內(nèi)蒙古呼倫貝爾高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《計(jì)數(shù)原理》課件

第九模塊計(jì)數(shù)原理,考綱要求1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.能用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分析、解決一些簡單的實(shí)際問題.3.理解排列的概念,掌握排列數(shù)公式,能用排列知識(shí)解決有關(guān)的實(shí)際問題.4.理解組合的意義,掌握組合數(shù)公式和組合數(shù)的性質(zhì)、能解決一些簡單的實(shí)際問題.,5.能區(qū)別排列與組合的異同,能綜合應(yīng)用排列、組合知識(shí)解決一些簡單的實(shí)際問題.6.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理,掌握二項(xiàng)式定理及其性質(zhì).7.能用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題,特別是求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)及其系數(shù).,命題走向1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列、組合與概率聯(lián)系十分密切,它是求古典型概率、離散型隨機(jī)變量分布列的基礎(chǔ),是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,統(tǒng)計(jì)2009年全國及各省市命題,總有一小題是對(duì)排列、組合應(yīng)用的考查.對(duì)于概率的解答題中,用排列、組合知識(shí)作答的占多數(shù).,2.二項(xiàng)式定理也是必考內(nèi)容之一,以小題的形式出現(xiàn),屬于容易題或中檔題,主要考查求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)或二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).,第五十五講計(jì)數(shù)原理,走進(jìn)高考第一關(guān)考點(diǎn)關(guān)回歸教材,1.分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事,可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種方法,在第二類辦法中有m2種方法,在第n類辦法中有mn種方法.那么,完成這件事共有N=m1+m2+mn種方法.也稱加法原理.,2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟,缺一不可,做第一步有m1種方法,做第二步有m2種方法,做第n步有mn種方法.那么,完成這一件事共有N=m1m2mn種方法.也稱乘法原理.,考點(diǎn)訓(xùn)練1.(2009全國)甲組有5名男同學(xué)、3名女同學(xué);乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué).若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué),則選出的4個(gè)中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有()A.150種B.180種C.300種D.345種,答案:D,2.(2009北京卷)用0到9這10個(gè)數(shù)字,可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.324B.328C.360D.648,答案:B,解析:個(gè)位數(shù)字是0時(shí),有98個(gè),個(gè)位數(shù)字是2,4,6,8中的一個(gè)時(shí),有88個(gè).適合題意的三位偶數(shù)有98+488=328個(gè).,3.(2008全國)如圖,一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四塊.現(xiàn)有4種不同的花供選種,要求在每塊里種1種花,且相鄰的2塊種不同的花,則不同的種法總數(shù)為()A.96B.84C.60D.48,解析:A花壇可種4種,則B可種3種.當(dāng)C與A種相同的花時(shí),C有1種,D有3種;當(dāng)C與A種不同的花時(shí),C有2種,D有2種.綜上可知,共有43(13+22)=84(種).,答案:B,4.(2008安徽卷)12名同學(xué)合影,站成了前排4人后排8人,現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排,若其他人的相對(duì)順序不變.則不同調(diào)整方法的總數(shù)是(),答案:C,5.(2009天津預(yù)測(cè))某書店有11種雜志,2元1本的8種,1元1本的3種,小張用10元錢買雜志(每種至多買一本10元錢剛好用完),則不同買法的種數(shù)是_.(用數(shù)字作答),266,解讀高考第二關(guān)熱點(diǎn)關(guān)題型一分類計(jì)數(shù)原理,例1三邊長均為整數(shù),且最大邊長為11的三角形有多少個(gè)、分析:在三角形中,兩短邊長的和大于最長的邊,本題可按一邊長的取值分類求解.,解:三角形另兩邊的長分別用x,y表示,且不防設(shè)1xy11,要構(gòu)成三角形,必須x+y12,當(dāng)y取值11時(shí),x=1,2,11,可有11個(gè)三角形.當(dāng)y取值10時(shí),x=2,3,10,可有9個(gè)三角形.當(dāng)y取值6時(shí),x也只能取6,這時(shí)只有一個(gè)三角形.所以,由分類計(jì)數(shù)原理,共有三角形的個(gè)數(shù)為11+9+7+5+3+1=36.,點(diǎn)評(píng):應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理時(shí),首先要依據(jù)題的特點(diǎn),確定恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),分類應(yīng)滿足:完成一件事的任何一種方法,必須屬于某一類且僅屬于這一類,即各類辦法相互獨(dú)立的,是互斥的.,變式1:已知集合A=x|xN,且x10,a,bA,方程,表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則這樣的橢圓的共有_.,解析:由題意知,a,b只能取1,2,10,且ab.因此可按a取10,9,3,2分為9類,共有適合題意的橢圓9+8+2+1=45(個(gè)).,答案:45個(gè),題型二分步計(jì)數(shù)原理例2(1)將4封信投入3個(gè)郵箱,有多少種投法?(2)5名運(yùn)動(dòng)員爭奪4項(xiàng)冠軍,有多少不同的結(jié)果?,解:(1)由于每封信都有3種不同的投法,4封信全部投入信箱中,共有3333=81(種)不同的投法.(2)每項(xiàng)冠軍都有5種不同的結(jié)果,因此5名運(yùn)動(dòng)員爭奪4項(xiàng)冠軍共有5555=625種不同的結(jié)果.,點(diǎn)評(píng):(1)應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理時(shí),首先確定分步的標(biāo)準(zhǔn),分布必須滿足:完成一件事必須而且只需連續(xù)完成這幾步,即各個(gè)步驟是相互依存的.只有各步驟都完成了,這件事才算完成.,(2)本例中最容易錯(cuò)解得到43和54,其原因沒弄清“誰選擇誰”的問題.如第(1)小題中,先投第一封信有3種投法,再投第二封信也有3種投法,投第三封、第四封仍有3種投法,應(yīng)分四步完成.由分步計(jì)數(shù)原理共有34種投法.,變式2:5名高中畢業(yè)生推薦報(bào)考3所重點(diǎn)院校,每人限報(bào)且只報(bào)一所院校,則不同的報(bào)考方法有()A.10種B.60種C.125種D.243種,解析:每一位高中畢業(yè)生都有3種選擇,因此共有33333=243種.,答案:D,題型三分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用,例3設(shè)集合U=1,2,3,4,5,選擇U的兩個(gè)非空子集A和B,要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù),則不同的選擇方法共有多少種,第四類有1種選法,分兩組有4種分法.綜上知,不同的選擇方法共有101+102+53+14=49(種).,點(diǎn)評(píng):對(duì)于較復(fù)雜的問題,需兩個(gè)計(jì)數(shù)原理合用、一般情況下是先分類再分步,如本例.,變式3:在一塊并排10壟的田地中,選擇2壟分別種植A、B兩種作物,每種作物種植一壟,為有利于作物生長,要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟,則不同的選擇方法共有多少種?,解:按選壟方法分為3類:第一類,A、B間隔6壟,可選1和8,2和9,3和10壟,每種選法有2種種植方法.因此有32=6種方法;第二類,A、B間隔為7壟,可選1和9或2和10壟,因此共有22=4種方法;第三類,A、B間隔為8壟,只有1和10壟,因此只有12=2種方法、綜上知,共有6+4+2=12種選擇方法.,笑對(duì)高考第三關(guān)技巧關(guān),窮舉法解決排列、組合問題當(dāng)所涉及問題結(jié)果的數(shù)目不大時(shí),往往可以采用窮舉法來解決,其本質(zhì)仍是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.,典例某電腦用戶計(jì)劃使用不超過500元的資金,購買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤,根據(jù)需要軟件至少買3張,磁盤至少買兩盒,則不同的選購方式有多少種?,解:可分如下幾種情況進(jìn)行列舉:(1)買3張軟件,余額500-603=320(元),320可以再買盒裝磁盤2盒,3盒,4盒,有3種不同的選購方式.(2)買4張軟件,余額500-460=260(元),260元可以購買2盒,3盒磁盤,有2種不同的選購方式.,(3)買5張軟件,金額500-605=200(元),200元只能購買2盒磁盤,有1種購買方式.(4)買6張軟件,余額500-606=140(元),這140元還可以購買2盒磁盤,有1種購買方式.綜上可知,共有3+2+1+1=7種不同的購買方式.,考向精測(cè)1.某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)則是:勝一場,得3分;平一場,得1分;負(fù)一場,得0分.一球隊(duì)打完15場,積分33分,若不考慮順序.該隊(duì)勝,負(fù),平的情況有()A.3種B.4種C.5種D.6種,解析:分類窮舉法:勝11場負(fù)4場;勝10場,平3場,負(fù)2場;勝9場,平6場.共3種情況.,答案:A,2.同時(shí)拋擲兩顆骰子,向上的兩個(gè)數(shù)字之和不小于10的情況有_種.,解析:列舉法:甲,乙兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)記為(4,6),(5,5),(5,6),(6,6),(6,5),(6,4)共6種.,6,課時(shí)作業(yè)(五十五)計(jì)數(shù)原理,一、選擇題1.正12邊形的對(duì)角線的條數(shù)是()A.66B.54C.108D.132,答案:B,2.某電話局的電話號(hào)碼為168,若后面的五位數(shù)字是由3或8組成的,則這樣的電話號(hào)碼一共有()A.20個(gè)B.25個(gè)C.32個(gè)D.60個(gè),解析:每位數(shù)字可由3或8組成的,可分五步完成,每一步都有兩種方法,因此共有25=32(個(gè)).,答案:C,3.(2007全國高度)5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組,每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組,則不同的報(bào)名方法共有()A.10種B.20種C.25種D.32種,答案:D,4.(2007山東高考)已知集合A=5,B=1,2,C=1,3,4,從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo),則確定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.33B.34C.35D.36,答案:A,5.某同學(xué)逛書店發(fā)現(xiàn)了三本喜愛的書,決定至少買其中的一本,則購買方法有()A.3種B.6種C.7種D.9種,答案:C,解析:買其中一本有3種方法;買其中兩本有3種方法;買三本有1種方法,因此共有3+3+1=7(種).,二、填空題6.某同學(xué)把英語單詞“book”的順序?qū)戝e(cuò)了,則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤有_種.,解析:4個(gè)字母的全排列有4!=24,其中有兩個(gè)相同的字母o,交換不變,因此共有寫法24=12(種),其中只有一種是正確的.故錯(cuò)誤的有11種.,11,7.在書柜的一層上有6本書,現(xiàn)要插入3本書,且保持原有6本書的相對(duì)順序不變,那么共有_種不同的排列方法(用數(shù)字作答).,解析:依次插入第一本,第二本,第三本,共有789=504(種).,504,8.現(xiàn)要排一份5天的值班表,每天有一個(gè)人值班,共有5個(gè)人,每個(gè)人可以值多天或不值班,但相鄰兩天不能同一個(gè)人值班,問此值班表有_種不同的排法.,解析:先安排第一天,有5種排法,以后每天均有4種排法,由分步乘法原理得,54444=1280(種),1280,9.甲、乙兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是60,則甲、乙兩數(shù)的公約數(shù)共有_個(gè).,解析:60=2235,甲、乙兩數(shù)的公約數(shù)形如:2m,3n,5p,其中m0,1,2,n0,1,P0,1.所以公約數(shù)共有322=12(個(gè)).,12,三、解答題10.在兩位自然數(shù)中,十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字的有多少個(gè)？,解:當(dāng)十位上的數(shù)字分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9時(shí),相應(yīng)的兩位數(shù)有1個(gè),2個(gè),3個(gè),4個(gè),5個(gè),6個(gè),7個(gè),8、由分類加法計(jì)數(shù)原理知,符合題意的兩位數(shù)共有:1+2+3+4+5+6+7+8=36個(gè).,11.用五種不同的顏色給圖中四個(gè)區(qū)域涂色,每個(gè)區(qū)域涂一種顏色.(1)共有多少種不同的涂色方法？(2)若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色,那么有多少種不同的涂色方法？,解:(1)由于1,2,3,4號(hào)區(qū)域各有5種涂色方法,依分步計(jì)數(shù)原理知,共有5555=625種涂法.(2)第一類:1號(hào)與4號(hào)區(qū)域同色時(shí),有5441=80種涂法;第二類:1號(hào)與4號(hào)區(qū)域不同色時(shí),有5433=180種涂法.因此共有80+180=260種不同的涂法.,12.用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字:(1)可以組成多少個(gè)三位數(shù);(2)可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)的三位數(shù);(3)可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)的三位奇數(shù);(4)可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的小于1000的自然數(shù).,解:(1)分三步:先確定百位數(shù)字,由于0不能作百位數(shù)字,因此有5種選法,十位數(shù)字有6種選法