函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件

.,第七節(jié)傅里葉級(jí)數(shù),二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù),三、正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù),一、三角級(jí)數(shù),三角函數(shù)系的正交性,.,一.三角級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交性,在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，接觸兩類基函數(shù)：函數(shù)在一點(diǎn)的性質(zhì)周期函數(shù)(整體性質(zhì))Fourier級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)表達(dá)周期函數(shù),.,諧波分析,稱為三角級(jí)數(shù).,簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng):,復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng):,得級(jí)數(shù),(一)三角級(jí)數(shù)表達(dá)周期函數(shù),.,1757年,法國(guó)數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽(yáng)引起的攝動(dòng)時(shí),大膽地采用了三角級(jí)數(shù)表示函數(shù):,1759年,拉格朗日在對(duì)聲學(xué)的研究中使用了三角級(jí)數(shù).,1777年,歐拉在天文學(xué)的研究中,用三角函數(shù)的正交性,得到了將函數(shù)表示成三角函數(shù)時(shí)的系數(shù).,也就是現(xiàn)今教科書中傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù).,.,在歷史上,三角級(jí)數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解微分方程,1753年.丹貝努利首先提出將弦振動(dòng)方程的解表示為,是分不開的.,三角級(jí)數(shù)的形式,這為傅立葉級(jí)數(shù)題奠定了物理基礎(chǔ),促進(jìn)了它的發(fā)展.,1822年,傅立葉在熱的解析理論一書中,對(duì)于歐拉和貝努利等人就一些孤立的,特殊的情形,采用的三角級(jí)數(shù)方法進(jìn)行加工處理,發(fā)展成一般理論.,傅立葉指出:,可以展開成級(jí)數(shù),.,其中,.,證:,同理可證:,正交,上的積分等于0.,即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,(二)、三角函數(shù)系的正交性,.,上的積分不等于0.,且有,但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù),問(wèn)題:,2.展開的條件是什么?,且能展開成三角級(jí)數(shù),.,(利用正交性),.,(利用正交性),.,傅里葉系數(shù),.,代入傅里葉系數(shù)的三角級(jí)數(shù)稱為傅里葉級(jí)數(shù),問(wèn)題:,在什么條件下函數(shù)可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)?,狄利克雷于1829年第一次對(duì)于傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性,給出了嚴(yán)格的證明.,得到了現(xiàn)今教科書中的所謂狄利克雷判定準(zhǔn)則.,.,定理(收斂定理,展開定理),設(shè)f(x)是周期為2的,周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:,1)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);,2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn),則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂,且有,x為間斷點(diǎn),其中,(證明略),為f(x)的傅里葉系數(shù).,x為連續(xù)點(diǎn),注意:函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.,簡(jiǎn)介目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,則有,則有,有,既,.,例1.,設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在,上的表達(dá)式為,解:先求傅里葉系數(shù),將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,1)根據(jù)收斂定理可知,時(shí),級(jí)數(shù)收斂于,2)傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近,說(shuō)明:,f(x)的情況見(jiàn)右圖.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,不同頻率正弦波逐個(gè)疊加成方波,物理意義,.,.,.,.,.,.,傅里葉級(jí)數(shù)展開式的意義函數(shù)的整體逼近.,.,解,所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,例2,.,.,.,非周期函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù),并且滿足收斂定理的條件，,可利用周期的延拓展開成傅里葉級(jí)數(shù)，,.,周期延拓,傅里葉展開,上的傅里葉級(jí)數(shù),定義在,上的函數(shù)f(x)的傅氏級(jí)數(shù)展開法,其它,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,例3.將函數(shù),級(jí)數(shù).,則,解:將f(x)延拓成以,展成傅里葉,2為周期的函數(shù)F(x),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,物理意義,不同頻率余弦波逐個(gè)疊加成鋸齒波,.,利用此傅氏展開式求幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和,.,.,例4.將函數(shù),展成傅里葉級(jí)數(shù),其中E為正常數(shù).,解:,延拓成以2為周期的函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,例5,解,.,三、正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)1.奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),.,證,奇函數(shù),同理可證(2),偶函數(shù),證畢,.,定義,.,解,所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,例,.,和函數(shù)圖象,.,.,觀察兩函數(shù)圖形,.,2.在0,上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù),周期延拓F(x),f(x)在0,上展成,周期延拓F(x),余弦級(jí)數(shù),奇延拓,偶延拓,正弦級(jí)數(shù),f(x)在0,上展成,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,例1.將函數(shù),分別展成正弦級(jí),數(shù)與余弦級(jí)數(shù).,解:先求正弦級(jí)數(shù).,去掉端點(diǎn),將f(x)作奇周期延拓,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,注意:,在端點(diǎn)x=0,級(jí)數(shù)的和為0,與給定函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,因此得,f(x)=x+1的值不同.,.,.,再求余弦級(jí)數(shù).,將,則有,作,偶周期延拓,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,說(shuō)明:令x=0可得,即,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,.,內(nèi)容小結(jié),1.周期為2的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及收斂定理,其中,注意:若,為間斷點(diǎn),則級(jí)數(shù)收斂于,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,2.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),奇函數(shù),正弦級(jí)數(shù),偶函數(shù),余弦級(jí)數(shù),3.在0,上函數(shù)的傅里葉展開法,作奇周期延拓,展開為正弦級(jí)數(shù),作偶周期延拓,展開為余弦級(jí)數(shù),1.在0,上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎?,答:不唯一,延拓方式不同級(jí)數(shù)就不同.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,思考與練習(xí),.,傅里葉(17681830),法國(guó)數(shù)學(xué)家.,他的著作熱的解析,理論(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性,書中系統(tǒng)的運(yùn)用了三角級(jí)數(shù)和,三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅,里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分.,最卓越的工具.,以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的,文獻(xiàn),他深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題,傅里葉分析對(duì)近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展,都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.,.,狄利克雷(18051859),德國(guó)數(shù)學(xué)家.,對(duì)數(shù)論,數(shù)學(xué)分析和,數(shù)學(xué)物理有突出的貢獻(xiàn),是解析數(shù)論,他是最早提倡嚴(yán)格化,方法的數(shù)學(xué)家.