第四章-平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測.ppt

1 第一節(jié)預(yù)測準(zhǔn)則 稱為的預(yù)測值或的h步預(yù)測值怎樣選取預(yù)測函數(shù)呢 直觀的想法是所選取的預(yù)測函數(shù)應(yīng)能夠使預(yù)測誤差盡可能的小 這就需要確定一種準(zhǔn)則 使得依據(jù)這種準(zhǔn)則能衡量采用某種預(yù)測函數(shù)所得的預(yù)測誤差比采用別的預(yù)測函數(shù)所得的預(yù)測誤差小 2 一 從幾何角度提出預(yù)測問題 對在t h的取值進(jìn)行預(yù)測 我們所能利用的就是yt在t和以前時(shí)刻的取值所提供的信息 也就是說是的函數(shù) 我們知道最簡單的函數(shù)是的線性函數(shù) 設(shè)為現(xiàn)在的問題是如何求出系數(shù)使得與最接近 3 圖4 1在平面M上的投影從幾何圖形來看 離yt h最近的是向量yt h在平面M上的投影 4 二 求解正交投影 基于直到時(shí)刻t的信息集對變量取值的預(yù)測記為 為獲得此預(yù)測必需指明相應(yīng)的損失函數(shù) lossfunction 一個(gè)十分方便的結(jié)果是選取平方損失函數(shù) 即選取 使其均方誤差達(dá)到最小 容易知道 關(guān)于的條件期望是關(guān)于的最小均方誤差預(yù)測 這種預(yù)測具有許多優(yōu)良性質(zhì) 但其計(jì)算比較復(fù)雜 在許多的實(shí)際應(yīng)用問題 我們更感興趣于在的線性函數(shù)類中尋求的預(yù)測 5 例如時(shí) 可選取 假定我們已求得之值 使得預(yù)測誤差與無關(guān)即有成立則稱 4 1 式為yt 1關(guān)于的線性投影 并記為 6 三 最小均方誤差預(yù)測 設(shè)隨機(jī)序列適合一個(gè)ARMA模型 即在已知的條件下 很自然會(huì)考慮到的線性函數(shù)這是一種比較容易處理而在使用中最有廣泛意義的情形 作為一個(gè)好的預(yù)測值 應(yīng)該滿足預(yù)測的誤差越小越好 于是問題轉(zhuǎn)化為求使與之間的誤差最小 使預(yù)報(bào)的均方誤差最小的稱為線性最小均方預(yù)測 7 綜上可得 yt h的線性最小均方誤差預(yù)測為稱 4 5 式為線性最小均方誤差預(yù)測的傳遞函數(shù)形式 我們知道這是可以實(shí)現(xiàn)的 因?yàn)橐粋€(gè)系統(tǒng)的參數(shù)完全可以由其格林函數(shù)確定 預(yù)測的殘差為預(yù)測誤差方差為 8 第二節(jié)ARMA模型預(yù)測 前面我們對最小均方預(yù)測的基本原理進(jìn)行了討論 所有的結(jié)論都是在平穩(wěn)的條件下得到的 下面我們求ARMA模型的最小均方預(yù)測 一 AR p 模型的預(yù)測考慮一個(gè)AR 2 模型其向前一步的預(yù)測為一步預(yù)測的誤差方差為 9 向前二步的預(yù)測為注意到故二步的預(yù)測誤差的方差為 10 更一般的情形 遵從AR p 的序列滿足隨機(jī)差分方程由差分方程很容易得到AR p 的最小均方誤差預(yù)測公式為再根據(jù) 4 9 式 AR p 模型的遞推預(yù)報(bào)公式為 11 由上式可以看出 AR p 模型的最小均方預(yù)測公式比較簡單 只要知道這p個(gè)歷史值便可以得到任意步長的平穩(wěn)線性最小均方預(yù)測 正是因?yàn)锳R模型的建模與預(yù)測的簡單性 所以它成為預(yù)測問題中應(yīng)用得最為廣泛的時(shí)間序列模型 12 二 MA q 模型的最小均方預(yù)測 對于MA q 模型我們可以得到預(yù)測值的遞推公式為分析預(yù)測公式 4 11 可以看出MA模型的最佳預(yù)測具有以下兩個(gè)特點(diǎn) 4 11 13 1 MA q 模型只能對未來進(jìn)行q步預(yù)測 當(dāng)h q時(shí) 預(yù)測值為零 時(shí)間序列均值為零 因此當(dāng)模型階數(shù)較低時(shí) MA模型只能進(jìn)行短期預(yù)測 2 MA模型預(yù)測中使用的 其數(shù)據(jù)需要的全部歷史數(shù)據(jù)迭代計(jì)算 并需要設(shè)的取值 由此可知這種處理比較繁瑣 有一定主觀性 故不便應(yīng)用 14 設(shè)有MA 2 模型則有一步預(yù)測因而又由于 因此預(yù)測誤差的方差等于 對于前兩步預(yù)測易知預(yù)測誤差為 預(yù)測誤差的方差為 15 類似可得三步預(yù)測的誤差為預(yù)測誤差的方差為與前三步預(yù)測相似 模型中已沒有記憶對前四步預(yù)測有幫助 這時(shí)的預(yù)測值已經(jīng)是這個(gè)系統(tǒng)的均值 即有其預(yù)測誤差的方差為更一般的情況 對于一個(gè)MA q 模型h步預(yù)測公式為 16 h步預(yù)測殘差的方差為三 ARMA p q 預(yù)測對于一個(gè)ARMA模型 仿照AR和MA模型同樣的步驟可以推得關(guān)于ARMA p q 模型的預(yù)測公式 17 分析上面的公式可知 ARMA p q 模型的最佳計(jì)算具有以下特點(diǎn) 1 當(dāng)時(shí) 預(yù)測計(jì)算公式中包含了 這q個(gè)值 與MA模型的預(yù)測計(jì)算一樣 需要由迭代計(jì)算出 因此ARMA模型的預(yù)測計(jì)算也非常繁瑣 2 當(dāng)h q時(shí) 預(yù)測計(jì)算中不包含MA部分 可由進(jìn)行遞推計(jì)算 18 3 當(dāng)h q時(shí) 如果把看成h的函數(shù) 記為 則預(yù)測公式是一個(gè)關(guān)于的齊次差分方程 因此 如同AR模型的最佳預(yù)測一樣 也可以由齊次差分方程所確定 根據(jù)上面的分析可知 ARMA模型的最佳預(yù)測計(jì)算遠(yuǎn)較AR模型復(fù)雜 同時(shí)其建模過程也是繁瑣的 19 第三節(jié)案例分析 例4 1 基于批發(fā)價(jià)格指數(shù)的美國通貨膨脹研究批發(fā)價(jià)格指數(shù) WholesalePriceIndex 簡記為WPI 是通貨膨脹測定指標(biāo)的一種 它是根據(jù)大宗物資批發(fā)價(jià)格的加權(quán)平均價(jià)格編制而得的物價(jià)指數(shù) 反應(yīng)不同時(shí)期生產(chǎn)資料和消費(fèi)品批發(fā)價(jià)格的變動(dòng)趨勢與幅度的相對數(shù) 包括在內(nèi)的產(chǎn)品有原料 中間產(chǎn)品 最終產(chǎn)品與進(jìn)出口品 但不包括各類勞務(wù) 批發(fā)價(jià)格是在商品進(jìn)入零售 形成零售價(jià)格之前 有中間商或批發(fā)企業(yè)所訂 其水平?jīng)Q定于出廠價(jià)格或收購價(jià)格 對零售價(jià)格有決定性影響 20 所以有經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為批發(fā)價(jià)格指數(shù)比消費(fèi)物價(jià)指數(shù)具有更廣泛的物價(jià)變動(dòng)代表性 為此我們搜集了1960年第1季度至1990第4季度美國的WPI指數(shù)進(jìn)行研究 數(shù)據(jù)來源于美國勞工統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站http stats bls gov 從1960年第1季度至1990第4季度的WPI共有124個(gè)數(shù)據(jù) 使用EViews命令PlotWPI可得其水平序列圖如下 21 圖4 2美國批發(fā)價(jià)格指數(shù) 22 在EViews中雙擊WPI這個(gè)序列 點(diǎn)擊View DescriptiveStatistics HistogramandStats 則可以得到它基本描述統(tǒng)計(jì)特征圖4 3 23 從圖4 3可以得知 WPI的平均值是62 7742 最大值是116 2000 最小值是30 5000 標(biāo)準(zhǔn)差是30 2436 并且這是一個(gè)服從雙峰分布的變量 為了判斷時(shí)間序列模型的類型 我們要計(jì)算出自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)值 在EViews中雙擊WPI這個(gè)序列 點(diǎn)擊View Correlogram 在彈出的對話框中選擇Level 然后點(diǎn)擊確定 可得WPI的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖4 4 24 圖4 4WPI的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖雖然偏相關(guān)函數(shù)是截尾的 但自相關(guān)函數(shù)衰減很慢 幾乎不減少 所以不是拖尾的 因此WPI是一個(gè)非平穩(wěn)序列 25 如果非要認(rèn)為自相關(guān)函數(shù)是拖尾的 則照第三章的標(biāo)準(zhǔn) 模型應(yīng)該是AR 1 的 使用命令LSWPIcAR 1 可得輸出輸出結(jié)果表4 1 26 從表4 1的最后一行的輸出結(jié)果 EstimatedARprocessisnonstationary 可看出這個(gè)AR 1 過程是非平穩(wěn)的 所以下面我們依照博克斯 詹金斯方法的思路 原始序列不平穩(wěn) 但其差分序列可能是平穩(wěn)的 所以下面我們對WPI的差分序列建模 使用命令genrDwpi D WPI 生成WPI的差分序列 然后用命令PlotDwpi畫出Dwpi的差分圖形4 5 雙擊Dwpi這個(gè)序列 點(diǎn)擊View Correlogram 在彈出的對話框中選擇Level 然后點(diǎn)擊確定 可得WPI的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖4 6 27 圖4 5WPI的差分序列圖 28 從圖4 5看出序列Dwpi是一個(gè)無趨勢的序列 從圖4 6可以看出序列Dwpi偏相關(guān)函數(shù)3階以后是截尾的 但自相關(guān)函數(shù)是拖尾的 因此序列Dwpi是一個(gè)平穩(wěn)序列 適合建立一個(gè)AR 3 的模型 使用命令LSDwpicAR 1 AR 2 AR 3 可得輸出輸出結(jié)果表4 2 圖4 6Dwpi的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖 29 表4 2AR 3 模型的輸出結(jié)果 30 從表4 2可以看出AR 2 的系數(shù)對應(yīng)的p值較大 所以統(tǒng)計(jì)上不顯著 因此剔除AR 2 這一項(xiàng)以后 再對模型進(jìn)行擬合可得表4 3 31 從表4 3可以看出 模型的三個(gè)參數(shù)都通過了t檢驗(yàn) 所以這些變量選用是恰當(dāng)?shù)?且F統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的p值較小 所以模型的整體擬合效果較好 在輸出結(jié)果視圖下 點(diǎn)擊View ResidualsTests Correlogram Q Statistic 可得模型殘差序列的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖4 7 32 因?yàn)镼 3 Q 10 對應(yīng)的p值都比0 05大 可以認(rèn)為模型的殘差序列為白噪聲 這也說明模型的擬合效果比較好 所以最終模型為即由于變量差分后損失了很多信息 所以差分序列的模型的R2不可能很高 還需要注意的是對輸出結(jié)果解釋 根據(jù)Wold分解定理EViews的輸出格式表示的是 對序列 Dwpit 0 8280 建立剔除AR 2 這一項(xiàng)后的AR 3 模型 而不是對Dwpit建立AR 3 模型 33 輸出結(jié)果中的0 8280是Dwpit的均值 而不漂移項(xiàng) 它的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是41年間的WPI的季度平均凈增值是0 8280 上述案例分析中描述統(tǒng)計(jì)量 自相關(guān)函數(shù) 偏相關(guān)函數(shù)和ARMA模型的估計(jì)也可以用R軟件來實(shí)現(xiàn) 下面我們給出相應(yīng)的R程序 其中的中文是對下面各語句的文字說明 在運(yùn)行中可以去掉 讀取數(shù)據(jù) WPI dat read table c WPI txt header T attach WPI dat WPI 34 畫圖 plot WPI type l 畫線圖hist WPI 畫直方圖acf WPI type correlation 畫自相關(guān)函數(shù)圖acf WPI type partial 畫偏相關(guān)函數(shù)圖plot diff WPI type l 畫差分序列Dwpi線圖hist diff WPI 畫差分序列Dwpi直方圖acf diff WPI type correlation 畫差分序列Dwpi自相關(guān)函數(shù)圖acf diff WPI type partial 畫差分序列Dwpi偏相關(guān)函數(shù)圖 35 描述統(tǒng)計(jì)量 summary WPI 給出最小值 第一分位數(shù) 中位數(shù) 平均值 第三分位數(shù) 最大值var WPI 給出方差sd WPI 給出標(biāo)準(zhǔn)差 估計(jì)模型 arima WPI order c 1 0 0 method CSS 對WPI擬合AR 1 模型fit arima diff WPI order c 3 0 0 method CSS 對差分序列Dwpi擬合AR 3 模型 36 resid fit residuals 給出AR 3 模型的殘差Box test resid lag 3 type Ljung Box 給出Ljung Box檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 檢驗(yàn)殘差是否還有自相關(guān)性本章小結(jié)1 預(yù)測是計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析的重要部分 對某些人來說也許是最重要的部分 預(yù)測是經(jīng)濟(jì)與管理決策中最普遍且重要的一環(huán) 唯有把握未來 才能做出正確的決策 2 博克斯 詹金斯方法 Box Jenkins 或者ARMA方法 這種方法的要點(diǎn)是 在 數(shù)據(jù)自己說話 的哲理指引下 著重于分析經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列本身的概 37 率或隨機(jī)性質(zhì) 而不在意于構(gòu)造單一方程抑或聯(lián)立方程組模型 所以此方法和傳統(tǒng)的單一方程和聯(lián)立方程模型是相對立的 3 對于一個(gè)時(shí)間序列的預(yù)測 基本的博克斯 詹金斯策略如下 1 首先檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性 這可以通過自相關(guān)函數(shù) ACF 與偏相關(guān)函數(shù) PACF 或者通過以后學(xué)習(xí)的單位根檢驗(yàn)來實(shí)現(xiàn) 2 如果時(shí)間序列不平穩(wěn) 將它差分一次或多次以獲得平穩(wěn)性 3 然后計(jì)算此時(shí)間序列的ACF和PACF 以判斷序列是純自回歸還是純移動(dòng)平均的 或這二者的一種混合體 4 然后估計(jì)此嘗試模型 38 5 分析嘗試模型的殘差 看它是不是白噪聲 如果是 則嘗試模型也許是一個(gè)好的估計(jì)模型 如果不是 則要從頭做起 因此博克斯 詹金斯方法是一個(gè)反復(fù)的過程 6 最后選定的模型便可用于預(yù)測 4 最小均方誤差準(zhǔn)則是一種常用的統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則 在此準(zhǔn)則下 如果我們選擇線性預(yù)測函數(shù) 則線性預(yù)測函數(shù)事實(shí)上是在空間上的正交投影 5 AR p 模型的最小均方預(yù)測公式比較簡單 只要知道這p個(gè)歷史值便可以得到任意步長的平穩(wěn)線性最小均方預(yù)測 39 正是因?yàn)锳R模型的建模與預(yù)測的簡單性 它成為預(yù)測問題中應(yīng)用得最為廣泛的時(shí)間序