高中物理競賽-天體部分習(xí)題精選.doc

1.試證明質(zhì)量均勻、厚度均勻的球殼內(nèi)一質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力為零.證明 設(shè)球殼單位面積質(zhì)量為,殼內(nèi)P點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)m,如圖4-17所示,球殼上取一小面元S,距P為r,過此面元邊界與P連接并延長,在球殼上又取下對應(yīng)面元S,距P為r,可得S與S對質(zhì)點(diǎn)m的總?cè)f有引力F為OPOPF=F- F. 圖4-17F=G - G=Gm( - ).從圖中可得 - .因?yàn)镾和S很小,所以S=S,S=S,即 =.這樣可得 F=0.所以 F=0.2.兩個(gè)質(zhì)量為1.0g的質(zhì)點(diǎn)相距10m.開始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)相對靜止，且其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)固定.如果它們之間只有萬有引力作用，問：無初速釋放一個(gè)質(zhì)點(diǎn)后，經(jīng)過多長時(shí)間它們相碰？TA解 設(shè)想m繞m做半徑為l的圓周運(yùn)動，m為圓心.由于兩質(zhì)點(diǎn)只有萬有引力作用，故可視為m做類似于太陽系行星的運(yùn)動.設(shè)m在A點(diǎn)速度減小，開始沿虛線做橢圓運(yùn)動，m為焦點(diǎn)，如圖4-18所示.設(shè)圓運(yùn)動和橢圓運(yùn)動的周長分別為T和T，圓半徑和橢圓半長軸分別為l和l，由開普勒第三定律有 Tl= 圖4-18當(dāng)m在A點(diǎn)的速度減為零時(shí)，有l(wèi)，則m從A運(yùn)動到m的時(shí)間t=.又因?yàn)閙做圓周運(yùn)動時(shí)，受向心力F=ml作用，故=. 由 、兩式得T=2（l），所以t=()=1.3610s.3.求半徑為R的液態(tài)行星中心處壓強(qiáng)，假設(shè)液態(tài)不可壓縮且密度為.若R=6.410m，=1.710kg/m，計(jì)算此壓強(qiáng)。解 將行星球體分成大量厚r的薄球?qū)?不難證明：各層對該層內(nèi)微粒萬有引力之和等于零.為此研究小頂角的圓錐，其中含有質(zhì)量為m的微粒.圓錐從球?qū)由戏殖雒娣e分別為S和S兩部分（圖4-19）.若球?qū)訂挝幻娣e表面攤有物質(zhì)的質(zhì)量為，則S和S部分對質(zhì)量m的萬有引力O分別為 但是,式中：為圓錐頂點(diǎn)O處立體角.作OM=OA和OM=OA，所以O(shè)AM=OAM. 圖4-19此外，OAB=OAB.因?yàn)?OAB-OAM，=OAB-OAM，所以=，因此，=.結(jié)果F =F，這兩個(gè)力彼此相互平衡.對球?qū)悠渌糠诌M(jìn)行類似研究，我們證明了前面作出的結(jié)論.體積Sr元層所受指向行星中心的引力為.式中：r是從此元層到行星的距離.由此求出厚r部分壓強(qiáng)的增加為.于是在離行星中心距離r處的壓強(qiáng)為.由于等于圖像y=r與軸r所圍圖形面積，所以，因而.取行星表面處壓強(qiáng)等于零，得到.在行星中心處（r=0）壓強(qiáng)等于.代入和R數(shù)值，得到P1.610N/m.4.使航天器飛越太陽系的設(shè)計(jì)方案之一，建議使用面積S=1km的太陽帆，當(dāng)航天器繞太陽沿半徑R=1.510km的地球軌道運(yùn)行時(shí)，太陽帆展開.在隨后運(yùn)行中指令帆始終垂直太陽光線的方向，在地球軌道上太陽光壓強(qiáng)為p=10pa.問：（1）當(dāng)航天器質(zhì)量多少時(shí)它可以飛離太陽系？（2）當(dāng)航天器質(zhì)量為多少時(shí)，它可以飛到半徑R=2.310km的火星軌道？不考慮地球以及其他行星的引力影響.太陽質(zhì)量與萬有引力恒量的乘積等于MG=1.310km/s.解 （1）當(dāng)太陽帆張開時(shí)太陽引力和太陽壓強(qiáng)作用在航天器上，這兩個(gè)力的合力為F=G - pS = G - G= G可見，太陽光壓好像減少了太陽對航天器的引力.這個(gè)力結(jié)果是使太陽質(zhì)量不是M，而是某個(gè)減少后的等效質(zhì)量，即M= M- .我們利用引入的等效質(zhì)量，可以不考慮太陽光壓而進(jìn)一步解題.在質(zhì)量為M的物體的引力場里，航天器總機(jī)械能為E = mv - G.根據(jù)能量守恒定律，航天器在軌道任何一點(diǎn)機(jī)械能應(yīng)該等于E = mv- G，式中：v為航天器在離太陽距離R且當(dāng)帆張開時(shí)具有的速度。根據(jù)航天器在太陽引力作用下沿地球軌道運(yùn)動方程來求這個(gè)速度.m = G，即v = .由此可見，E = G ()= G ().如果E0,即在下面條件下0，航天器可以飛離太陽系。由此求出，當(dāng)航天器質(zhì)量為多少時(shí)這才可能實(shí)行。（2）設(shè)M為某一質(zhì)量m時(shí)，航天器與火星軌道相切，航天器能夠飛到火星軌道（穿過軌道）所具有的一切可能質(zhì)量m中，m是最大的.在這種情況下，航天器軌道是橢圓，其長半軸等于（R+R）（圖4-20），在切點(diǎn)航天器速度垂直于航天半徑矢量。根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有G = - G ，V - V = 2GM（ - ）.根據(jù)開普勒第二定律VR= VR，即圖4-20V= V.綜合上兩式并考慮到v= ，經(jīng)不太復(fù)雜代換后得到2 M R= M（R+ R），即2（M- ）R = M( R+ R）.由此求出航天器可以飛到火星軌道所具有的最大質(zhì)量m：m = 10kg.5. 質(zhì)量為400kg的宇宙飛船繞地球沿離地面高h(yuǎn)=200km的圓周軌道運(yùn)行.啟動火箭，發(fā)動機(jī)在短時(shí)間t內(nèi)工作，使宇宙飛船速度增加了v=10m/s，而運(yùn)行軌道變?yōu)闄E圓形，離地面最近距離h=200km，離地面最遠(yuǎn)距離h=234km.球在離地面最遠(yuǎn)距離處宇宙飛船的速度v為多少，火箭發(fā)動機(jī)牽引力F多大，工作時(shí)間t多長，消耗燃料質(zhì)量m多少以及火箭發(fā)動機(jī)的工作效率多大.飛船質(zhì)量的變化不計(jì).地球的半徑R6370km，地球的質(zhì)量M=610kg，萬有引力恒量G=6.6710Nm/kg，每秒消耗燃料m= = 1kg/s，噴氣流速度u=4000m/s.燃料和氧化劑的燃燒值為q=1.210J/kg.解 離地面最近點(diǎn)宇宙飛船速度v等于v= v + v .沿圓周軌道運(yùn)行速度v可以由下面方程求得 = .式中：R = R + h = 6.5710m .由此 v =代入數(shù)值，得到v = =7.80510m/s ,v=7.80510+10=7.81510m/s.根據(jù)動量守恒定律，有mvR= mvR所以在遠(yuǎn)點(diǎn)速度v為v=，式中：R = R + h = 6.60410m .代入數(shù)值，可得v= =7.77510m/s.根據(jù)動量守恒定律求得火箭發(fā)動機(jī)的牽引力FFt = mu，式中：m為在時(shí)間t內(nèi)火箭發(fā)動機(jī)噴出的氣體質(zhì)量，u為噴氣流速度.改寫這方程F = =.代入數(shù)值，得到F=4000=4N.發(fā)動機(jī)工作時(shí)間可以根據(jù)宇宙飛船動量的變化得到：Ft = mv，得：.消耗燃料和氧化劑的質(zhì)量m可以根據(jù)對于“飛船燃料物”系統(tǒng)動量守恒定律得到：，即.火箭發(fā)動機(jī)工作效率由下式確定：，式中P為發(fā)動機(jī)功率，Q為燃料燃燒時(shí)釋放的功率。由于，Q=mq，所以火箭發(fā)動機(jī)工作效率等于：木星*太陽遠(yuǎn)日點(diǎn)6.木星彗星族的形成粗略描述為下面.彗星從遙遠(yuǎn)處無初速“落”向太陽，并從木星不遠(yuǎn)處飛過（圖4-21）當(dāng)木星引力場對彗星的顯著影響消失后，它又在太陽引力場中運(yùn)行，并且它的速度方向與木星速度圖4-21方向相反.彗星新軌道的遠(yuǎn)日點(diǎn)位于木星軌道附近，即在離太陽為R=5.2天文單位處.試求此處彗星軌道的近日點(diǎn)將位于離太陽多遠(yuǎn)處.解 注意：太陽為巨重木星10倍，結(jié)果同太陽影響相比，木星引力范圍大小為其軌道半徑的10.并且彗星與木星實(shí)質(zhì)性相互作用時(shí)間，與木星運(yùn)轉(zhuǎn)周期以及彗星繞太陽運(yùn)行周期相比是不可比擬的短.因而，在這段時(shí)間內(nèi)彗星的攝動就算不了什么.所以我們把彗星的運(yùn)動分為三個(gè)獨(dú)立階段：（1）彗星從遙遠(yuǎn)處沿著指向太陽系方向，在太陽引力作用下運(yùn)行；（2）在木星引力場里“瞬間”掉轉(zhuǎn)頭來；（3）沿橢圓軌道繞太陽運(yùn)行（且可不必考慮木星的影響）.木星受到太陽（質(zhì)量為M）的引力作用而沿著圓周軌道運(yùn)行，其條件為.由此得到木星的速度.當(dāng)彗星飛近木星第一階段結(jié)束時(shí)，速度由能量守恒定律得出，即.木星和彗星兩星速度方向互相垂直，則彗星相對木星速度等于.