向量的坐標(biāo)表示.doc

4.1 平面向量 （四） 平面向量的直角坐標(biāo)及運算一、 復(fù)習(xí)舊知：（1）坐標(biāo)系和點的坐標(biāo)表示； （2）數(shù)和向量的意義和表示方法。導(dǎo)入：哲學(xué)家卡爾.波普爾曾指出“科學(xué)與知識的增長永遠始于問題，終于問題愈來愈深化的問題，愈來愈能啟發(fā)新問題的問題”，這對數(shù)學(xué)亦不例外。因此，在新課的引入中首先提出 “在直角坐標(biāo)系內(nèi)，平面內(nèi)的每一個點都可以用一對實數(shù)（即它的坐標(biāo)）來表示”。同樣，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量是否也可以用一對實數(shù)來表示?”啟發(fā)學(xué)生思考二、 新授：1、 用坐標(biāo)表示起點為原點的平面向量：i、 j分別是與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量。則MNxyji0A(4,3)一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j，則對平面內(nèi)任一向量a，都有唯一一對實數(shù)x、y，使得a=xi+yj我們把有序數(shù)對（x,y）叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a=(x,y)我們把 ( x , y ) 叫做向量的直角坐標(biāo)，記作 其中x叫做在 x 軸上的坐標(biāo)， y叫做在y軸上的坐標(biāo)。2、運算律：（1）兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差：（其中）（2）一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)： 如果，則；（3）實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)： 若，則；例題1： 用:單位向量、分別表示向量、，并求它們的坐標(biāo)；方法一：=2+3，=（2，3）同理=（-2，3），=（-2，-3），=（2，-3）方法二：A（2，2），B（4，5）=（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=（2，3）同理=（-2，3），=（-2，-3），=（2，-3）方法三：=（2，2），=（4，5）=-=（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=（2，3）同理=（-2，3），=（-2，-3），=（2，-3）（2，2）=（2，3） 例題2：已知a=（1,2）,b=(-5,3),求a+b,a-b,3a-2b分析：用向量的運算律進行計算 :拓展練習(xí)：例題3：已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點D的坐標(biāo)；分析：本題檢測如何用向量的終點和始點坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，并利用相等向量的坐標(biāo)相同，建立等量關(guān)系求D點的坐標(biāo)；解：設(shè)D點坐標(biāo)為（x，y）=（-1，3）-（-2，1）=（1，2）=（3，4）-（x，y）=（3-x，4-y） 由=得1=3-x，2=4-y，所以x=2，y=2，即D點的坐標(biāo)為 （2，2）三、練習(xí)已知：點A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若，試求為何值時，點P在一、三象限角平分線上？點P在第三象限內(nèi)？四 小結(jié):（1）用坐標(biāo)表示起點為原點的平面向量：（2）運算律 五、作業(yè)：教材第94頁2、3、4題 練習(xí)課一、復(fù)習(xí)：（1）平面向量的坐標(biāo)表示； （2）平面向量的坐標(biāo)運算律導(dǎo)入：某人在推小車，水平方向位移為s推力F的方向與地面夾角為30度，它做的功W等于力F在小推車位移：W=FScos30小車位移方向二、新授：1、平面向量的數(shù)量積的定義：（1）向量的夾角：已知兩個非零向量，過O點作，則AOB=（001800）叫做向量的夾角。當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量同方向時，=00，當(dāng)且僅當(dāng)反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。（2）垂直；如果的夾角為900則稱垂直，記作。（3）的數(shù)量積：兩個非零向量，它們的夾角為，則叫做稱的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=規(guī)定=0 非零向量 當(dāng)且僅當(dāng)時，=900，這時=0。（4）在方向上的投影：（注意是射影）所以，的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。2、 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)是兩個非零向量，是單位向量，于是有：（1）（2）（3）當(dāng)同向時，；當(dāng)反向時，特別地，。3、平面向量數(shù)量積的運算律（1）交換律成立：（2）對實數(shù)的結(jié)合律成立：（3）分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0（4）但是乘法公式成立： ；等等。4平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（1）若=(x1,y1),=(x2,y2)則=x1x2+y1y2（2）若=(x,y),則|=.=x2+y2,（3）若A(x1,y1),B(x2,y2),則此式可以用來計算平面上任意兩點間的距離。例1：判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；3、 若，則當(dāng)且僅當(dāng)時成立；（5）對任意向量都成立；（6）對任意向量，有。例2：已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。解：由題意，且與的夾角為，所以，同理可得 而，設(shè)為與的夾角，則 點評：向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。例3已知，求a.b點評：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的基本運算。例4：已知點A（-