流體力學(xué)各無(wú)量綱數(shù)定義.doc

雷諾數(shù)：對(duì)于不同的流場(chǎng)，雷諾數(shù)可以有很多表達(dá)方式。這些表達(dá)方式一般都包括流體性質(zhì)（密度、黏度）再加上流體速度和一個(gè)特征長(zhǎng)度或者特征尺寸。這個(gè)尺寸一般是根據(jù)習(xí)慣定義的。比如說(shuō)半徑和直徑對(duì)于球型和圓形并沒(méi)有本質(zhì)不同，但是習(xí)慣上只用其中一個(gè)。對(duì)于管內(nèi)流動(dòng)和在流場(chǎng)中的球體，通常使用直徑作為特征尺寸。對(duì)于表面流動(dòng)，通常使用長(zhǎng)度。管內(nèi)流場(chǎng)對(duì)于在管內(nèi)的流動(dòng),雷諾數(shù)定義為:式中: 是平均流速 (國(guó)際單位: m/s) 管直徑(一般為特征長(zhǎng)度) (m) 流體動(dòng)力黏度(Pas或Ns/m) 運(yùn)動(dòng)黏度() (m/s) 流體密度(kg/m) 體積流量(m/s) 橫截面積(m)假如雷諾數(shù)的體積流率固定，則雷諾數(shù)與密度（）、速度的開(kāi)方（）成正比；與管徑（）和黏度（）成反比假如雷諾數(shù)的質(zhì)量流率（即是可以穩(wěn)定流動(dòng)）固定，則雷諾數(shù)與管徑（）、黏度（）成反比；與速度（）成正比；與密度（）無(wú)關(guān)平板流對(duì)于在兩個(gè)寬板(板寬遠(yuǎn)大于兩板之間距離)之間的流動(dòng),特征長(zhǎng)度為兩倍的兩板之間距離。流體中的物體對(duì)于流體中的物體的雷諾數(shù),經(jīng)常用Rep表示。用雷諾數(shù)可以研究物體周?chē)牧鲃?dòng)情況，是否有漩渦分離，還可以研究沉降速度。流體中的球?qū)τ谠诹黧w中的球，特征長(zhǎng)度就是這個(gè)球的直徑，特征速度是這個(gè)球相對(duì)于遠(yuǎn)處流體的速度，密度和黏度都是流體的性質(zhì)。在這種情況下，層流只存在于Re=0.1或者以下。 在小雷諾數(shù)情況下，力和運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系遵從斯托克斯定律。攪拌槽對(duì)于一個(gè)圓柱形的攪拌槽，中間有一個(gè)旋轉(zhuǎn)的槳或者渦輪，特征長(zhǎng)度是這個(gè)旋轉(zhuǎn)物體的直徑。速度是ND,N是轉(zhuǎn)速(周/秒)。雷諾數(shù)表達(dá)為:當(dāng)Re10,000時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)為完全湍流狀態(tài)。1過(guò)渡流雷諾數(shù)對(duì)于流過(guò)平板的邊界層，實(shí)驗(yàn)可以確認(rèn)，當(dāng)流過(guò)一定長(zhǎng)度后,層流變得不穩(wěn)定形成湍流。對(duì)于不同的尺度和不同的流體，這種不穩(wěn)定性都會(huì)發(fā)生。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng), 這里x是從平板的前邊緣開(kāi)始的距離,流速是邊界層以外的自由流場(chǎng)速度。一般管道流雷諾數(shù)2100為層流(又可稱作黏滯流動(dòng)、線流)狀態(tài)，大于4000為湍流(又可稱作紊流、擾流)狀態(tài)，21004000為過(guò)渡流狀態(tài)。層流：流體沿著管軸以平行方向流動(dòng)，因?yàn)榱黧w很平穩(wěn)，所以可看作層層相疊，各層間不互相干擾。流體在管內(nèi)速度分布為拋物體的形狀，面向切面的則是拋物線分布。因?yàn)槭莻€(gè)別有其方向和速率流動(dòng)，所以流動(dòng)摩擦損失較小。湍流：此則是管內(nèi)流體流動(dòng)狀態(tài)為各分子互相激烈碰撞，非直線流動(dòng)而是漩渦狀，流動(dòng)摩擦損失較大。管道中的摩擦阻力穆迪圖說(shuō)明達(dá)西摩擦因子f和雷諾數(shù)和相對(duì)粗糙度的關(guān)系在管道中完全成形（fully developed）流體的壓降可以用穆迪圖來(lái)說(shuō)明，穆迪圖繪制出在不同相對(duì)粗糙度下，達(dá)西摩擦因子f和雷諾數(shù)及相對(duì)粗糙度的關(guān)系，圖中隨著雷諾數(shù)的增加，管流由層流變?yōu)檫^(guò)渡流及湍流，管流的特性和流體為層流、過(guò)渡流或湍流有明顯關(guān)系。流動(dòng)相似性兩個(gè)流動(dòng)如果相似的話，他們必須有相同的幾何形狀和相同的雷諾數(shù)和歐拉數(shù)。當(dāng)在模型和真實(shí)的流動(dòng)之間比較兩個(gè)流體中相應(yīng)的一點(diǎn)，如下關(guān)系式成立:帶m下標(biāo)的表示模型里的量，其他的表示實(shí)際流動(dòng)里的量。 這樣工程師們就可以用縮小尺寸的水槽或者風(fēng)洞來(lái)進(jìn)行試驗(yàn)，與數(shù)值模擬的模型比對(duì)數(shù)據(jù)分析，節(jié)約試驗(yàn)成本和時(shí)間。實(shí)際應(yīng)用中也許會(huì)需要其他的無(wú)量綱量與模型一致，比如說(shuō)馬赫數(shù)，福祿數(shù)。雷諾數(shù)的一般值 精子 1104 大腦中的血液流 1102 主動(dòng)脈中的血流 1103湍流臨界值 2.3103-5.0104(對(duì)于管內(nèi)流)到 106(邊界層) 棒球(職業(yè)棒球投手投擲) 2105 游泳(人) 4106 藍(lán)鯨 3108 大型郵輪 5109雷諾數(shù)的推導(dǎo)雷諾數(shù)可以從無(wú)因次化的非可壓納維斯托克斯方程推導(dǎo)得來(lái):上式中每一項(xiàng)的單位都是加速度乘以密度。無(wú)量綱化上式，需要把方程變成一個(gè)獨(dú)立于物理單位的方程。我們可以把上式乘以系數(shù):這里的字母跟在雷諾數(shù)定義中使用的是一樣的。我們?cè)O(shè):無(wú)量綱的納維-斯托克斯方程可以寫(xiě)為:這里:最后,為了閱讀方便把撇去掉:這就是為什么在數(shù)學(xué)上所有的具有相同雷諾數(shù)的流場(chǎng)是相似的。韋伯?dāng)?shù)(Weber number)的計(jì)算公式為其中為流體密度，為特征流速，為特征長(zhǎng)度，為流體的表面張力系數(shù)。韋伯?dāng)?shù)代表慣性力和表面張力效應(yīng)之比，韋伯?dāng)?shù)愈小代表表面張力愈重要，譬如毛細(xì)管現(xiàn)象、肥皂泡、表面張力波等小尺度的問(wèn)題。一般而言，大尺度的問(wèn)題，韋伯?dāng)?shù)遠(yuǎn)大于1.0，表面張力的作用便可以忽略。阿基米德數(shù)是一個(gè)因希臘科學(xué)家阿基米德而得名的流體力學(xué)無(wú)因次數(shù)，可用來(lái)判別因密度差異造成的流體運(yùn)動(dòng)，其形式如下：其中： g為重力加速度(9.81m/s), l為流體的密度，單位為 為物體的密度，單位為 為動(dòng)黏滯系數(shù)，單位為 L 為物體特征長(zhǎng)度，單位為m阿基米德數(shù)也可表示為格拉斯霍夫數(shù)和雷諾數(shù)平方的比值，也是浮力及慣性力的比值：1在分析液體潛在的混合對(duì)流現(xiàn)象時(shí)，阿基米德數(shù)可用來(lái)比較自由對(duì)流及強(qiáng)制對(duì)流的相對(duì)強(qiáng)度，若Ar 1，對(duì)流現(xiàn)象中以自由對(duì)流為主，若Ar 1，表示慣性力對(duì)流動(dòng)之影響較重力為大，稱為超臨界流（Supercritical flow），為水深小，流速急湍的流況。 當(dāng)Fr 1為亞臨界流（Subcritical flow），為流速緩慢，水深大的流況。 當(dāng)Fr = 1為臨界流（Critical flow）。格拉曉夫數(shù)（Grashof number,Gr）為一無(wú)量綱的標(biāo)量，常用在流體力學(xué)及熱傳導(dǎo)中。格拉曉夫數(shù)可以視為流體浮力與粘性力的比值，是研究自然對(duì)流時(shí)重要的參數(shù)。格拉曉夫數(shù)的命名是源自德國(guó)工程師Franz Grashof。（垂直表面）（pipe）（bluff bodies）其中下標(biāo)的L及D表示格拉曉夫數(shù)參考長(zhǎng)度的來(lái)源。g=重力加速度=volumetric thermal expansion coefficient（若是理想流體，可近似為絕對(duì)溫度 T 的倒數(shù) 1/T）Ts= 表面溫度T= 環(huán)境溫度L= 長(zhǎng)度D= 直徑=動(dòng)粘度Kc數(shù)（KeuleganCarpenter number）是一個(gè)無(wú)量綱數(shù)，用來(lái)描述一個(gè)在振蕩流場(chǎng)中的物體，所受到的阻力相對(duì)慣性力之間的關(guān)系，也可可以用在一物體在靜止流體中振蕩的情形。Kc數(shù)小表示慣性力的影響比阻力要大，Kc數(shù)大表示（紊流）阻力的影響較大。Kc數(shù)的定義如下1其中 V為流速振蕩的振幅（若是物體振蕩的情形，則為物體速度的振幅） T為振蕩的周期 L為物體的特征長(zhǎng)度，若物體為一圓柱，其特征長(zhǎng)度為其直徑。在探討海浪對(duì)沉積物運(yùn)移（英語(yǔ)：sediment transport）的影響時(shí)，會(huì)使用另一個(gè)相關(guān)的位移參數(shù)（displacement parameter）1來(lái)表示：其中 A為在振蕩流場(chǎng)中流體粒子的偏移幅度，若流場(chǎng)以弦波運(yùn)動(dòng)，A可以用V和T表示A=VT/(2)，則若將納維斯托克斯方程的加速度項(xiàng)進(jìn)行尺度分析（英語(yǔ)：scale analysis (mathematics)），也可以找到Kc數(shù)： 對(duì)流加速度： 局部加速度：將以上二式相除即可得到Kc數(shù)。斯特勞哈爾數(shù)（英語(yǔ)：Strouhal number）和Kc數(shù)有些相近。斯特勞哈爾數(shù)在形式上是Kc數(shù)的倒數(shù)。斯特勞哈爾數(shù)可以求得將一物體置入穩(wěn)定的流場(chǎng)后，其產(chǎn)生旋渦分離（英語(yǔ)：vortex shedding）的頻率，可以作為流場(chǎng)不穩(wěn)定性的指標(biāo)。而Kc數(shù)是和不穩(wěn)定流場(chǎng)對(duì)物體的影響有關(guān)。克努森數(shù)是流體力學(xué)中的無(wú)量綱數(shù)，指分子平均自由程與推移長(zhǎng)度之比，計(jì)算式為：其中， 為分子平均自由程 為推移長(zhǎng)度對(duì)于理想氣體，計(jì)算式可以寫(xiě)成其中， 為玻爾茲曼常量 為熱力學(xué)溫度 為粒子直徑 為總壓力路易斯數(shù)（Lowis number,Le）為一無(wú)量綱量的標(biāo)量，表示熱擴(kuò)散率和擴(kuò)散系數(shù)的比例，可以用來(lái)表示流體流動(dòng)時(shí)其熱傳及質(zhì)傳的比例。Le 的定義為：其中Le為路易斯數(shù)，為熱擴(kuò)散率，D為擴(kuò)散系數(shù)。另外，由于普蘭特爾數(shù)Pr 是動(dòng)黏滯系數(shù)和熱擴(kuò)散率的比例，而施密特?cái)?shù)Sc 則是動(dòng)黏滯系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)的比例，因此路易斯數(shù)也可以用 Pr 和 Sc 來(lái)表示：努塞爾特?cái)?shù)是流體力學(xué)中的無(wú)量綱數(shù)，以德國(guó)物理學(xué)家威廉努塞爾特（Wilhelm Nusselt）的名字命名，指長(zhǎng)度與熱邊界層厚度之比，計(jì)算式為：其中， 為熱對(duì)流系數(shù) 為特征長(zhǎng)度 為流體的熱導(dǎo)率馬赫（英文:Mach number）是表示速度的量詞，又叫馬赫數(shù)。一馬赫即一倍音速：馬赫數(shù)小于1者為亞音速，馬赫數(shù)大于5左右為超高音速；馬赫數(shù)是飛行的速度和當(dāng)時(shí)飛行的音速之比值，大于1表示比音速快，同理，小于1是比音速慢。，其中U為流速，C為音速。音速為壓力波（聲波）在流體中傳遞的速度。馬赫數(shù)的命名是為了紀(jì)念?yuàn)W地利學(xué)者恩斯特馬赫（Ernst Mach, 1838-1916）。F/A-18大黃蜂戰(zhàn)機(jī)以接近音速的速度飛行。馬赫一般用于飛機(jī)、火箭等航空航天飛行器。由于聲音在空氣中的傳播速度隨著不同的條件而不同，因此馬赫也只是一個(gè)相對(duì)的單位，每“一馬赫”的具體速度并不固定。在低溫下聲音的傳播速度低些，一馬赫對(duì)應(yīng)的具體速度也就低一些。因此相對(duì)來(lái)說(shuō)，在高空比在低空更容易達(dá)到較高的馬赫數(shù)。1947年10月14日，耶格爾駕駛X-1試驗(yàn)飛機(jī)在加州南部上空脫離B-29母機(jī)，上升到一萬(wàn)二千米高空，并在此高度上達(dá)到每小時(shí)1078千米的速度，首次突破音障，超過(guò)了一馬赫。當(dāng)馬赫數(shù)Ma1.0，稱為超音速流（Supersonic flow），此類流況在航空動(dòng)力學(xué)中才會(huì)遇到。任何物體在高超音速飛行時(shí)其頭部的激波后方都會(huì)產(chǎn)生超高溫氣流， 因此選擇抗熱材料是十分必要的。在地表, 馬赫的大約速度換算相當(dāng)于340.3 m/s，又大約等同于1225 km/h，761.2 mph，或者1116 ft/s。飛行物在相同的速度下, 其馬赫會(huì)因所在高度空氣的音速不同而有差異; 高度越高, 音速越低, 而使得馬赫越高。編輯分類依照馬赫數(shù)的不同，流體分為幾種流況： 不可壓縮流 亞音速不可壓縮流：M0.3 可壓縮流 亞音速可壓縮流：0.3M0.8 跨音速：0.8M1.2 超音速：1.2M5 超高音速：5M編輯馬赫角馬赫角定義為。是一個(gè)與馬赫數(shù)有關(guān)的函數(shù)。磁雷諾數(shù)定義為：其中，和分別是系統(tǒng)的特征尺度和特征速度，是磁擴(kuò)散系數(shù)。如果磁雷諾數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，則磁流體力學(xué)中的磁感應(yīng)方程退化為擴(kuò)散方程此時(shí)等離子體會(huì)表現(xiàn)出磁擴(kuò)散效應(yīng)。如果磁雷諾數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1，則磁流體力學(xué)中的磁感應(yīng)方程退化為凍結(jié)方程此時(shí)等離子體會(huì)表現(xiàn)出磁凍結(jié)效應(yīng)。佩克萊特?cái)?shù)是流體力學(xué)中的無(wú)量綱數(shù)，指流體中對(duì)流和擴(kuò)散熱量、質(zhì)量之比，計(jì)算式為：其中： 為雷諾數(shù) 為普朗特?cái)?shù) 為平均流速 為特征長(zhǎng)度 為熱擴(kuò)散率普蘭特?cái)?shù)是一個(gè)流體力學(xué)無(wú)因次的標(biāo)量，表示動(dòng)黏滯系數(shù)和熱擴(kuò)散率的比例，也可以視為動(dòng)量傳遞及熱量傳遞效果的比例。普蘭特?cái)?shù)的定義如下:其中: :動(dòng)黏滯系數(shù)(viscous diffusion rate), (SI制單位: m2/s) :熱擴(kuò)散率(thermal diffusion rate), (SI制單位: m2/s) :黏滯系數(shù)(SI制單位: Pa s) k:熱傳導(dǎo)率(SI制單位: W/(m K) ) cp:比熱容(SI制單位: J/(kg K) ) :密度(SI制單位: kg/m3)雷諾數(shù)或格拉斯霍夫數(shù)的公式中有包含一個(gè)表示長(zhǎng)度的變量，而普蘭特?cái)?shù)的公式中沒(méi)有類似的變量，表示和孔徑、長(zhǎng)度或特征長(zhǎng)度等參數(shù)無(wú)關(guān)，只和流體及其狀態(tài)有關(guān)。在描述物質(zhì)特性的表中，除了列出黏滯系數(shù)及熱傳導(dǎo)系數(shù)外，有時(shí)也會(huì)列出普蘭特?cái)?shù)。以下是一些常見(jiàn)物質(zhì)的: 空氣及氣體約 0.7-0.8 惰性氣體、氫氣或惰性氣體的混合物約 0.16-0.7 水大約是 7 地球的地函約是101024 機(jī)油范圍在 100 到 40,000 之間 R-12冷媒約在 4 到 5 之間 水銀約 0.015對(duì)水銀而言，由于熱擴(kuò)散率遠(yuǎn)大于動(dòng)黏滯系數(shù)，熱量主要會(huì)以傳導(dǎo)的方式傳遞，以熱傳導(dǎo)的方式傳播熱量會(huì)比對(duì)流有效。對(duì)于機(jī)油則恰好相反，動(dòng)黏滯系數(shù)遠(yuǎn)大于熱擴(kuò)散率，熱量主要會(huì)以對(duì)流的方式傳遞，以對(duì)流的方式傳播熱量會(huì)比熱傳導(dǎo)有效。在熱量傳播的應(yīng)用中，控制動(dòng)量邊界層及熱邊界層的相對(duì)厚度。Pr小表示熱擴(kuò)散速率會(huì)比速度(動(dòng)量)擴(kuò)散速率要快。因此液態(tài)金屬（如水銀）的熱邊界層厚度會(huì)比速度邊界層大很多。質(zhì)量傳播也有類似普蘭特?cái)?shù)的無(wú)因次量，稱為施密特?cái)?shù)。瑞利數(shù)（Rayleigh number），是流體力學(xué)中的無(wú)量綱數(shù)，指自然對(duì)流和擴(kuò)散熱量、質(zhì)量傳遞之比，計(jì)算式為：其中： 為格拉曉夫數(shù) 為普朗特?cái)?shù) 為重力加速度 為熱膨脹系數(shù) 為熱力學(xué)溫度 為特征長(zhǎng)度 為動(dòng)黏滯系數(shù) 為熱擴(kuò)散率羅斯貝數(shù)（Ro，不是）可定義如下：其中U及L分別是此現(xiàn)象的特征速度及特征長(zhǎng)度，f= 2 sin 為科里奧利頻率，其中為行星旋轉(zhuǎn)的角速度，而為緯度。小的羅斯貝數(shù)表示一系統(tǒng)主要是由科里奧利力所影響，而大的羅斯貝數(shù)表示一系統(tǒng)是由慣性力及向心力所影響。例如，龍卷風(fēng)的羅斯貝數(shù)很大（ 103），低氣壓的羅斯貝數(shù)很小（ 0.1 1），在海洋系統(tǒng)中羅斯貝數(shù)的數(shù)量級(jí)變化范圍是由102到1024。因此，在分析龍卷風(fēng)時(shí)科里奧利力可忽略，而壓強(qiáng)及向心力彼此平衡（稱為地轉(zhuǎn)平衡）56。在熱帶氣旋的風(fēng)眼附近也有類似的平衡7。在低氣壓中可忽略向心力，科里奧利力和壓強(qiáng)平衡。在海洋系統(tǒng)中向心力，科里奧利力和壓強(qiáng)互相平衡6。在參考資料8中