4.3 平面坐標系中幾種常見變換

.4.3平面坐標系中幾種常見變換43.1平面直角坐標系中的平移變換課標解讀1.理解平移的意義，深刻認識一個平移就對應一個向量2.掌握平移公式，并能熟練運用平移公式簡化函數(shù)的解析式.1平移在平面內(nèi)，將圖形F上所有點按照同一個方向，移動同樣長度，稱為圖形F的平移，若以向量a表示移動的方向和長度，也稱圖形F按向量a平移2平移變換公式設P(x，y)，向量a(h，k)，平移后的對應點P(x，y)，則(x，y)(h，k)(x，y)或1求平移后曲線的方程的步驟是什么？【提示】步驟：(1)設平移前曲線上一點P的坐標為(x，y)，平移后的曲線上對應點P的坐標為(x，y)；(2)寫出變換公式并轉化為(3)利用上述公式將原方程中的x，y代換；(4)按習慣，將所得方程中的x，y分別替換為x，y，即得所求曲線的方程2在圖形平移過程中，每一點都是按照同一方向移動同樣的長度，你是如何理解的？【提示】其一，平移所遵循的“長度”和“方向”正是向量的兩個本質(zhì)特征，因此，從向量的角度看，一個平移就是一個向量其二，由于圖形可以看成點的集合，故認識圖形的平移，就其本質(zhì)來講，就是要分析圖形上點的平移.平移變換公式的應用點M(8，10)按a平移后的對應點M的坐標為(7,4)，求a.【自主解答】由平移公式得解得即a(15,14)把點A(2,1)按a(3,2)平移，求對應點A的坐標(x，y)【解】由平移公式得即對應點A的坐標(1,3)平移變換公式在圓錐曲線中的應用求雙曲線4x29y216x54y290的中心坐標、頂點坐標、焦點坐標與對稱軸方程、準線方程和漸近線方程【思路探究】把雙曲線方程化為標準方程求解【自主解答】將方程按x，y分別配方成4(x2)29(y3)236，即1.令方程可化為1.雙曲線1的中心坐標為(0,0)，頂點坐標為(0,2)和(0，2)，焦點坐標為(0，)和(0，)，對稱軸方程為x0，y0，準線方程為y，漸近線方程為0.根據(jù)公式可得所求雙曲線的中心坐標為(2,3)，頂點坐標為(2,5)和(2,1)，焦點坐標為(2,3)和(2,3)，對稱軸方程為x2，y3，準線方程為y3，漸近線方程為0，即2x3y130和2x3y50.幾何量a，b，c，e，p決定了圓錐曲線的幾何形狀，它們的值與圓錐曲線的位置無關，我們將其稱為位置不變量已知拋物線yx24x7.(1)求拋物線頂點的坐標；(2)求將這條拋物線平移到頂點與坐標原點重合時的函數(shù)解析式【解】(1)設拋物線yx24x7的頂點O的坐標為(h，k)，那么 h2，k3，即這條拋物線的頂點O的坐標為(2,3)(2)將拋物線yx24x7平移，使點O(2,3)與點O(0,0)重合，這種圖形的變換可以看做是將其按向量平移得到的，設的坐標為(m，n)，那么所以拋物線按(2，3)平移，平移后的方程為yx2.(教材第40頁習題4.3第3題)寫出拋物線y28x按向量(2,1)平移后的拋物線方程和準線方程(2013無錫質(zhì)檢)將函數(shù)y2x的圖象l按a(0,3)平移到l，求l的函數(shù)解析式【命題意圖】本題主要考查平面直角坐標系中平移公式的運用【解】設P(x，y)為l的任意一點，它在l上的對應點P(x，y)由平移公式得將它們代入y2x中得到y(tǒng)32x，即函數(shù)的解析式為y2x3.1將點P(7,0)按向量a平移，得到對應點A(11,5)，則a_.【答案】(4,5)2直線l：3x2y120按向量a(2，3)平移后的方程是_【答案】3x2y03曲線x2y22x2y10的中心坐標是_【解析】配方，得(x1)2(y1)21.【答案】(1，1)4開口向上，頂點是(3,2)，焦點到頂點距離是1的拋物線方程是_【解析】開口向上，焦點到頂點距離是1的拋物線的標準方程是x24y，所以所求拋物線的方程是(x3)24(y2)【答案】(x3)24(y2)1已知函數(shù)yx2圖象F按平移向量a(2,3)平移到F的位置，求圖象F的函數(shù)表達式【解】在曲線F上任取一點P(x，y)，設F上的對應點為P(x，y)，則xx2，yy3，xx2，yy3.將上式代入方程yx2，得：y3(x2)2，y(x2)23，即圖象F的函數(shù)表達式為y(x2)23.2求橢圓4x29y224x18y90的中心坐標、焦點坐標、長軸長、短軸長、離心率及準線方程【解】因橢圓方程可化為1，其中心為(3,1)，焦點坐標為(3，1)，長軸長為6，短軸長為4，離心率為，準線方程為x3.3圓x2y225按向量a平移后的方程是x2y22x4y200，求過點(3,4)的圓x2y225的切線按向量a平移后的方程【解】由題意可知a(1，2)，因為平移前過點(3,4)的圓x2y225的切線方程為3x4y25，所以平移后的切線方程為3(x1)4(y2)25，即3x4y200.4已知兩個點P(1,2)、P(2,10)和向量a(3,12)回答下列問題：(1)把點P按向量a平移，求對應點的坐標；(2)把某一點按向量a平移得到對應點P，求這個點的坐標；(3)點P按某一向量平移，得到的對應點是P，求這個向量的坐標【解】(1)平移公式為由x1，y2，解得x2，y14，即所求的對應點的坐標為(2,14)(2)平移公式為由x2，y10，解得x5，y2，即所求點的坐標為(5，2)(3)平移公式為由x1，y2，x2，y10，解得h1，k8，所以所求的向量的坐標為(1,8)5將二次函數(shù)yx2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y2x5的圖象只有一個公共點(3,1)，求向量a的坐標【解】設a(h，k)，所以yx2平移后的解析式為yk(xh)2，即yx22hxh2k與直線y2x5只有一個公共點，則直線為拋物線在(3,1)處的切線，由導數(shù)知識，知yx22hxh2k在(3,1)處切線的斜率為62h，從而62h2，h2.又點(3,1)在yk(xh)2上，解得k0，所以向量a的坐標為(2,0)6拋物線yx24x7按向量a平移后，得到拋物線的方程是yx2.求向量a及平移前拋物線的焦點坐標【解】拋物線方程可化為y3(x2)2，平移后的拋物線方程為yx2，所以a(2，3)，因為yx2的焦點坐標為(0，)，所以平移前拋物線的焦點坐標為(02，3)，即(2，)7已知雙曲線的漸近線方程為4x3y90與4x3y150，一條準線的方程為y，求此雙曲線的方程【解】兩漸近線的交點即雙曲線中心，故由解得交點為(3,1)，即中心為(3,1)又一條準線方程為y，說明焦點所在的對稱軸平行于y軸，所以可設雙曲線方程為1，它的漸近線方程可寫成0，準線方程為y1，而已知漸近線方程為4x3y90，即4(x3)3(y1)0，另一條漸近線方程為4x3y150，即4(x3)3(y1)0，合并即為0.對照，得.而已知準線方程y，即y1.對照，得.由，解得a4，b3，c5.故所求雙曲線方程為1.教師備選8已知拋物線yx24x8，(1)求將這條拋物線的頂點平移到點(3，2)時的拋物線方程；(2)將此拋物線按怎樣的向量a平移，能使平移后的方程是yx2?【解】(1)將拋物線yx24x8配方，得y(x2)212，故拋物線頂點的坐標為P(2，12)，將點(2，12)移到(3，2)時，其平移向量a(1,10)，于是平移公式為即因為點(x，y)在拋物線yx24x8上，所以y10(x1)24(x1)8，即yx26x7.所以平移后的方程為yx26x7.(2)法一設平移向量a(h，k)，則平移公式為將其代入yx24x8，得yk(xh)24(xh)8，化簡整理，得yx2(2h4)xh24hk8.令解得此時yx2.所以當圖象按向量a(2,12)平移時，可使函數(shù)的解析式化為yx2.法二將拋物線yx24x8，即y12(x2)2平移到y(tǒng)x2.只需要作變換所以平移對應的向量坐標為(2,12)43.2平面直角坐標系中的伸縮變換課標解讀1.了解平面直角坐標系中的伸縮變換，能運用伸縮變化進行簡單的變換2.體會平面直角坐標系中的伸縮變換給圖形帶來的變化.1橫坐標的伸縮變換一般地，由(k0)所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著y軸的伸縮變換(當k1時，表示伸長；當0k1時，表示壓縮)，即曲線上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍(這里(x，y)是變換前的點，(x，y)是變換后的點)2縱坐標的伸縮變換一般地，由(k0)所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著x軸的伸縮變換(當k1時，表示伸長；當0k1時，表示壓縮)，即曲線上所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍(這里(x，y)是變換前的點，(x，y)是變換后的點)3伸縮變換一般地，設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換：的作用下，點P(x，y)對應到點P(x，y)，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱為伸縮變換1如果x軸的單位長度保持不變，y軸的單位長度縮小為原來的，圓x2y24的圖形變?yōu)槭裁磮D形？伸縮變換可以改變圖形的形狀嗎？那平移變換呢？【提示】x2y24的圖形變?yōu)闄E圓：y21.伸縮變換可以改變圖形的形狀，但平移變換僅改變位置，不改變它的形狀2如何理解平面直角坐標系中的伸縮變換？【提示】在平面直角坐標系中進行伸縮變換，即改變x軸或y軸的單位長度，將會對圖形產(chǎn)生影響其特點是坐標系和圖形發(fā)生了改變，而圖形對應的方程不發(fā)生變化如在下列平面直角坐標系中，分別作出f(x，y)0的圖形：(1)x軸與y軸具有相同的單位長度；(2)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的k倍；(3)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的.第(1)種坐標系中的意思是x軸與y軸上的單位長度一樣，f(x，y)0的圖形就是我們以前學過的平面直角坐標系中的f(x，y)0的圖形；第(2)種坐標系中的意思是如果x軸上的單位長度保持不變，y軸上的單位長度縮小為原來的，此時f(x，y)0表示的圖形與第(1)種坐標系中的圖形是不同的；第(3)種坐標系中的意思是如果y軸上的單位長度保持不變，x軸上的單位長度縮小為原來的，此時f(x，y)0表示的圖形與第(1)種坐標系中的圖形是不同的伸縮變換對下列曲線進行伸縮變換(k0，且k1)(1)ykxb；(2)(xa)2(yb)2r2.【自主解答】設P(x，y)是變換前的點，P(x，y)是變換后的點，由題意，得即(1)由yk(x)b，ykxkb，得直線ykxb經(jīng)過伸縮變換后的方程為ykxkb，仍然是一條直線當b0時，該直線和原直線重合；當b0時，該直線和原直線平行(2)由(xa)2(yb)2r2，(xka)2(ykb)2(kr)2，得圓(xa)2(yb)2r2經(jīng)過伸縮變換后的方程為(xka)2(ykb)2(kr)2，它是一個圓心為(ka，kb)，半徑為|kr|的圓在同一平面直角坐標系中，將直線x2y2變成直線2xy4，求滿足圖象變換的伸縮變換【解】設變換為，代入直線方程2xy4得：2xy4，即xy2，比較系數(shù)得：1，4，即直線x2y2圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標擴大到原來的4倍可得到直線2xy4.伸縮變換的應用曲線y2sin 3x變換成曲線y3sin 2x，求它的一個伸縮變換【思路探究】設代入y3sin 2x，所得式再與y2sin 3x比較即可求、.【自主解答】將變換后的曲線y3sin 2x改成y3sin 2x.設伸縮變換代入y3sin 2x；得y3sin(2x)即ysin(2x)，與y2sin 3x比較系數(shù)，得即所以伸縮變換為確定一個伸縮變換，實際上就是求其變換方法，將新舊坐標分清，代入對應的曲線方程，然后比較系數(shù)即可(1)圓x2y2a2經(jīng)過什么樣的伸縮變換，可以使方程變?yōu)?(0ba)?(2)分析圓x2y2a2的一條弦所在直線和經(jīng)過該弦中點的直徑所在直線經(jīng)過上述伸縮變換后的位置關系【解】(1)橢圓1可以化為x2a2，設即所以圓x2y2a2經(jīng)過向著x軸方向上的伸縮變換，伸縮系數(shù)k，可以使方程變?yōu)?.(2)若圓x2y2a2的一條弦所在直線的斜率存在且不為0，設其方程為ykxm，根據(jù)垂徑定理，經(jīng)過該弦中點的直徑所在直線的方程為yx.由ykxm，得yxm.所以直線ykxm經(jīng)過變換，方程可變?yōu)閥xm.由yx，得yx，所以直線yx經(jīng)過變換，方程可變?yōu)閥x.此時，兩條直線的斜率乘積是定值.若圓x2y2a2的弦所在直線的方程為xn，則經(jīng)過其中點的直徑所在直線的方程為y0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閤n，y0.此時兩直線依然垂直若圓x2y2a2的弦所在直線的方程為yn，則經(jīng)過其中點的直徑所在直線的方程為x0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閥n，x0.此時兩直線依然垂直(教材第41頁習題4.3第8題)對下列曲線向著x軸進行伸縮變換，伸縮系數(shù)k2：(1)x24y216；(2)x2y24x2y10.(2013南京模擬)求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線x2y21變成曲線1.【命題意圖】本題主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換【解】設變換為代入方程1，得1.與x2y21比較，將其變形為x2y21，比較系數(shù)得3，2.即將圓x2y21上所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得橢圓1.1直線x4y60按伸縮系數(shù)向著x軸的伸縮變換后，直線的方程是_【答案】x8y602直線2x3y0按伸縮系數(shù)3向著y軸的伸縮變換后，直線的方程是_【答案】2x9y03曲線x2y24按伸縮系數(shù)2向著y軸的伸縮變換后，曲線的方程是_【答案】14ycos x經(jīng)過伸縮變換后，曲線方程變?yōu)開【解析】由，得，代入ycos x，得ycos x，即y3cos x.【答案】y3cos 1在平面直角坐標系中，求下列方程經(jīng)過伸縮變換后的方程(1)2x3y0；(2)x2y21.【解】由伸縮變換得到(1)將代入2x3y0，得到經(jīng)過伸縮變換后的方程為xy0，所以，經(jīng)過伸縮變換后，直線2x3y0變成直線xy0.(2)將代入x2y21，得1.所以，經(jīng)過伸縮變換后，方程x2y21變成1.2伸縮變換的坐標表達式為曲線C在此變換下變?yōu)闄E圓x21.求曲線C的方程【解】把代入x21，得x2y21，即曲線C的方程為x2y21.3設F：(x1)2(y1)21在的伸縮變換下變?yōu)閳D形F，求F的方程【解】由得所以(x1)2(y1)21變換為(x1)2(y1)21，即(y1)21，所以F的方程是(y1)21.4雙曲線1經(jīng)過伸縮變換能化為等軸雙曲線x2y21嗎？【解】雙曲線方程1可以化為()2()21.令則x2y21.所以雙曲線1可以通過伸縮變換化為等軸雙曲線x2y21，具體步驟是：按伸縮系數(shù)向著y軸進行伸縮變換，再將曲線按伸縮系數(shù)向著x軸進行伸縮變換5已知G是ABC的重心，經(jīng)過伸縮系數(shù)k向著x軸(或y軸)的伸縮變換后，得到G和ABC.試判斷G是否為ABC的重心【解】設ABC的三個頂點的坐標分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，則G(，)經(jīng)過伸縮系數(shù)k向著x軸的伸縮變換后，得到ABC的三個頂點及點G的坐標分別為A(x1，ky1)、B(x2，ky2)，C(x3，ky3)，G(，k)由于ABC的重心坐標為(，)，所以G仍然是ABC的重心同理可證，若伸縮變換向著y軸方向，G同樣也是ABC的重心6已知：ABC經(jīng)過伸縮變換(k0，且k1)后，得到ABC.求證：ABC和ABC相似，且面積比為k2.【證明】設A(x1，y1)、B(x2，y2)，則A(kx1，ky1)、B(kx2，ky2)所以AB|k|k|AB.同理可得AC|k|AC，BC|k|BC，所以ABCABC，所以AA，SABC(|k|AB)(|k|AC)sin Ak2(ABAC)sin Ak2SABC.7設P1、P2是直線l上的兩點，點P是l上不同于P1、P2的任意一點，則存在一個實數(shù)，使PP2，稱為點P分有向線段P1P2所成比設P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，點P分有向線段P1P2所成比為，經(jīng)過伸縮變換后，點P1、P2和P分別變?yōu)镻1、P2和P.求證：P1、P2和P三點依然共線，且P分有向線段P1P2所成比等于.【證明】設P(x0，y0)，由，得(x0x1，y0y1)(x2x0，y2y0)，所以設給定伸縮變換為則有P1(k1x1，k2y1)、P2(k1x2，k2y2)、P(k1，k2)(k1k1x1，k2k2y1)(，)，(k1x2k1，k2y2k2)(，)，所以.所以P1、P2和P三點依然共線，且P分有向線段P1P2所成比等于.教師備選8在下列平面直角坐標系中，分別作出雙曲線1的圖形：(1)x軸與y軸具有相同的單位長度；(2)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的2倍；(3)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的倍【解】(1)建立平面直角坐標系，使x軸與y軸具有相同的單位長度，雙曲線1的圖形如下：(2)如果x軸上的單位長度保持不變，y軸上的單位長度縮小為原來的，雙曲線1的圖形如下：(3)如果y軸上的單位長度保持不變，x軸上的單位長度縮小為原來的，雙曲線1的圖形如下：選修44階段歸納提升坐標系)極坐標與直角坐標的互化極坐標與直角坐標互化的公式或當不能直接使用公式時，可通過適當變換，化成能使用的形式把下列極坐標化為直角坐標：(1)M(5，)；(2)N(2，)；(3)P(2，)；(4)Q(2，)【解】(1)由題意知x5cos 5()，y5sin 5.所以M點的直角坐標為(，)(2)x2cos 200，y2sin 2(1)2.所以N點的直角坐標為(0，2)(3)x2cos 2()，y2sin 2().所以P點的直角坐標為(，)(2)x2cos()2，y2sin()2()1.所以Q點的直角坐標為Q(，1).極坐標的應用主要應用極坐標與直角坐標的互化公式解決問題，注意極坐標系中的和的含義(2012陜西高考)直線2cos 1與圓2cos 相交的弦長為_【解析】直線2cos 1可化為2x1，即x；圓2cos 兩邊同乘得22cos ，化為直角坐標方程是x2y22x.將x代入x2y22x得y2，y.弦長為2.【答案】伸縮變換變換公式其中P(x，y)為變換前的點，P(x，y)為變換后的點將圓錐曲線C按伸縮變換公式變換后得到雙曲線x2y21，求曲線C的方程【解】設曲線C上任意一點P(x，y)，通過伸縮變換后的對應點為P(x，y)，由得代入x2y21得()2()21，即1為所求綜合檢測(一)(時間90分鐘，滿分120分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請把答案填在題中橫線上)1極坐標為M(8，)，N(8，)，P(8，)，Q(8，)的四點中，與點A(8，)表示同一點的有_個【答案】32已知點P的直角坐標為(，3)，其極坐標為_【答案】(2，)3曲線的極坐標方程4sin 化成直角坐標方程為_【答案】x2(y2)244在極坐標系中，曲線4sin 和cos 1相交于點A、B，則AB_.【解析】平面直角坐標系中，曲線4sin 和cos 1分別表示圓x2(y2)24和直線x1，作圖易知AB2.【答案】25極坐標方程表示的曲線是_【答案】橢圓6以(1，)為圓心，且過極點的圓的極坐標方程是_【答案】2cos 7(2013北京高考)在極坐標系中，點到直線sin 2的距離等于_【解析】極坐標系中點對應的直角坐標為(，1)極坐標系中直線sin 2對應直角坐標系中直線y2.故所求距離為1.【答案】18已知點M的柱坐標為(，)，則點M的直角坐標為_，球坐標為_【解析】設點M的直角坐標為(x，y，z)，柱坐標為(，z)，球坐標為(r，)，由得由得即所以點M的直角坐標為(，)，球坐標為(，)【答案】(，)(，)9在極坐標系中，曲線2cos 和cos 2的位置關系是_【答案】相切10極坐標方程sin 表示的曲線是_【答案】兩條直線11(2013天津高考)已知圓的極坐標方程為4cos ，圓心為C，點P的極坐標為，則|CP|_.【解析】由4cos 可得x2y24x，即(x2)2y24，因此圓心C的直角坐標為(2,0)又點P的直角坐標為(2,2)，因此|CP|2.【答案】212(2012湖南高考)在極坐標系中，曲線C1：(cos sin )1與曲線C2：a(a0)的一個交點在極軸上，則a_.【解析】(cos sin )1，即cos sin 1對應的普通方程為xy10，a(a0)對應的普通方程為x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.將(，0)代入x2y2a2得a.【答案】13在同一平面直角坐標系中經(jīng)過伸縮變換后曲線C變?yōu)榍€2x28