醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第五章課件ppt課件

.,第五章定積分及其應(yīng)用,第一節(jié)定積分的概念和性質(zhì)第二節(jié)微積分基本定理第三節(jié)定積分的換元積分法和分部積分法第四節(jié)定積分的近似計(jì)算第五節(jié)廣義積分第六節(jié)定積分的應(yīng)用,.,第一節(jié)定積分的概念,定積分的定義定積分的幾何意義定積分的性質(zhì),.,實(shí)例1（求曲邊梯形的面積）,問題的提出,.,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積,（四個(gè)小矩形）,（九個(gè)小矩形）,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,播放,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,曲邊梯形如圖所示，,.,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,.,一、定積分的定義,定義,.,記為,積分上限,積分下限,積分和,.,注意：,.,定理1,定積分的存在性,.,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負(fù)值,二、定積分的幾何意義,.,幾何意義：,.,例1利用定義計(jì)算定積分,解,.,.,對定積分的補(bǔ)充規(guī)定:,說明,在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小,三、定積分的性質(zhì),.,證,（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）,性質(zhì)1,.,證,性質(zhì)2,.,補(bǔ)充：不論的相對位置如何,上式總成立.,例若,（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）,則,性質(zhì)3,.,證,性質(zhì)4,性質(zhì)5,.,解,令,于是,.,性質(zhì)5的推論：,證,（1）,.,證,說明：可積性是顯然的.,性質(zhì)5的推論：,（2）,.,證,（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）,性質(zhì)6,.,解,.,證,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,性質(zhì)7（定積分中值定理）,積分中值公式,.,使,即,積分中值公式的幾何解釋：,.,解,由積分中值定理知有,使,.,四、小結(jié),定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限,定積分的思想和方法：,求近似以直（不變）代曲（變）,取極限,.,3定積分的性質(zhì),（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）,4典型問題,（）估計(jì)積分值；,（）不計(jì)算定積分比較積分大小,.,思考題,將和式極限：,表示成定積分.,.,思考題解答,原式,.,第二節(jié)微積分基本定理,一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、微積分基本定理三、小結(jié),.,變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系,變速直線運(yùn)動中路程為,另一方面這段路程可表示為,問題的提出,.,考察定積分,記,積分上限函數(shù),一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),.,積分上限函數(shù)的性質(zhì),證,.,由積分中值定理得,.,補(bǔ)充,證,.,例1求,解,分析：這是型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.,.,定理3（微積分基本公式）,證,二、微積分基本定理牛頓萊布尼茨(New-Leibnize)公式,.,令,令,牛頓萊布尼茨公式,.,微積分基本公式表明：,注意,求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.,.,例2求,原式,例3設(shè),求.,解,解,.,例5求,解,解面積,.,3.微積分基本公式,1.積分上限函數(shù),2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù),三、小結(jié),牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系,.,思考題,.,思考題解答,.,第三節(jié)定積分的換元積分法和分部積分法,一、換元積分法,二、分部積分法,三、小結(jié),.,定理,一、換元積分法,.,應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:,（1）,（2）,.,例1計(jì)算,解,令,.,例2計(jì)算,解,令,原式,.,證,.,.,奇函數(shù),例4計(jì)算,解,原式,偶函數(shù),單位圓的面積,.,證,（1）設(shè),.,（2）設(shè),.,.,推導(dǎo),二、分部積分公式,.,例6計(jì)算,解,令,則,.,例7計(jì)算,解,.,例8計(jì)算,解,.,幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式,1.定積分的換元法,三、小結(jié),2.定積分的分部積分公式,（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）,.,思考題1,解,令,.,思考題解答,計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的.,正確解法是,.,思考題2,.,思考題解答,.,第四節(jié)定積分的近似計(jì)算(自學(xué)),一、矩形法,二、梯形法,三、拋物線法,.,第五節(jié)廣義積分,一、無窮限的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分,.,一、無窮限的廣義積分,.,.,.,兩極限均存在稱收斂，兩極限至少有一個(gè)不存在稱發(fā)散.,上述各廣義積分統(tǒng)稱為無窮限的廣義積分，簡稱無窮積分.,.,說明,（1）設(shè)，則,.,解.,例1計(jì)算廣義積分.,.,解,極限不存在,是發(fā)散的,例2計(jì)算廣義積分.,.,這里A與B是相互獨(dú)立的.,（2）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí),不能按積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱的定積分處理為零。因?yàn)?.,.,即,二、無界函數(shù)的廣義積分,定義設(shè)在上連續(xù)，在點(diǎn)的右鄰域內(nèi)無界,取，若存在，則稱此極限為在上的廣義積分，記作,這時(shí)稱廣義積分收斂；若極限不存在，稱廣義積分發(fā)散.,.,類似地，設(shè)在上連續(xù)，在點(diǎn)的左鄰域內(nèi)無界，取，若存在，則稱此極限為在上的廣義積分，記作，即,.,這時(shí)稱廣義積分收斂；若極限不存在，稱廣義積分發(fā)散.,.,設(shè)在上除點(diǎn)外連續(xù)，在點(diǎn)的鄰域內(nèi)無界，若廣義積分和廣義積分都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為在上的廣義積分，記為，,即,.,這時(shí)稱廣義積分收斂，若上述兩極限至少有一個(gè)不存在，則稱廣義積分發(fā)散.,說明,（1）在定義中在點(diǎn)的鄰域內(nèi)都無界，這些點(diǎn)均為的無界間斷點(diǎn)，也稱為的瑕點(diǎn)，故無界函數(shù)的廣義積分也稱為瑕積分.,當(dāng)為的瑕點(diǎn)時(shí)，,.,當(dāng)為的瑕點(diǎn)時(shí)，,當(dāng)為的瑕點(diǎn)時(shí),.,例4計(jì)算廣義積分.,解，是瑕點(diǎn)，,.,這個(gè)廣義積分的幾何意義是當(dāng)時(shí)，圖中陰影部分趨近于的面積值.,.,例5計(jì)算廣義積分.,解因?yàn)?，所以是瑕點(diǎn)，,而，,所以發(fā)散.,.,.,注：若按定積分計(jì)算（不考慮是瑕點(diǎn)),就會導(dǎo)致以下的錯(cuò)誤.,(3)若積分區(qū)間是有限的，必須先考察是定積分還是瑕積分，如是瑕積分而按定積分計(jì)算就會出現(xiàn)錯(cuò)誤，即使是按定積分求得的結(jié)果與按瑕積分求得的結(jié)果相同，前者的概念也是錯(cuò)誤的.,.,例6考察廣義積分的斂散性.,解是瑕點(diǎn)，積分區(qū)間是無窮區(qū)間，,.,先考察的斂散性.,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,.,當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散；,再考察的斂散性.,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,.,當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.,則廣義積分發(fā)散.,(4)若積分區(qū)間是無窮區(qū)間，被積函數(shù)是無界函數(shù)的廣義積分，應(yīng)把廣義積分分拆成幾項(xiàng)，使每項(xiàng)是單純的無窮積分或瑕積分，再按各自的積分方法計(jì)算.,.,傳染病分析,在傳染病流行期間人們被傳染患病的速度可以近似地表示為,這里的單位是人/天，為傳染病開始流行的天數(shù)。,（1）什么時(shí)候人們患病速度最快？,（2）共有多少人患??？,.,解,（1）設(shè)在t時(shí)刻人們患病速度最快，由題意得,解得,解得,（2）設(shè)當(dāng)共有x人患病，由題意得,.,三、小結(jié),無窮限的廣義積分,無界函數(shù)的廣義積分,.,一、定積分應(yīng)用的微元法,二、用定積分求平面圖形的面積,三、用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積,第六節(jié)定積分的應(yīng)用,四、平面曲線的弧長,.,變力沿直線所做的功,已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路程,一、元素法（ElementMethod）,.,用定積分來計(jì)算的量A具有以下特點(diǎn)：,量A與函數(shù)f(x)及x的變化區(qū)間a,b有關(guān)。若f(x)常數(shù)，則A=f(x)(ba)。,量A對區(qū)間具有可加性。即：把a(bǔ)，b分成若干部分區(qū)間，則A相應(yīng)地被分成了許多部分量之和。,在區(qū)間a,b的任一個(gè)子區(qū)間x,x+x上，部分量Af(x)x。,.,設(shè)A是可用定積分表達(dá)的量，則計(jì)算量A的步驟為：,定積分的微元法,選擇函數(shù)f(x)，并確定自變量x的變化區(qū)間a,b;,在a,b內(nèi)考慮典型小區(qū)間x,x+dx，求出相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的部分量A的近似值f(x)dx。稱f(x)dx為量A的微元，記為dA=f(x)dx。,計(jì)算A=,應(yīng)用方向：,平面圖形的面積、體積及平面曲線的弧長；功、水壓力、引力和平均值等,.,二、用定積分求平面圖形的面積,用微元法將平面圖形的面積表示