結(jié)還是解.doc

解開亂作一團的繩子可要比看上去困難得多，但對此的努力卻可謂物有所值，RichardElwes如是說在魔術(shù)表演里，它遠不及將助手大斷活人，或者空帽抽兔那么吸引眼球。但對數(shù)學(xué)家而言，魔術(shù)師所有的劇目中，沒有什么能比突然消失的繩結(jié)更加激動人心的了。鑼聲振天，鼓聲徹地，伴隨著一記得意洋洋的“變！”，一團錯亂到無法想象的繩結(jié)在魔術(shù)師手中恢復(fù)成了一條順滑的繩索。 但任何一個曾與自己永不妥協(xié)的鞋帶斗爭過的人都會告訴你，這種小把戲?qū)忾_老式的繩結(jié)可以說百無一用。而成功的秘密則隱藏在充分的準(zhǔn)備中：魔術(shù)師為了達到預(yù)想的效果，事先就已經(jīng)小心翼翼、按圖索驥的將繩子打好了特殊的結(jié)。但又是什么確保這些繩結(jié)每次都能如此準(zhǔn)確的被拉直，而你的鞋帶卻做不到呢？ 這類問題其實意義深遠。DNA分子常以拜占庭式紐結(jié)（Byzantinetangles，拜占庭藝術(shù)中一種常見的裝飾紋樣，而拜占庭藝術(shù)正以其超現(xiàn)實性聞名，譯者注）的形態(tài)出現(xiàn)，而無論其是否能被解開，這都似乎是導(dǎo)致基因突變的決定性因素也就是所謂進化的原動力。充斥我們生活的各種聚合物所表現(xiàn)出的力學(xué)性質(zhì)，在很大程度上也取決于他們綿長的分子之間以什么形式纏繞。而物理學(xué)中，紐結(jié)卻出乎意料的出現(xiàn)在貫穿量子計算到統(tǒng)計力學(xué)的基本原理領(lǐng)域。 但頭痛的是，要漂亮的解答魔術(shù)師之結(jié)卻顯得相當(dāng)棘手。對此，一項被稱為紐結(jié)理論的新數(shù)學(xué)分支已經(jīng)發(fā)展成型。而在過去的兩個世紀(jì)中，對如何快速解決這類難題的思索，始終糾纏在一些頂尖數(shù)學(xué)家的腦海：如果給你一對隨機糾纏起來的線團，你如何才能辨明他們究竟是不同類型的紐結(jié)，還是經(jīng)過偽裝的孿生兄弟？ 但現(xiàn)在，我們似乎接近了答案，一種完美的、清晰透徹的描述各種紐結(jié)的方法仿佛指日可待。不止如此，一旦跨過這蜿蜒曲折的紐結(jié)研究道路上最后一個障礙，其基本原理將能大白天下，甚至為某種新的對物理現(xiàn)實的認知來指明前路。 數(shù)學(xué)家在揣摩這些扭成一團的繩索時，第一步都會小心翼翼的而不是像我們這樣確保繩子的兩個端點順利合并，構(gòu)成一個封閉的環(huán)。這讓繩結(jié)被自身約束，并能完全自由的被拉扯和扭曲，卻不會因此而改變繩環(huán)的基本纏繞方式。當(dāng)然，在線團操作的同時剪開并粘合繩索是絕對禁止的。 按照這一定義，最基本的紐結(jié)形式其實是我們習(xí)以為常的圓環(huán)。這能算什么結(jié)？你可能在嘀咕，但事實上它的學(xué)名叫“平凡紐結(jié)”（unknot，原為動詞，解開繩結(jié)，但做名詞則特指紐結(jié)理論中的平凡紐結(jié)，譯者注）。盡管貌似( )無足輕重，低人一等的平凡紐結(jié)卻揭示了一條最為基本的困擾：隨著你任意的延展彎曲，它能展現(xiàn)出無數(shù)種不同的卷繞姿態(tài)。如果你循規(guī)蹈矩的拉扯一個亂作一團的線球，或許它最終會和魔術(shù)師之結(jié)一樣簡化成一個平凡紐結(jié)，當(dāng)然，也可能完全不會。 對于兩個同樣打上了結(jié)的繩圈，要想分辨它們是否是經(jīng)過巧妙偽裝的同胞兄弟，最簡單的方法或許只能是實驗：不停嘗試著將其中的一個拉扯成另外一個的樣子，也就是說，每一個重疊和交叉的位置都要相同。從19世紀(jì)就開始不遺余力編撰的紐結(jié)目錄對此提供了有價值的參考。 對于比較簡單的紐結(jié)，這還是個不錯的方法，但隨著紐結(jié)中交錯的增加，需要比較的可能狀態(tài)以指數(shù)方式飛增，工作將變得復(fù)雜至極。區(qū)區(qū)12個交錯，就讓人不得不考慮2000多個截然不同的紐結(jié)。這種復(fù)雜性甚至曾讓那些紐結(jié)編錄的先鋒們馬失前蹄：有些目錄里收錄的紐結(jié)樣本在幾十年之后才開始為人關(guān)注（如佩爾庫紐結(jié)對，參見下圖）。（Perkopair，佩爾庫紐結(jié)對，下圖1/8與8/8，中間為其轉(zhuǎn)換過程，經(jīng)典紐結(jié)分類中一對等價的紐結(jié)，交錯數(shù)均為10，十九世紀(jì)末由PeterGuthrieTait編撰的紐結(jié)目錄中曾遺漏其中一種，直到百年后的二十世紀(jì)后期（1974年）業(yè)余地質(zhì)學(xué)家KennethPerko完善目錄時才引入，并發(fā)現(xiàn)兩者等價性，因此得名，譯者注） 紐結(jié)理論至此陷入了一種僵局，甚至在二十世紀(jì)的大部分時間中都處于停滯。盡管偶爾也有所突破，但暴力試驗和一次次的挫敗好比強弩之末，已無法高效的來區(qū)分紐結(jié)。而對于更流暢平滑的數(shù)學(xué)算法的探索也是舉步維艱。 就在此時，一個轉(zhuǎn)機出現(xiàn)了，而且，它出現(xiàn)的方向出乎意料。1984年，VaughanJones一位在費城賓夕法尼亞大學(xué)任職的新西蘭學(xué)者在研究量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)時，開始注意到自己的結(jié)論和紐結(jié)理論存在某些方面的相似性。這一偶然的發(fā)現(xiàn)迅速的促使了一些簡單并能用于精確拆解紐結(jié)問題的代數(shù)計算被發(fā)現(xiàn)。 Jones所提出的是一條關(guān)于三種不同的打結(jié)方式的代數(shù)定律，這三種方式的區(qū)別僅僅體現(xiàn)在交叉點上：第一種是上交錯，第二種是下交錯，第三種是不交錯。通過在每一個交錯點運用Jones的定律，一個復(fù)雜的紐結(jié)能被有效的分解為一連串平凡紐結(jié)。最終得到的是一系列數(shù)學(xué)表達式，再利用一點代數(shù)技巧，我們( )就可以從中得到一個刻畫原始扭結(jié)的數(shù)學(xué)特性的簡單方程。雖然這些數(shù)學(xué)把戲與真正解開繩結(jié)相聯(lián)系的方式，以及在這些公式背后隱藏著的信息還籠罩在迷霧之中，但重要的是，無論你怎么拉扯與扭曲最初的紐結(jié)來混淆視聽，他們所表現(xiàn)出的方程式卻是相同的。換句話說，Jones的方程對每個特定的紐結(jié)而言是一個“不變量”，由此，它引發(fā)了數(shù)學(xué)家們的高度重視。 “你如何才能辨明兩個扭結(jié)究竟是不同類型的紐結(jié)，還是經(jīng)過偽裝的孿生兄弟？” 憑借其易于計算與強勁有力的特點，Jones不變量已經(jīng)在各個與紐結(jié)相關(guān)的科學(xué)領(lǐng)域成為一項不可或缺的工具。典型的例子是生物化學(xué)，它被用于分析如拓撲異構(gòu)酶與重組酶的斷裂，以及DNA分子鏈在細胞復(fù)制時的解旋編譯過程。而在Jones的發(fā)現(xiàn)之前，為了解決這類問題，需要在數(shù)學(xué)上使用復(fù)雜原始的公式手工計算。這一不變量提供了一個比較DNA序列前后變化的簡單方法，由此，一些酶的作用才開始初露端倪。 而在這些領(lǐng)域斬獲頗豐的Jones不變量卻還有其局限性。為了真正刻畫扭結(jié)的特性，一個不變量應(yīng)該能夠在兩個方向上都管用：同樣的扭結(jié)對應(yīng)的應(yīng)該是同樣的不變量，反過來同樣的不變量應(yīng)該也對應(yīng)的是同樣的扭結(jié)。對Jones多項式來說，第二個條件是不滿足的，因為兩個不同的扭結(jié)也有可能對應(yīng)相同的Jones多項式。 對于Jones的理論的改進稱為“量子不變量”，因為它們最初來源于量子力學(xué)中的數(shù)學(xué)一個個接踵而至。但都談不上完美，紐結(jié)描述的唯一性也不盡完善。與此同時，一個與生俱來的迷團卻愈發(fā)凸顯：這些張牙舞爪的代數(shù)式到底從何而來？它們所表征的又是紐結(jié)的什么特性呢？ 回答這些問題需要從根本上改變思路。1989年，兩個獨自研究的俄國人，來自莫斯科獨立大學(xué)的VictorVassiliev和莫斯科Steklov數(shù)學(xué)協(xié)會的MikhailGoussarov，都考察了在假設(shè)繩與繩之間可徑直穿透而不是發(fā)生交錯的情況下，紐結(jié)所表現(xiàn)出的特性?？瓷先ニ坪跏窃谟靡粋€古靈精怪的方法解決問題畢竟，真正的繩結(jié)做不出那種事來但這份努力卻物有所值?？v覽這些新式的紐結(jié)，一個讓人眼花繚亂的、被稱為“有限型”不變量的序列慢慢浮現(xiàn)。 個別說來，一些有限型不變量已被用于解決凝聚態(tài)物理學(xué)（polymerphysics，一門以物質(zhì)的宏觀物理性質(zhì)作為主要研究對象的學(xué)科，“凝聚態(tài)”指由大量粒子組成，且粒子間有很強的相互作用的系統(tǒng)，如固體和液體，譯者注）中的難題，但對數(shù)學(xué)家而言，它們純粹數(shù)字外表的背后卻有著值得挖掘的強大力量。事實上，任何描述這些特殊紐結(jié)的序列都包含著無數(shù)個有限型不變量，并且現(xiàn)在研究人員已證實，這些不變量所組成的序列可以被整合、重構(gòu)成Jones不變量，或者其他能將真實繩結(jié)相互區(qū)分的量子不變量。 Vassiliev的觀察可謂更進一步。在所有他研究的紐結(jié)中，他注意到，被完全相同的有限型不變量序列所描述的例子從未出現(xiàn)。這促使他提出了著名的推論：如果兩個紐結(jié)真的彼此不同，那么他們間將至少有一項有限型不變量會存在區(qū)別。同樣的，如果描述兩個紐結(jié)的有限型不變量完全相同，那么他們必定是同一個紐結(jié)。 目前為止，不遵循Vassiliev推論的紐結(jié)還沒有被發(fā)現(xiàn)。似乎該做結(jié)案陳詞了，你也許會覺得：有限型不變量的序列對于紐結(jié)來說，幾乎已成為一對一的“指紋”。但數(shù)學(xué)家們卻總顯得欲求不滿，先不提怎么考證它的逆命題，這一求解已經(jīng)夠麻煩的了，我們?yōu)槭裁匆淌苓@無數(shù)多個不變量來區(qū)分紐結(jié)，就沒有一個簡單點的數(shù)學(xué)公式能勝任這個工作么？ 在1993年，數(shù)學(xué)家MaximKontsevich似乎就提出了這么個整潔的公式。他在德國波恩大學(xué)工作期間，發(fā)現(xiàn)了一種能將紐結(jié)中包含的所有有限型不變量濃縮成一個緊湊干練的表達式，現(xiàn)在被直接稱為Kontsevich積分法。Kontsevich正是憑借包括此研究在內(nèi)的4項卓越成果，在1998年被授予了菲爾茲獎相當(dāng)于數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎，Jones在八年前獲得了同樣的殊榮。 這就是讓我們苦苦守候的白馬王子么？Kontsevich積分法是否真的能整潔高效、彈無虛發(fā)的分辨任意一對紐結(jié)？很多人對此心存贊同，但其結(jié)果卻依然根植于Vassiliev關(guān)于有限型不變量的推論。如果它被成功論證，Kontsevich的方法就可謂天衣無縫。但若反之，我們又將繼續(xù)回到一片混沌的探索之中。 耀眼的突破 先不管結(jié)局如何，雖然Kontsevich積分法已經(jīng)減少了大量的運算，但它依舊復(fù)雜不堪。事實上，連寫下某個描述紐結(jié)的算式都是一項艱巨的任務(wù)，而用以毫發(fā)無損的解開繩結(jié)的積分更是個令人恐懼的代數(shù)式，與Jones不變量的緊湊簡潔有著天壤之別?？上У氖?，你能用的只有這些工具，在90年代，Kontsevich的計算法是唯一被廣為流傳的。而現(xiàn)在，紐結(jié)理論研究者們的努力慢慢轉(zhuǎn)向了對有限型不變量的本質(zhì)理解、對猛獸般狂野的積分式的馴服以及對Vassiliev推論的證明。與此同時，這一系列概念，已經(jīng)在一種試圖描述生物學(xué)龐大數(shù)據(jù)庫中千奇百怪分子的新興技術(shù)里證明了自己的價值。 而后，到了1999年，激動人心的突破再次降臨又來自出人意料的犄角旮旯。這種完全不同的技巧不僅催生了新一代的紐結(jié)不變量，還暗示出紐結(jié)背后隱藏的數(shù)學(xué)理論的重要性也許比我們所懷疑的更為深厚。而它就是“范疇化”。（categorification，范疇化，數(shù)學(xué)術(shù)語，既categorization（分類，編目）與詞根-fication（化）的結(jié)合再造詞，譯者注） 范疇化將數(shù)學(xué)中一條最常見的指導(dǎo)性邏輯對真實世界的抽象與精簡進行了徹底的顛覆。固然抽象與精簡的概念值( )得稱贊，但其對結(jié)果的描述往往與我們的期望相比顯得過于簡單。在我們初學(xué)算術(shù)時經(jīng)歷過的那些小小挫折就是很好的例子：為什么三只蘋果和三只桔子都能被簡化為同一個數(shù)字“3”，盡管兩種事物完全不同？ 那是因為，“3”在數(shù)學(xué)上的構(gòu)成即傳統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)是對它所代表的任意事物的一種抽象精簡。在這種情況下，范疇化一個目的就是用一種層次更為豐富的架構(gòu)取而代之，也就是引入一種“分類”概念（category，意為范疇、分類，“范疇化”的譯名由此而來，此處用“分類”解釋，以便讀者理解，譯者注），而被嚴(yán)格的等式所定義的數(shù)字系統(tǒng)比如“1+2=3”將被這種對不同類型的事物做比較時更不照本宣科的方式所取代。這種分類提供了一種數(shù)字本身所無法具備的真實世界中的靈活性：即使事物的數(shù)量相同，它們也能分屬不同的類型。相對這種架構(gòu)，傳統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)好比是將其抽去分類概念的縮影，就如同把所有數(shù)量為3的事物壓縮成同一個描述：數(shù)字3。 “我們認為的相對論與量子理論間的失調(diào)也許只是個假象” 對于數(shù)字系統(tǒng)提出的理論，在其他的數(shù)學(xué)元素上又能否適用呢？1999年，當(dāng)加州大學(xué)的數(shù)學(xué)家MikhailKhovanov重溫Jones不變量時提出了如此的疑問。與將其化為有限型不變量而簡化計算的方法不同，他另辟蹊徑的使用了某種更為宏觀的架構(gòu)來取代之前那些明顯處理的過于草率的抽象化縮影。 而這一研究一鳴驚人。他引入的分類可謂包羅萬象，雖然在概念上仍然有些難以理解，但其在數(shù)學(xué)上的靈活輕便卻讓Kontsevich積分法都望塵莫及，同時相對于Jones方程，它對于紐結(jié)本質(zhì)的描述顯得更為可信。更進一步的是，2006年，多謝加拿大多倫多大學(xué)的DrorBar-Natan編寫了一個精巧的計算機程序，在它的幫助下，這一理論已經(jīng)可以高效的處理任何紐結(jié)模型，同時也暗中擴大了它對于其他研究領(lǐng)域的價值。 但即使是Khovanov的分類法，也難免百密一疏：仍舊有一些頑固的紐結(jié)特例同屬于同一分類。研究因此繼續(xù)，直到2005年，在北卡羅萊納大學(xué)LevRozansky的合作下，Khovanov公開了一種全新的、立足于更高層次的不變量處理方法。它不僅將許多超越Jones方程的量子不變量做了范疇化，還揉合了Khovanov自創(chuàng)的類型，以及當(dāng)時新發(fā)現(xiàn)的一些紐結(jié)不變量。 Khovanov-Rozansky范疇化的力量已一舉將我們推到了完美的紐結(jié)描述大門之前，雖然初步跡象表明，真理之船還沒正式靠岸。在將松散一地的紐結(jié)問題扎緊打包之前，仍有一些量子不變量留待并入其中。但無論如何，我們都似乎步步逼近著那終極的數(shù)學(xué)答案。 而受早先在范疇化研究中取得的豐富經(jīng)驗啟發(fā)，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家又有了新點子：這個方法或許不只適用于紐結(jié)?；叵胍幌铝孔永碚摵图~結(jié)之間的關(guān)系，Jones正是由此而獲得啟發(fā)。有些研究學(xué)者認為，他們已經(jīng)獲