A）.【評注】本題也可用賦值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分別組成一個(gè)矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項(xiàng). 完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記線性代數(shù)第3講【例3】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）線性代數(shù)【例3.3】.8【分析】本題考查矩陣的合同關(guān)系與相似關(guān)系及其之間的聯(lián)系，只要求得的特征值，并考慮到實(shí)對稱矩陣必可經(jīng)正交變換使之相似于對角陣，便可得到答案. 【詳解】 由可得， 所以的特征值為3,3,0；而的特征值為1,1,0. 所以與不相似，但是與的秩均為2，且正慣性指數(shù)都為2，所以與合同，故選（B）.【評注】若矩陣與相似，則與具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通過計(jì)算與的特征值可立即排除（A）（C）. 完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第二篇【例5.17】.9.【分析】本題計(jì)算貝努里概型，即二項(xiàng)分布的概率. 關(guān)鍵要搞清所求事件中的成功次數(shù).【詳解】p前三次僅有一次擊中目標(biāo)，第4次擊中目標(biāo) ， 故選（C）.【評注】本題屬基本題型. 類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第三篇【例1.29】【例1.30】10.【分析】本題求隨機(jī)變量的條件概率密度，利用與的獨(dú)立性和公式可求解.【詳解】因?yàn)榉亩S正態(tài)分布，且與不相關(guān)，所以與獨(dú)立，所以.故，應(yīng)選（A）.【評注】若服從二維正態(tài)分布，則與不相關(guān)與與獨(dú)立是等價(jià)的. 完全類似例題和求法見文登強(qiáng)化班筆記概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第3講【例3】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第三篇第二章知識(shí)點(diǎn)精講中的一（4），二（3）和【例2.38】11.【分析】本題求類未定式，可利用“抓大頭法”和無窮小乘以有界量仍為無窮小的結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所?【評注】無窮小的相關(guān)性質(zhì)：（1） 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮小；（2） 有限個(gè)無窮小的乘積為無窮小；（3） 無窮小與有界變量的乘積為無窮小. 完全類似例題和求法見文登強(qiáng)化班筆記高等數(shù)學(xué)第1講【例1】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例1.43】12,.【分析】本題求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，利用遞推法或函數(shù)的麥克老林展開式.【詳解】，則，故.【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記高等數(shù)學(xué)第2講【例21】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【2.20】，【例2.21】.13.【分析】本題為二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，直接利用公式即可.【詳解】利用求導(dǎo)公式可得， 所以.【評注】二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)時(shí)，最好設(shè)出中間變量，注意計(jì)算的正確性. 完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記高等數(shù)學(xué)第9講【例8】, 【例9】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.14.【分析】本題為齊次方程的求解，可令.【詳解】令，則原方程變?yōu)? 兩邊積分得 ， 即，將代入左式得 ， 故滿足條件的方程的特解為 ，即，.【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記高等數(shù)學(xué)第7講【例2】, 【例3】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例9.3】.15.【分析】先將求出，然后利用定義判斷其秩.【詳解】.【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 矩陣相關(guān)運(yùn)算公式見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第二篇第二章第1節(jié)中的知識(shí)點(diǎn)精講.16.【分析】根據(jù)題意可得兩個(gè)隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布，利用幾何概型計(jì)算較為簡便.【詳解】利用幾何概型計(jì)算. 圖如下： A1/211 1Oyx 所求概率.【評注】本題也可先寫出兩個(gè)隨機(jī)變量的概率密度，然后利用它們的獨(dú)立性求得所求概率. 完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第3講【例11】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第三篇【例2.29】，【例2.47】.17.【分析】由凹凸性判別方法和隱函數(shù)的求導(dǎo)可得.【詳解】 方程 兩邊對求導(dǎo)得， 即，則. 上式兩邊再對求導(dǎo)得 則，所以曲線在點(diǎn)附近是凸的.【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 類似例題見文登強(qiáng)化班筆記高等數(shù)學(xué)第6講【例10】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例5.29】.18.【分析】由于積分區(qū)域關(guān)于軸均對稱，所以利用二重積分的對稱性結(jié)論簡化所求積分.【詳解】因?yàn)楸环e函數(shù)關(guān)于均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于軸均對稱，所以 ，其中為在第一象限內(nèi)的部分. 而 . 所以 .【評注】被積函數(shù)包含時(shí), 可考慮用極坐標(biāo)，解答如下：. 類似例題見文登強(qiáng)化班筆記高等數(shù)學(xué)第10講【例1】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例7.3例7.4】.19.【分析】由所證結(jié)論可聯(lián)想到構(gòu)造輔助函數(shù)，然后根據(jù)題設(shè)條件利用羅爾定理證明.【詳解】令，則在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且.（1）若在內(nèi)同一點(diǎn)取得最大值，則， 于是由羅爾定理可得，存在，使得. 再利用羅爾定理，可得 存在，使得，即.（2）若在內(nèi)不同點(diǎn)取得最大值，則，于是 ， 于是由零值定理可得，存在，使得 于是由羅爾定理可得，存在，使得. 再利用羅爾定理，可得 ，存在，使得，即.【評注】對命題為的證明，一般利用以下兩種方法：方法一：驗(yàn)證為的最值或極值點(diǎn)，利用極值存在的必要條件或費(fèi)爾馬定理可得證； 方法二：驗(yàn)證在包含于其內(nèi)的區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件. 類似例題見文登強(qiáng)化班筆記高等數(shù)學(xué)第4講【例7】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例4.5】，【例4.6】.20.【分析】本題考查函數(shù)的冪級數(shù)展開，利用間接法. 【詳解】，而 ， ， 所以 ， 收斂區(qū)間為 .【評注】請記住常見函數(shù)的冪級數(shù)展開. 完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記高等數(shù)學(xué)第11講【例13】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例8.15】.21.【分析】將方程組和方程合并，然后利用非齊次線性方程有解的判定條件求得.【詳解】將方程組和方程合并，后可得線性方程組其系數(shù)矩陣.顯然，當(dāng)時(shí)無公共解.當(dāng)時(shí)，可求得公共解為 ,為任意常數(shù)；當(dāng)時(shí)，可求得公共解為 .【評注】本題為基礎(chǔ)題型，考查非齊次線性方程組解的判定和結(jié)構(gòu). 完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記線性代數(shù)第4講【例8】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類）第二篇【例4.12】，【例4.15】.22【分析】本題考查實(shí)對稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質(zhì). 【詳解】（I）， 則是矩陣的屬于2的特征向量. 同理可得 ，. 所以的全部特征值為2，1，1 設(shè)的屬于1的特征向量為，顯然為對稱矩陣，所以根據(jù)不同特征值所對應(yīng)的特征向量正交，可得. 即 ，解方程組可得的屬于1的特征向量 ，其中為不全為零的任意常數(shù). 由前可知的屬于2的特征向量為 ，其中不為零.（II）令，由（）可得，則 .【評注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量，此類問題一般用定義求解，要想方設(shè)法將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為的形式. 請記住以下結(jié)論：（1）設(shè)是方陣的特征值，則分別有特征值 可逆），且對應(yīng)的特征向量是相同的. （2）對實(shí)對稱矩陣來講，不同特征值所對應(yīng)的特征向量一定是正交的完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記線性代數(shù)第5講【例12】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟(jì)類） 第二篇【例5.24】23.【分析】（I）可化為二重積分計(jì)算； (II) 利用卷積公式可得.【詳解】（I）. (II) 利用卷積公式可得 .【評注】 (II)也可先求出分布函數(shù)，然后求導(dǎo)得概率密度. 完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記概率論與數(shù)理統(tǒng)