第4章 平面問(wèn)題有限單元法2

.,李建宇天津科技大學(xué),工程中的有限元方法,FiniteElementMethodinEngineering,內(nèi)容平面問(wèn)題的有限元法23形函數(shù)的性質(zhì)4整體剛度矩陣的組裝及其性質(zhì)5等效節(jié)點(diǎn)載荷向量要求理解：連續(xù)體有限元分片插值的含義；形函數(shù)的功能及其性質(zhì)；基于虛功方程的整體剛度矩陣的組裝；基于虛功方程的等效節(jié)點(diǎn)載荷向量的生成掌握：常應(yīng)變?nèi)切螁卧M裝技術(shù)；常應(yīng)變?nèi)切螁卧刃Ч?jié)點(diǎn)載荷向量的生成課后作業(yè)推導(dǎo)常應(yīng)變?nèi)切螁卧倓偤偷刃лd荷向量,.,回顧,連續(xù)體有限元分析的基本流程,整體離散,單元分析,單元組裝,整體解算,連續(xù)體結(jié)構(gòu),.,離散化方法,回顧,幾何實(shí)體的逼近性離散,.,三角形單元分析,回顧,目標(biāo)：對(duì)三角形單元，建立節(jié)點(diǎn)位移與等效節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。,？,.,回顧,三角形單元分析,單元分析的流程,解決辦法：插值(分片插值的提法),形函數(shù)矩陣,.,形函數(shù)（shapefunction）及其性質(zhì),回顧,下標(biāo)i,j,m輪換,性質(zhì)：,其中：,（a）Ni(x,y)在i點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移為1，其它節(jié)點(diǎn)為0。,（b）單元中任一點(diǎn)各形函數(shù)的和為1。,力學(xué)意義：固定j，m節(jié)點(diǎn)，使i節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移1，則單元內(nèi)各點(diǎn)的位移場(chǎng)為Ni(x,y)。,力學(xué)意義：令單元發(fā)生剛體位移u0，則單元內(nèi)各點(diǎn)的位移均為u0，即,.,單元分析流程,回顧,解決辦法：彈性力學(xué)幾何方程,B矩陣稱為應(yīng)變矩陣,得,代入,該單元為常應(yīng)變單元,.,單元分析流程,回顧,解決辦法：彈性力學(xué)物理方程,得,代入,S矩陣稱為應(yīng)力矩陣。,.,例：對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題,代入,得,其中,.,單元分析流程,回顧,解決辦法：?jiǎn)卧胶夥治?平面問(wèn)題虛功原理,代入,得,內(nèi)力虛功,外力虛功,外力虛功內(nèi)力虛功,單元?jiǎng)偠确匠?.,單元?jiǎng)偠确匠探⒘藛卧墓?jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，稱為單元?jiǎng)偠染仃嚒Ｋ?6矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。,.,一、單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì),已經(jīng)求出了下列關(guān)系,.,一、單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì),節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系：(以簡(jiǎn)單平面桁架為例)平面問(wèn)題中，離散化的單元組合體極為相似，單元組合體在節(jié)點(diǎn)載荷的作用下，節(jié)點(diǎn)對(duì)單元、單元對(duì)節(jié)點(diǎn)都有作用力與反作用力存在，大小相等方向相反，統(tǒng)稱為節(jié)點(diǎn)力。節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系為單元?jiǎng)偠确匠蹋?.,一、單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì),單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x：將寫成分塊矩陣寫成普通方程其中表示節(jié)點(diǎn)s(s=i,j,m)產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)r(r=i,j,m)上所需要施加的節(jié)點(diǎn)力的大小。,.,一、單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì),單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x：將節(jié)點(diǎn)力列向量與節(jié)點(diǎn)位移列向量均擴(kuò)展成(61)階列矩陣，單元?jiǎng)偠染仃囅鄳?yīng)地展開成(66)階方陣：元素K的腳碼，標(biāo)有“-”的表示水平方向，沒有標(biāo)“-”的表示垂直方向。,.,一、單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì),單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨母髟氐奈锢硪饬x：表示節(jié)點(diǎn)s(s=i,j,m)在水平方向、垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)r(r=i,j,m)上分別所要施加的水平節(jié)點(diǎn)力和垂直節(jié)點(diǎn)力的大小。例如表示節(jié)點(diǎn)j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i所需要施加的水平節(jié)點(diǎn)力的大小。,.,一、單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì),單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)：1)對(duì)稱性：是對(duì)稱矩陣2)奇異性：是奇異矩陣單元?jiǎng)偠染仃囁衅鏀?shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和也為零。（力學(xué)含義是什么？）由此可見，單元?jiǎng)偠染仃嚫髁性氐目偤蜑榱恪Ｓ蓪?duì)稱性可知，各行元素的總和也為零。,.,一、單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì),單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)：例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，設(shè),1、求B2、求D3、求S4、求,.,回顧,連續(xù)體有限元分析的基本流程,整體離散,單元分析,單元組裝,整體解算,連續(xù)體結(jié)構(gòu),.,二、單元組裝技術(shù),位移協(xié)調(diào)條件：各單元共享節(jié)點(diǎn)的位移相等,節(jié)點(diǎn)平衡條件：各單元內(nèi)力與節(jié)點(diǎn)外力構(gòu)成平衡力系,.,二、單元組裝技術(shù),以i點(diǎn)為例，利用虛功原理建立平衡方程，設(shè)虛位移,各單元i節(jié)點(diǎn)等效內(nèi)力的虛功為:,各單元i節(jié)點(diǎn)等效外力的虛功為:,二、單元組裝技術(shù),由單元?jiǎng)偠确匠蹋?對(duì)每一個(gè)單元，將i節(jié)點(diǎn)虛位移擴(kuò)展到單元全部節(jié)點(diǎn)，如，,則,Te表示節(jié)點(diǎn)位移提取矩陣,對(duì)i節(jié)點(diǎn)，有,同理，可建立其它節(jié)點(diǎn)的平衡方程。,.,二、單元組裝技術(shù),對(duì)i節(jié)點(diǎn)，有,將每一個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)位移（包括虛位移）擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)位移向量，如,則，,Te表示單元節(jié)點(diǎn)位移提取矩陣,.,二、單元組裝技術(shù),對(duì)所有節(jié)點(diǎn)，有,由虛位移的任意性，整理得,總體剛度矩陣,總體剛度方程,.,二、單元組裝技術(shù),總體剛度方程,等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量。,.,三、單元等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量,連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí)，為簡(jiǎn)化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點(diǎn)移置(分解)，而成為節(jié)點(diǎn)載荷。將載荷移置到節(jié)點(diǎn)上，必須遵循靜力等效的原則。靜力等效是指原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原則。,.,三、單元等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量,在線性位移模式下，對(duì)于常見的一些載荷，可以通過(guò)簡(jiǎn)單的虛功計(jì)算，得出所需的載荷列矩陣。,均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，把1/3的重力移到每個(gè)節(jié)點(diǎn),.,三、單元等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量,例：,總載荷的2/3移置到節(jié)點(diǎn)i，1/3移置到節(jié)點(diǎn)j，與原載荷同向,.,三、單元等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量,載荷向節(jié)點(diǎn)的移置，可以用普遍公式來(lái)表示。體力的移置分布面力的移置在線性位移模式下，用直接計(jì)算法簡(jiǎn)單