結(jié)還是解.doc

解開亂作一團(tuán)的繩子可要比看上去困難得多，但對此的努力卻可謂物有所值，RichardElwes如是說在魔術(shù)表演里，它遠(yuǎn)不及將助手大斷活人，或者空帽抽兔那么吸引眼球。但對數(shù)學(xué)家而言，魔術(shù)師所有的劇目中，沒有什么能比突然消失的繩結(jié)更加激動人心的了。鑼聲振天，鼓聲徹地，伴隨著一記得意洋洋的“變！”，一團(tuán)錯亂到無法想象的繩結(jié)在魔術(shù)師手中恢復(fù)成了一條順滑的繩索。 但任何一個曾與自己永不妥協(xié)的鞋帶斗爭過的人都會告訴你，這種小把戲?qū)忾_老式的繩結(jié)可以說百無一用。而成功的秘密則隱藏在充分的準(zhǔn)備中：魔術(shù)師為了達(dá)到預(yù)想的效果，事先就已經(jīng)小心翼翼、按圖索驥的將繩子打好了特殊的結(jié)。但又是什么確保這些繩結(jié)每次都能如此準(zhǔn)確的被拉直，而你的鞋帶卻做不到呢？ 這類問題其實意義深遠(yuǎn)。DNA分子常以拜占庭式紐結(jié)（Byzantinetangles，拜占庭藝術(shù)中一種常見的裝飾紋樣，而拜占庭藝術(shù)正以其超現(xiàn)實性聞名，譯者注）的形態(tài)出現(xiàn)，而無論其是否能被解開，這都似乎是導(dǎo)致基因突變的決定性因素也就是所謂進(jìn)化的原動力。充斥我們生活的各種聚合物所表現(xiàn)出的力學(xué)性質(zhì)，在很大程度上也取決于他們綿長的分子之間以什么形式纏繞。而物理學(xué)中，紐結(jié)卻出乎意料的出現(xiàn)在貫穿量子計算到統(tǒng)計力學(xué)的基本原理領(lǐng)域。 但頭痛的是，要漂亮的解答魔術(shù)師之結(jié)卻顯得相當(dāng)棘手。對此，一項被稱為紐結(jié)理論的新數(shù)學(xué)分支已經(jīng)發(fā)展成型。而在過去的兩個世紀(jì)中，對如何快速解決這類難題的思索，始終糾纏在一些頂尖數(shù)學(xué)家的腦海：如果給你一對隨機(jī)糾纏起來的線團(tuán)，你如何才能辨明他們究竟是不同類型的紐結(jié)，還是經(jīng)過偽裝的孿生兄弟？ 但現(xiàn)在，我們似乎接近了答案，一種完美的、清晰透徹的描述各種紐結(jié)的方法仿佛指日可待。不止如此，一旦跨過這蜿蜒曲折的紐結(jié)研究道路上最后一個障礙，其基本原理將能大白天下，甚至為某種新的對物理現(xiàn)實的認(rèn)知來指明前路。 數(shù)學(xué)家在揣摩這些扭成一團(tuán)的繩索時，第一步都會小心翼翼的而不是像我們這樣確保繩子的兩個端點(diǎn)順利合并，構(gòu)成一個封閉的環(huán)。這讓繩結(jié)被自身約束，并能完全自由的被拉扯和扭曲，卻不會因此而改變繩環(huán)的基本纏繞方式。當(dāng)然，在線團(tuán)操作的同時剪開并粘合繩索是絕對禁止的。 按照這一定義，最基本的紐結(jié)形式其實是我們習(xí)以為常的圓環(huán)。這能算什么結(jié)？你可能在嘀咕，但事實上它的學(xué)名叫“平凡紐結(jié)”（unknot，原為動詞，解開繩結(jié)，但做名詞則特指紐結(jié)理論中的平凡紐結(jié)，譯者注）。盡管貌似( )無足輕重，低人一等的平凡紐結(jié)卻揭示了一條最為基本的困擾：隨著你任意的延展彎曲，它能展現(xiàn)出無數(shù)種不同的卷繞姿態(tài)。如果你循規(guī)蹈矩的拉扯一個亂作一團(tuán)的線球，或許它最終會和魔術(shù)師之結(jié)一樣簡化成一個平凡紐結(jié)，當(dāng)然，也可能完全不會。 對于兩個同樣打上了結(jié)的繩圈，要想分辨它們是否是經(jīng)過巧妙偽裝的同胞兄弟，最簡單的方法或許只能是實驗：不停嘗試著將其中的一個拉扯成另外一個的樣子，也就是說，每一個重疊和交叉的位置都要相同。從19世紀(jì)就開始不遺余力編撰的紐結(jié)目錄對此提供了有價值的參考。 對于比較簡單的紐結(jié)，這還是個不錯的方法，但隨著紐結(jié)中交錯的增加，需要比較的可能狀態(tài)以指數(shù)方式飛增，工作將變得復(fù)雜至極。區(qū)區(qū)12個交錯，就讓人不得不考慮2000多個截然不同的紐結(jié)。這種復(fù)雜性甚至曾讓那些紐結(jié)編錄的先鋒們馬失前蹄：有些目錄里收錄的紐結(jié)樣本在幾十年之后才開始為人關(guān)注（如佩爾庫紐結(jié)對，參見下圖）。（Perkopair，佩爾庫紐結(jié)對，下圖1/8與8/8，中間為其轉(zhuǎn)換過程，經(jīng)典紐結(jié)分類中一對等價的紐結(jié)，交錯數(shù)均為10，十九世紀(jì)末由PeterGuthrieTait編撰的紐結(jié)目錄中曾遺漏其中一種，直到百年后的二十世紀(jì)后期（1974年）業(yè)余地質(zhì)學(xué)家KennethPerko完善目錄時才引入，并發(fā)現(xiàn)兩者等價性，因此得名，譯者注） 紐結(jié)理論至此陷入了一種僵局，甚至在二十世紀(jì)的大部分時間中都處于停滯。盡管偶爾也有所突破，但暴力試驗和一次次的挫敗好比強(qiáng)弩之末，已無法高效的來區(qū)分紐結(jié)。而對于更流暢平滑的數(shù)學(xué)算法的探索也是舉步維艱。 就在此時，一個轉(zhuǎn)機(jī)出現(xiàn)了，而且，它出現(xiàn)的方向出乎意料。1984年，VaughanJones一位在費(fèi)城賓夕法尼亞大學(xué)任職的新西蘭學(xué)者在研究量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)時，開始注意到自己的結(jié)論和紐結(jié)理論存在某些方面的相似性。這一偶然的發(fā)現(xiàn)迅速的促使了一些簡單并能用于精確拆解紐結(jié)問題的代數(shù)計算被發(fā)現(xiàn)。 Jones所提出的是一條關(guān)于三種不同的打結(jié)方式的代數(shù)定律，這三種方式的區(qū)別僅僅體現(xiàn)在交叉點(diǎn)上：第一種是上交錯，第二種是下交錯，第三種是不交錯。通過在每一個交錯點(diǎn)運(yùn)用Jones的定律，一個復(fù)雜的紐結(jié)能被有效的分解為一連串平凡紐結(jié)。最終得到的是一系列數(shù)學(xué)表達(dá)式，再利用一點(diǎn)代數(shù)技巧，我們( )就可以從中得到一個刻畫原始扭結(jié)的數(shù)學(xué)特性的簡單方程。雖然這些數(shù)學(xué)把戲與真正解開繩結(jié)相聯(lián)系的方式，以及在這些公式背后隱藏著的信息還籠罩在迷霧之中，但重要的是，無論你怎么拉扯與扭曲最初的紐結(jié)來混淆視聽，他們所表現(xiàn)出的方程式卻是相同的。換句話說，Jones的方程對每個特定的紐結(jié)而言是一個“不變量”，由此，它引發(fā)了數(shù)學(xué)家們的高度重視。 “你如何才能辨明兩個扭結(jié)究竟是不同類型的紐結(jié)，還是經(jīng)過偽裝的孿生兄弟？” 憑借其易于計算與強(qiáng)勁有力的特點(diǎn)，Jones不變量已經(jīng)在各個與紐結(jié)相關(guān)的科學(xué)領(lǐng)域成為一項不可或缺的工具。典型的例子是生物化學(xué)，它被用于分析如拓?fù)洚悩?gòu)酶與重組酶的斷裂，以及DNA分子鏈在細(xì)胞復(fù)制時的解旋編譯過程。而在Jones的發(fā)現(xiàn)之前，為了解決這類問題，需要在數(shù)學(xué)上使用復(fù)雜原始的公式手工計算。這一不變量提供了一個比較DNA序列前后變化的簡單方法，由此，一些酶的作用才開始初露端倪。 而在這些領(lǐng)域斬獲頗豐的Jones不變量卻還有其局限性。為了真正刻畫扭結(jié)的特性，一個不變量應(yīng)該能夠在兩個方向上都管用：同樣的扭結(jié)對應(yīng)的應(yīng)該是同樣的不變量，反過來同樣的不變量應(yīng)該也對應(yīng)的是同樣的扭結(jié)。對Jones多項式來說，第二個條件是不滿足的，因為兩個不同的扭結(jié)也有可能對應(yīng)相同的Jones多項式。 對于Jones的理論的改進(jìn)稱為“量子不變量”，因為它們最初來源于量子力學(xué)中的數(shù)學(xué)一個個接踵而至。但都談不上完美，紐結(jié)描述的唯一性也不盡完善。與此同時，一個與生俱來的迷團(tuán)卻愈發(fā)凸顯：這些張牙舞爪的代數(shù)式到底從何而來？它們所表征的又是紐結(jié)的什么特性呢？ 回答這些問題需要從根本上改變思路。1989年，兩個獨(dú)自研究的俄國人，來自莫斯科獨(dú)立大學(xué)的VictorVassiliev和莫斯科Steklov數(shù)學(xué)協(xié)會的MikhailGoussarov，都考察了在假設(shè)繩與繩之間可徑直穿透而不是發(fā)生交錯的情況下，紐結(jié)所表現(xiàn)出的特性?？瓷先ニ坪跏窃谟靡粋€古靈精怪的方法解決問題畢竟，真正的繩結(jié)做不出那種事來但這份努力卻物有所值?？v覽這些新式的紐結(jié)，一個讓人眼花繚亂的、被稱為“有限型”不變量的序列慢慢浮現(xiàn)。 個別說來，一些有限型不變量已被用于解決凝聚態(tài)物理學(xué)（polymerphysics，一門以物質(zhì)的宏觀物理性質(zhì)作為主要研究對象的學(xué)科，“凝聚態(tài)”指由大量粒子組成，且粒子間有很強(qiáng)的相互作用的系統(tǒng)，如固體和液體，譯者注）中的難題，但對數(shù)學(xué)家而言，它們純粹數(shù)字外表的背后卻有著值得挖掘的強(qiáng)大力量。事實上，任何描述這些特殊紐結(jié)的序列都包含著無數(shù)個有限型不變量，并且現(xiàn)在研究人員已證實，這些不變量所組成的序列可以被整合、重構(gòu)成Jones不變量，或者其他能將真實繩結(jié)相互區(qū)分的量子不變量。 Vassiliev的觀察可謂更進(jìn)一步。在所有他研究的紐結(jié)中，他注意到，被完全相同的有限型不變量序列所描述的例子從未出現(xiàn)。這促使他提出了著名的推論：如果兩個紐結(jié)真的彼此不同，那么他們間將至少有一項有限型不變量會存在區(qū)別。同樣的，如果描述兩個紐結(jié)的有限型不變量完全相同，那么他們必定是同一個紐結(jié)。 目前為止，不遵循Vassiliev推論的紐結(jié)還沒有被發(fā)現(xiàn)。似乎該做結(jié)案陳詞了，你也許會覺得：有限型不變量的序列對于紐結(jié)來說，幾乎已成為一對一的“指紋”。但數(shù)學(xué)家們卻總顯得欲求不滿，先不提怎么考證它的逆命題，這一求解已經(jīng)夠麻煩的了，我們?yōu)槭裁匆淌苓@無數(shù)多個不變量來區(qū)分紐結(jié)，就沒有一個簡單點(diǎn)的數(shù)學(xué)公式能勝任這個工作么？ 在1993年，數(shù)學(xué)家MaximKontsevich似乎就提出了這么個整潔的公式。他在德國波恩大學(xué)工作期間，發(fā)現(xiàn)了一種能將紐結(jié)中包含的所有有限型不變量濃縮成一個緊湊干練的表達(dá)式，現(xiàn)在被直接稱為Kontsevich積分法。Kontsevich正是憑借包括此研究在內(nèi)的4項卓越成果，在1998年被授予了菲爾茲獎相當(dāng)于數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎，Jones在八年前獲得了同樣的殊榮。 這就是讓我們苦苦守候的白馬王子么？Kontsevich積分法是否真的能整潔高效、彈無虛發(fā)的分辨任意一對紐結(jié)？很多人對此心存贊同，但其結(jié)果卻依然根植于Vassiliev關(guān)于有限型不變量的推論。如果它被成功論證，Kontsevich的方法就可謂天衣無縫。但若反之，我們又將繼續(xù)回到一片混沌的探索之中。 耀眼的突破 先不管結(jié)局如何，雖然Kontsevich積分法已經(jīng)減少了大量的運(yùn)算，但它依舊復(fù)雜不堪。事實上，連寫下某個描述紐結(jié)的算式都是一項艱巨的任務(wù)，而用以毫發(fā)無損的解開繩結(jié)的積分更是個令人恐懼的代數(shù)式，與Jones不變量的緊湊簡潔有著天壤之別。可惜的是，你能用的只有這些工具，在90年代，Kontsevich的計算法是唯一被廣為流傳的。而現(xiàn)在，紐結(jié)理論研究者們的努力慢慢轉(zhuǎn)向了對有限型不變量的本質(zhì)理解、對猛獸般狂野的積分式的馴服以及對Vassiliev推論的證明。與此同時，這一系列概念，已經(jīng)在一種試圖描述生物學(xué)龐大數(shù)據(jù)庫中千奇百怪分子的新興技術(shù)里證明了自己的價值。 而后，到了1999年，激動人心的突破再次降臨又來自出人意料的犄角旮旯。這種完全不同的技巧不僅催生了新一代的紐結(jié)不變量，還暗示出紐結(jié)背后隱藏的數(shù)學(xué)理論的重要性也許比我們所懷疑的更為深厚。而它就是“范疇化”。（categorification，范疇化，數(shù)學(xué)術(shù)語，既categorization（分類，編目）與詞根-fication（化）的結(jié)合再造詞，譯者注） 范疇化將數(shù)學(xué)中一條最常見的指導(dǎo)性邏輯對真實世界的抽象與精簡進(jìn)行了徹底的顛覆。固然抽象與精簡的概念值( )得稱贊，但其對結(jié)果的描述往往與我們的期望相比顯得過于簡單。在我們初學(xué)算術(shù)時經(jīng)歷過的那些小小挫折就是很好的例子：為什么三只蘋果和三只桔子都能被簡化為同一個數(shù)字“3”，盡管兩種事物完全不同？ 那是因為，“3”在數(shù)學(xué)上的構(gòu)成即傳統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)是對它所代表的任意事物的一種抽象精簡。在這種情況下，范疇化一個目的就是用一種層次更為豐富的架構(gòu)取而代之，也就是引入一種“分類”概念（category，意為范疇、分類，“范疇化”的譯名由此而來，此處用“分類”解釋，以便讀者理解，譯者注），而被嚴(yán)格的等式所定義的數(shù)字系統(tǒng)比如“1+2=3”將被這種對不同類型的事物做比較時更不照本宣科的方式所取代。這種分類提供了一種數(shù)字本身所無法具備的真實世界中的靈活性：即使事物的數(shù)量相同，它們也能分屬不同的類型。相對這種架構(gòu)，傳統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)好比是將其抽去分類概念的縮影，就如同把所有數(shù)量為3的事物壓縮成同一個描述：數(shù)字3。 “我們認(rèn)為的相對論與量子理論間的失調(diào)也許只是個假象” 對于數(shù)字系統(tǒng)提出的理論，在其他的數(shù)學(xué)元素上又能否適用呢？1999年，當(dāng)加州大學(xué)的數(shù)學(xué)家MikhailKhovanov重溫Jones不變量時提出了如此的疑問。與將其化為有限型不變量而簡化計算的方法不同，他另辟蹊徑的使用了某種更為宏觀的架構(gòu)來取代之前那些明顯處理的過于草率的抽象化縮影。 而這一研究一鳴驚人。他引入的分類可謂包羅萬象，雖然在概念上仍然有些難以理解，但其在數(shù)學(xué)上的靈活輕便卻讓Kontsevich積分法都望塵莫及，同時相對于Jones方程，它對于紐結(jié)本質(zhì)的描述顯得更為可信。更進(jìn)一步的是，2006年，多謝加拿大多倫多大學(xué)的DrorBar-Natan編寫了一個精巧的計算機(jī)程序，在它的幫助下，這一理論已經(jīng)可以高效的處理任何紐結(jié)模型，同時也暗中擴(kuò)大了它對于其他研究領(lǐng)域的價值。 但即使是Khovanov的分類法，也難免百密一疏：仍舊有一些頑固的紐結(jié)特例同屬于同一分類。研究因此繼續(xù)，直到2005年，在北卡羅萊納大學(xué)LevRozansky的合作下，Khovanov公開了一種全新的、立足于更高層次的不變量處理方法。它不僅將許多超越Jones方程的量子不變量做了范疇化，還揉合了Khovanov自創(chuàng)的類型，以及當(dāng)時新發(fā)現(xiàn)的一些紐結(jié)不變量。 Khovanov-Rozansky范疇化的力量已一舉將我們推到了完美的紐結(jié)描述大門之前，雖然初步跡象表明，真理之船還沒正式靠岸。在將松散一地的紐結(jié)問題扎緊打包之前，仍有一些量子不變量留待并入其中。但無論如何，我們都似乎步步逼近著那終極的數(shù)學(xué)答案。 而受早先在范疇化研究中取得的豐富經(jīng)驗啟發(fā)，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家又有了新點(diǎn)子：這個方法或許不只適用于紐結(jié)?；叵胍幌铝孔永碚摵图~結(jié)之間的關(guān)系，Jones正是由此而獲得啟發(fā)。有些研究學(xué)者認(rèn)為，他們已經(jīng)獲