徐州市高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.3.1導數(shù)在研究函數(shù)中的應用_單調(diào)性教案7蘇教版.docx

導數(shù)在研究函數(shù)中的應用單調(diào)性【教學目標】1通過實例，利用幾何畫板借助函數(shù)圖象直觀地引導學生探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，初步掌握利用導數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性。2在整體把握高中數(shù)學課程的理念下，通過初等方法與導數(shù)方法在研究函數(shù)單調(diào)性過程中的比較，讓學生不斷體會導數(shù)方法在研究函數(shù)單調(diào)性中的一般性和有效性。并在原有基礎上進一步加深對函數(shù)單調(diào)性的理解，同時感受和體會數(shù)學自身發(fā)展的一般規(guī)律。 3通過對導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程。同時，著重培養(yǎng)學生的合作、探究、積極努力等核心素養(yǎng)?！窘虒W重點】 導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應用【教學難點】 導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系的探究和發(fā)現(xiàn)，以及理論分析?！窘虒W方法】 教師啟發(fā)講授，學生探究學習【教學手段】 計算機、實物投影儀【教學過程】一、復習回顧，引入課題引言：函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的一個非常重要的性質(zhì)，刻畫了函數(shù)值隨自變量的變化而的變化情況，進而可以討論函數(shù)的最值或值域，甚至畫出函數(shù)的圖象。因此，今天我們再次來研究函數(shù)的單調(diào)性。揭示課題：單調(diào)性問題：函數(shù)單調(diào)性是如何定義的？學生：一般地，設函數(shù)的定義域為A，區(qū)間如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值，當時，都有，那么就說在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，I稱為的單調(diào)增區(qū)間。如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值，當時，都有，那么就說在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，I稱為的單調(diào)減區(qū)間。問題：如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？引例：確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間。學生練習，實物投影儀投影板書。設計意圖：以實際數(shù)學問題為載體，通過解決問題引導學生復習回顧已掌握的討論函數(shù)單調(diào)性的初等方法。學生：(1)圖象法：依性作圖，以圖識性。滲透數(shù)形結(jié)合思想。(2)定義法：取值、作差、變形、斷號、定論。滲透解題的規(guī)范意識。教師小結(jié)：運用定義或圖象討論函數(shù)的單調(diào)性都屬于初等方法，定義法就是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義，用數(shù)學符號語言來描述，過程比較嚴謹；圖象法就是利用圖形語言來描述，非常直觀。當然，我們還有以利用復合函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)加減運算的性質(zhì)等去判斷函數(shù)的單調(diào)性。問題：你們能利用這些初等方法討論研究所有函數(shù)的單調(diào)性嗎？大家能否找出一些反例?學生：有三次以上的函數(shù)、含對數(shù)的函數(shù)、含三角的函數(shù)等。教師：根據(jù)同學們的意見，列舉其中三個函數(shù)：(1)；（2）；（3）。問題：困難在哪里？學生：作差難以變形，圖象難以畫出。教師小結(jié)：對基本初等函數(shù)進行復合或運算后，例如上述函數(shù)判斷單調(diào)性，要么用定義法作差后變形非常困難，要么不能利用已有數(shù)學知識快速、準確地畫出圖象。設計意圖：讓學生在學習中遇到困難，探究新方法，培養(yǎng)好奇心，引入新課。讓學生隨意推薦函數(shù)，既可以激發(fā)學生學習的興趣，又第一次初步感受導數(shù)法研究單調(diào)性具有一般性和有效性。二、歸納探索，發(fā)現(xiàn)結(jié)論 1借助圖象，直觀感知當今社會科技發(fā)達，我們擁有非常先進的信息技術(shù)，今天我用幾何畫板作出上述函數(shù)的圖形。問題：根據(jù)上述連續(xù)函數(shù)的圖象，能判斷函數(shù)的單調(diào)性嗎？學生：函數(shù)（1）可以，而第（2）、（3）兩個函數(shù)不能，難以確定單調(diào)區(qū)間的分點。設計意圖：學生的困難是難以確定單調(diào)區(qū)間分界點的確切位置。通過討論，使學生感受到即使畫出函數(shù)圖象，用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，還需要尋找其它方法進行嚴密化、精確化的研究。問題：除了初等方法，還有其它的更為有效的方法來研究這些復雜函數(shù)的單調(diào)性嗎？函數(shù)單調(diào)性是對函數(shù)變化趨勢的一種刻畫，最近所學的數(shù)學知識中還有什么也可以刻畫函數(shù)變化的趨勢？如何刻畫的？學生：導數(shù)。函數(shù)的導數(shù)主要刻畫了函數(shù)在每一點處的瞬時變化率，反映了函數(shù)上升或下降的陡峭程度。問題：導數(shù)的幾何意義是什么？在某區(qū)間內(nèi)，伴隨著函數(shù)圖象切線的變化，導數(shù)值具有什么特征時，函數(shù)單調(diào)遞增；導數(shù)值又具有什么特征時，函數(shù)單調(diào)遞減？兩者有什么關(guān)聯(lián)？學生：對于函數(shù)（1）如果在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上增函數(shù)；（2）如果在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上減函數(shù)；（3）如果，那么為單調(diào)區(qū)間的分點。（備案）師生共同探究，分組討論，猜想出導數(shù)法的一般結(jié)論，板書結(jié)論。設計意圖：通過實例，借助幾何圖形的直觀，引導學生觀察、分析、總結(jié)和提煉出導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的密切關(guān)系，培養(yǎng)學生由特殊到一般的歸納總結(jié)能力。問題：雖然上述三個函數(shù)是由大家隨意找出的，但能代表所有連續(xù)可導函數(shù)嗎？也就是說上述結(jié)論具有一般性嗎？學生：（1）（2）對任何可導函數(shù)均成立，具有一般性；（3）當滿足時，不一定是分點。例如：雖然，但函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以不是分點。教師指出：上述結(jié)論是由上述三個特殊的函數(shù)圖象得到的，只是一種猜想，是否具有一般性，還需要嚴格的數(shù)學證明。設計意圖：觀察特殊函數(shù)圖象切線的變化，發(fā)現(xiàn)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，從而找出研究函數(shù)單調(diào)性的又一種方法導數(shù)法。2抽象思維，嚴密論證問題：對任意連續(xù)可導函數(shù)在區(qū)間上恒成立，幾何意義是什么？學生：函數(shù)圖象在區(qū)間上任意一點處切線的斜率都大于零。問題：要證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)定義就是要證明什么？學生：（1）任取,且,有成立； （2）任取，都有成立； （3）函數(shù)圖象在區(qū)間上連結(jié)任意兩點割線的斜率都大于零。教師指出：原來函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)也具有類似的幾何意義。問題：如果圖象連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，你能簡單說明理由嗎？ 學生分組討論。學生：讓經(jīng)過兩點的割線平行移動，與函數(shù)圖象相切，設切點為。因此得到教師指出：雖然還不是十分的嚴密，但分析過程已非常接近于嚴格的數(shù)學證明了，大家發(fā)現(xiàn)了連續(xù)可導函數(shù)在區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點的局部的瞬時變化率的關(guān)系。等式就是高等數(shù)學中的拉格朗日定理，法國數(shù)學家拉格朗日于1797年在其著作解析函數(shù)論的第六章提出了該結(jié)論，并進行證明，感興趣的同學課后可以做進一步的研究。上述結(jié)論就是導數(shù)在研究函數(shù)中的重要應用。補充完善課題：導數(shù)在研究函數(shù)中的應用單調(diào)性設計意圖：使學生明確猜想只是一種合情推理，判斷是否正確還必須經(jīng)過嚴格的數(shù)學證明。對證明上述結(jié)論的高等數(shù)學中的拉格朗日定理，采用中學生能夠接受的方式，用直觀的方法來分析和說明，培養(yǎng)學生嚴密的邏輯思維能力和意識。問題：該結(jié)論反之成立嗎？能舉反例嗎？學生：(1) 成立；(2)不成立。對于學生錯誤的回答，引導學生舉反例說明。例如：雖然函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，所以逆命題不真。設計意圖：把對導數(shù)法的認識由感性上升到理性認識的高度,第二次強化了導數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的一般性，培養(yǎng)學生嚴密的邏輯思維能力。三、掌握方法，適當延展例1.討論確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)；（2），（3）；1分析解決問題針對學生可能出現(xiàn)的問題，組織學生討論、交流。強調(diào)單調(diào)區(qū)間的區(qū)間形式、不能取并集等注意點。第（1）題教師板書過程；（2）、（3）小題學生板書。2歸納解題步驟引導學生分組討論，歸納導數(shù)法討論函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：確定定義域，求導數(shù)，解不等式，確定單調(diào)區(qū)間。 練習：1.利用導數(shù)法研究函數(shù) 的單調(diào)性2.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）討論函數(shù)的單調(diào)性。設計意圖：掌握導數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟，并與初等方法進行對比，第三次感受導數(shù)法對研究函數(shù)單調(diào)性的一般性和有效性。同時滲透極限的思想，為今后畫出函數(shù)圖象，研究函數(shù)的其它性質(zhì)打下基礎。四、歸納小結(jié)，提高認識問題：本節(jié)課你感受最深的是什么？學生交流本節(jié)課學習過程中的體會和收獲。課外探究：利用函數(shù)單調(diào)性，畫出函數(shù)的草圖。導數(shù)在研究函數(shù)中的應用單調(diào)性教學設計說明只有在整體把握高中數(shù)學課程的理念下，進行單元教學設計，充分尊重學生的認知規(guī)律、心理和生理發(fā)展特點，充分遵循高中數(shù)學內(nèi)在的知識結(jié)構(gòu)和邏輯思想體系，充分體現(xiàn)高中數(shù)學課程的整體性、規(guī)律性、結(jié)構(gòu)性和連續(xù)性，才能抓住事物的本質(zhì)，讓學生的數(shù)學知識和能力不斷呈現(xiàn)螺旋式上升，使教師的教和學生的學更輕松、更高效，也才能讓學生真正走進高中數(shù)學，感受數(shù)學的應用和文化價值，培養(yǎng)學生嚴格的邏輯思維能力、科學的思想和精神。一、教學內(nèi)容的分析函數(shù)的單調(diào)性是學生了解的函數(shù)的第一個性質(zhì)，是函數(shù)學習中第一個用數(shù)學符號語言刻畫的概念，在必修一中學生已掌握了用定義法和圖象法等初等方法研究函數(shù)的單調(diào)性。本章學生是在掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)和學習導數(shù)的概念和運算的基礎上，特別是了解導數(shù)的幾何意義的前提下，學會運用導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，為進一步研究函數(shù)的極值、最值，進而畫出函數(shù)的草圖，討論“恒成立問題”、“存在性問題”、“零點問題”等打下基礎，同時，也幫助學生了解函數(shù)整體的平均變化率與某點處的瞬時變化率的關(guān)系，進一步加深對函數(shù)單調(diào)性的理解。利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系的探索發(fā)現(xiàn)。高等數(shù)學是用極限思想給予嚴格的證明，而高中階段只能利用幾何意義，由特殊函數(shù)在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)導數(shù)值的特征來觀察、分析、歸納和總結(jié)規(guī)律，這種非常抽象的、由特殊到一般的發(fā)現(xiàn)式的猜想對學生來講是比較困難的；（2）由于導數(shù)法是由特殊函數(shù)的圖象觀察發(fā)現(xiàn)的，是否具有一般性，學生還存有疑問，如何進行理論分析、如何處理是一大難點。根據(jù)以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點。二、教學目標的確定在整體把握高中數(shù)學課程的理念下，根據(jù)本節(jié)課在整個高中數(shù)學教學大綱中的地位和教學要求、教材中的特點以及學生現(xiàn)有的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標。通過實例，利用幾何畫板借助函數(shù)圖象直觀地引導學生探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，初步掌握利用導數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性。在整體把握高中數(shù)學課程的理念下，通過初等方法與導數(shù)方法在研究函數(shù)單調(diào)性過程中的比較，讓學生不斷體會導數(shù)方法在研究函數(shù)單調(diào)性中的一般性和有效性。并在原有基礎上進一步加深對函數(shù)單調(diào)性的理解，同時感受和體會數(shù)學自身發(fā)展的一般規(guī)律。通過對導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程。同時，著重培養(yǎng)學生的合作、探究、積極努力等核心素養(yǎng)。三、教學方法和教學手段的選擇本節(jié)課是導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的第一節(jié)課，采用教師啟發(fā)引導，學生觀察、總結(jié)的教學方法，通過創(chuàng)設情境，引導探究，師生交流，最終發(fā)現(xiàn)結(jié)論，獲得方法。本節(jié)課使用了多媒體實物投影和計算機來輔助教學，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對抽象數(shù)學問題的理解和認識。四、教學過程的設計為達到本節(jié)課在整個高中數(shù)學課