初中數(shù)學(xué)競賽中多元極值問題的常用解法.doc

初中數(shù)學(xué)競賽中多元極值問題的常用解法嘉積中學(xué)海桂學(xué)校 劉紅軍多元極值問題是初中數(shù)學(xué)競賽中的常見題型，此類問題有著極為豐富的內(nèi)涵，它涉及的知識面廣，綜合性強，解法頗具有技巧性，解答這類問題可以根據(jù)不同情況的具體特點，采取不同的方法，現(xiàn)以近年來的數(shù)學(xué)競賽題為例，介紹這類問題的常用解法，供大家參考.一、配方法：配方法是數(shù)學(xué)中的一種重要的方法，將已知代數(shù)式（等式）配方成若干個完全平方式的形式，結(jié)合非負(fù)性質(zhì)，問題常能順利解決.例1 設(shè),為實數(shù)，代數(shù)式的最小值為 .(2005年武漢CASIO選拔賽試題)分析與解:配方得:原式=顯然,當(dāng)時,原式有最小值-10.同類型試題: 設(shè),為實數(shù)，代數(shù)式的最小值為 .(第21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競賽試題),此題也可以用配方法來解決,最小值為3.二、消元法：把多個元素轉(zhuǎn)化為某一元素為主元，再結(jié)合已知條件，經(jīng)過合理的運算，使問題逐步簡化，便利求解.例2 已知,為整數(shù)，且，若，則：的最小值是： .(2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽決賽試題)分析與解：由，得 因為，為整數(shù)，所以，的最大值為1002于是，的最大值為5013例3 若，且x、y、z均為非負(fù)數(shù)，則的最大值為_.(2007年全國初中數(shù)學(xué)競賽海南賽區(qū)初賽試題)分析與解：由用x來表示y、z，得y=402x，z=x10，又由y0，z0，得解得10x20，又把y=402x，z=x10代入M=5x+4y+2z得，M=x+140，顯然M是關(guān)于x的一次函數(shù)，且M隨x增大而減小，所以當(dāng)x=10時，M的最大值為130.三、數(shù)形結(jié)合法: 數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.例4 已知,且則的最小值為（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）分析與解：這道題，初識實感無從下手，若將“式”轉(zhuǎn)化成“形則或輕松解.（如圖1）分別以、1和、2為直角邊，、為斜邊，構(gòu)造如圖1所示的兩個、。由圖形顯見，當(dāng)點C位于直線 AD上時，AC+AD最短，即的值最小.A GB C ED21圖 1于是過點A作AG垂直DE的延長線交于G點，則四邊形ABEG是矩形，又在中，DG=3，AG=5， 斜邊AD=， 由勾股定理可得：AD= 故應(yīng)選擇D。同類型試題: 已知,均為正數(shù)，且，求的最小值(2003年北京市初二數(shù)學(xué)競賽試題),此題也可以用此方法來解決,最小值為.四、均值代換法：在數(shù)學(xué)問題中，出現(xiàn)條件時，我們常作代換，這種代換稱為均值代換.例5 若,均為正數(shù),且,求的最小值.分析與解:由,設(shè): ,則= 當(dāng)時，即時，此時，原式有最小值：.五、和差代換法：對于任意的實數(shù),，總有 ，若令則有：，這種代換稱為和差代換.例6 已知實數(shù)滿足，那么t的取值范圍是 _.分析與解:設(shè),把它們代入 中，得： 化簡得: 因為: 即：六、參數(shù)法：參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題.例7 若，則可取的最小值為（ ）（2003年武漢選拔試題）A. 3B. C. D. 6解：設(shè) 則所以 當(dāng)時 的值最小為，應(yīng)選B七、整體設(shè)元法：就是把一些看似彼此獨立而實質(zhì)是緊密相聯(lián)系的量看成一個整體去設(shè)元、列式、變形、消元、代入和求值等.例8 已知,為實數(shù)，那么的最小值是 分析與解：本題要直接求出所求式子的值很困難，故可以采取整體設(shè)元，巧妙運用二元一次方程的根的判別式來解決，思路就顯得非常簡捷.設(shè)=,將等式整理成關(guān)于為主元的二次方程,得為實數(shù) 即 就是 ,當(dāng)時,有.故當(dāng)時, 有最小值,即代數(shù)式有最小值是-1.八、利用函數(shù)的性質(zhì)：借助二次（一次）函數(shù)的增減性，并注意自變量的取值范圍，可使問題迎刃而解.例9 已知，且，求的最小值.( 2004年“TRULY信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)分析與解:將已知等式兩邊平方得 整理可得: 又 ,得.故=此為關(guān)于的二次函數(shù),且開口向上,對稱軸為=2 ,又由于,知當(dāng)時, 取得最小值