橢圓基礎(chǔ)知識與練習(xí).doc

橢 圓一、知識精析與點(diǎn)撥（一）橢圓的定義1、第一定義：平面上，與兩個定點(diǎn)F1、F2距離之和為常數(shù)（大于| F1F2|）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓。兩個定點(diǎn)F1、F2稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)間的距離稱為焦距。2、第二定義：平面上到一個定點(diǎn)F（c，0）的距離與到一定直線L：x= 的距離之比為常數(shù)e（0eb0)=1(ab0)一般方程Ax2Cy2=F(A、C、F同號)中心O（0，0）O（0，0）參數(shù)方程x= acosy= bsinx= bcosy= asin長軸長2a2a短軸長2b2b焦距2c2c離心率e = e = 基本量的關(guān)系a2=b2c2，e = ，= a2=b2c2，e = ，= 頂點(diǎn)（a，0）（0，b）（b，0）（0，a）焦點(diǎn)（c，0）(0，c)準(zhǔn)線方程x = y = 準(zhǔn)線距焦準(zhǔn)距p = p = M(x0，y0)的焦點(diǎn)半徑r左= aex0r右= aex0r下= aex0r上= aex0通徑長對稱軸方程x=0，y =0x=0，y =0（三）橢圓參數(shù)的幾何意義，如下圖所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=，=e；（2）,；（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；（4）|F1K1|=|F2K2|=p=，（四）點(diǎn)、直線與橢圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)P（x0，y0）和橢圓=1（ab0）的關(guān)系（1）點(diǎn)P在橢圓內(nèi)（含焦點(diǎn)）1（其中ab0）2、直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系也可通過討論直線方程與橢圓方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個數(shù)來確定，通常消去方程組中變量y（或x）得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，考慮該方程的判別式，則有：（1）0直線與橢圓相交于兩點(diǎn)；設(shè)AB為橢圓=1的弦，A（x1，y1），B（x2，y2），弦中點(diǎn)M（x0，y0），則弦長|AB|=|x2x1|=|y2y1|(kAB0)； (其中kAB =；|x2x1|=;|y2y1|=)直線AB的方程為yy0=(xx0) ；線段AB的垂直平分線方程為yy0=(xx0)；焦點(diǎn)弦：AB為橢圓=1的焦點(diǎn)弦的長|AB|左=e（x1x2）2a（或|AB|右=2a e（x1x2），通徑長為（其中ab0）（2）=0直線與橢圓相切；設(shè)M（x0，y0）為橢圓=1上的點(diǎn)，則以M為切點(diǎn)的切線方程為=1；設(shè)M（x0，y0）為橢圓=1外的點(diǎn)，則過M引橢圓的切線，切點(diǎn)弦所在直線的方程為=1（其中ab0）橢圓與直線相切的條件是。設(shè)切線的斜率為K，則橢圓的切線方程為（3）c0)的點(diǎn)的軌跡 是左半個橢圓D到定直線和定點(diǎn)F(c，0)的距離之比為(ac0)的點(diǎn)的軌跡是橢圓2若橢圓的兩焦點(diǎn)為（2，0）和（2，0），且橢圓過點(diǎn)，則橢圓方程是（ ）ABCD3若方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）A（0，+） B（0，2） C（1，+） D（0，1）4設(shè)定點(diǎn)F1（0，3）、F2（0，3），動點(diǎn)P滿足條件，則點(diǎn)P的軌跡是A橢圓 B線段 C不存在D橢圓或線段5橢圓和具有（ ）A相同的離心率 B相同的焦點(diǎn)C相同的頂點(diǎn) D相同的長、短軸6若橢圓兩準(zhǔn)線間的距離等于焦距的4倍，則這個橢圓的離心率為（ ）ABCD 7已知是橢圓上的一點(diǎn)，若到橢圓右準(zhǔn)線的距離是，則點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是 ABCD8橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是（ ） A3BCD9在橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P（1，1），F(xiàn)為橢圓右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使|MP|+2|MF|的值最小，則這一最小值是（ ）A BC3 D410過點(diǎn)M（2，0）的直線m與橢圓交于P1，P2，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線m的斜率為k1（），直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為（ ）A2B2CD二、填空題（本題共4小題，每小題6分，共24分）11離心率，一個焦點(diǎn)是的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ .12與橢圓4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦點(diǎn),且過點(diǎn)(3，)的橢圓方程為_13已知是橢圓上的點(diǎn)，則的取值范圍是_ 14已知橢圓的短軸長為6，焦點(diǎn)到長軸的一個端點(diǎn)的距離等于，則橢圓的離心率等于_三、解答題（本大題共6題，共76分）15已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，離心率，短軸長為，求橢圓的方程(12分) 16已知A、B為橢圓+=1上兩點(diǎn)，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，若|AF2|+|BF2|=a，AB中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距離為，求該橢圓方程(12分)17過橢圓引兩條切線PA、PB、A、B為切點(diǎn)，如直線AB與x軸、y軸交于M、N兩點(diǎn)（1）若，求P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線AB的方程（用表示）；（3）求MON面積的最小值（O為原點(diǎn)）(12分)18橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的值；（2）若橢圓的離心率滿足，求橢圓長軸的取值范圍.(12分)19一條變動的直線L與橢圓+=1交于P、Q兩點(diǎn)，M是L上的動點(diǎn)，滿足關(guān)系|MP|MQ|=2若直線L在變動過程中始終保持其斜率等于1求動點(diǎn)M的軌跡方程，并說明曲線的形狀（14分）20橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn) .（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程；（3）設(shè)（），過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明.（14分）參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）題號12345678910答案DDDAADBDCD二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）11 12 13 14三、解答題（本大題共6題，共76分）15(12分) 解析:由 ，橢圓的方程為：或.16(12分) 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由焦半徑公式有aex1+aex2=，x1+x2=，即AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，又左準(zhǔn)線方程為，即a=1，橢圓方程為x2+y2=117(12分)解析：（1） OAPB的正方形 由 P點(diǎn)坐標(biāo)為（）（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）則PA、PB的方程分別為，而PA、PB交于P（x0，y0）即x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，AB的直線方程為：x0x+y0y=4（3）由、 當(dāng)且僅當(dāng).18（12分）解析：設(shè)，由OP OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 又將，代入化簡得 . (2) 又由（1）知，長軸 2a .19(14分)解析：設(shè)動點(diǎn)M(x，y)，動直線L：y=x+m，并設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)是方程組的解，消去y，得3x2+4mx+2m24=0，其中=16m212(2m24)0，m，且x1+x2=，x1x2=，又|MP|=|xx1|，|MQ|=|xx2|由|MP|MQ|=2，得|xx1|xx2|=1，也即|x2(x1+x2)x+x1x2|=1，于是有m=yx，|x2+2y24|=3由x2+2y24=3，得橢圓夾在直線間兩段弧，且不包含端點(diǎn)由x2+2y24=3，得橢圓x2+2y2=120(14分) 解析：（1）由題意